1、7学号 学 年 论 文 （ 级本科）题 目: 泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 指导教师： 职称： 教授 完成日期： 年 月 日年 月7泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用摘 要 二项分布、Poisson 分布与指数分布是概率统计的基础,这 3 个分布存在密切的关系.本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例.关键字 泊松分布；二项分布；正态分布；特征函数中图分类号 O2111 引言许多数学教材中常常只是介绍了二项分布、
2、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等重要的概率分布,给出它们的分布列、密度函数、它们的期望和方差,但是很少讨论出这些分布之间的关系.在学习概率统计等时,常常认为这些重要概率分布之间没有什么联系,但是这些分布中间还有很多重要的关系. 本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例.2 预备知识2.1 相关定义定义 （二项分布）1在 n 重伯努利试验中,每次试验中事件 A 发生的概率为 p（0p1）,记 X 为 n 次试验中事件 A 发生的次数,则 X 的可能取值为 0,1,2,n.且对每一个 k,0kn,
3、事件X=k即为“在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次”,根据伯努利概型 ,有PX=k= ,k=0,1,2,n （1）1nkknCp一般地,如果一个随机变量 X 的概率分布由（1）给出 ,则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布,并记作 ,且记()XBnp:.(;,)1nkknBpp定义 （泊松（poisson ）分布）12如果一个随机变量 X 的概率分布为（2）(0,12)!kPe其中 为参数,则称 X 服从参数为 的泊松分布 ,记作 .0(XP:定义 (正态分布)137一个连续性随机变量 X,如果其密度函数为（3）2()1（ x） =xe()x其中, , 为常数,则称 X 服从参数为
4、和 的正态分布,记作 .此时002(,)XN:称 X 为正态变量.特别地,若 , ,则称 X 服从标准正态分布 ,其概率密度函数2()N:=0， 1(0， 1)为 2（ x） xe(,)定义 (特征函数)24若随机变量 X 的分布函数为 F(x),则称（4）()() ()itXitwitxtEePdeF为 X 的特征函数.如果 F（x）有密度 f(x),则 就是 f(x)的 Fourier 变换t()()itxef2.2 相关定理定理 特征函数的一个重要定理（唯一性定理）：分布函数由其特征函数唯一确定.31证明 设 A 是 F(x)的一切连续点的集合,对任意的 ,由逆转公式有xA()lim()
5、yAFxxFy1li()2jtyjtxTyAed所以,对于一切 , 的值唯一的由其特征函数 所决定.xA()F()t若 ,利用分布函数的右连续性,选一列单调下降的趋于 x 的 的连续点 ,则 ()F12x有1()lim()limli()2nn jtyjtxTnxxyAAeF d于是,对于一切的 , 的值亦唯一的由其特征函数 所决定.() ()t2.3 相关结论 结论 1 二项分布 B（n,p）：其概率分布为7()(1)knknPXpC0,12,1np其特征函数为 0()()kitXit nkXnktEe0=()1nitknkkpeitn结论 2 泊松分布 ：设 ,则其概率分布为X:()!keP
6、0,12,k其特征函数为 0()!kitXitxXketEe结论 3 正态分布 ：其密度函数为,N2()1（ x） =xe()x其特征函数为 21()ititXXtEe(1)0=!itititeek 3 主要结论及证明（三大分布之间的关系）3.1 二项分布与泊松分布的关系（二项分布的 poisson 逼近）定理 1 二项分布 X：b(n,p),如果 n 很大,而 P 很小,设 ,n 为任意的正整数,0,则对于任意给定的一个非负整数 k,有np.lim1!knknn epC证明 由 np7(1)1 1!knknkknpkC(n-+)2=()()(1)!k nk 当 固定,nk121()(),()
7、,()nkkenn故有 lim!kknpC所以当 n 很大时,p 很小时有下列近似公式(1)!kknne3.2 二项分布和正态分布之间的关系定理 设随机变量 ,则对于任意 x,有(,)0,2)nXbp:21lim()(1)txnn edx由上式可以得出当 n 充分大时,二项分布可以用正态分布来近似,即二项分布的正态逼近.例 和 在 n 充分大时计算()knknnPXpCknnabPaXpqC非常困难.由于 近似服从 N（0,1）或等价地 近似服从 ,于是可以近(1)npn(,1)N似地用正态分布来计算上述概率,即 (1)knknnPXp22pnqe1kp(1)(1)(1)nnaXpbnPaXb
8、Pnp ()()pap7只要查一下标准正态分布表就可以得到 的相当精确的值.nPaXb3.3 泊松分布与正态分布之间的关系二项分布可以用泊松分布近似,也可以用正态分布近似.所以泊松分布和正态分布在一定条件下也有近似关系,下面说明泊松分布的正态分布.定理 设 ,泊松分布的分布函数 与正态分布()0X:!kxePX的分布函数 是近似相等的.N（ ， ）2()12yxedF()=证明 根据特征函数的唯一性定理可以得出分布函数 和 恒等的充分必要条1()Fx2件是他们的特征函数 和 恒等.1()x2已知正态分布 的特征函数是,N21()ititXXtEe泊松分布的特征函数是 (1)()ititet对于
9、任意的 t, 的幂级数展开为ite,231!ittie忽略 以后的各项,则有3t,21itte于是 2()it tei2(1)it tie根据唯一性定理可知,泊松分布的分布函数 与正态分布的分布函数!kxePX近似相等.2()12yxedF()=74 初步应用例 1 某大城市有一个繁忙的交通岗 ,若每天有 100000 人通过 ,每人出事故的概率为 0. 0001,求该天事故的人数 X 不超过 2 人的概率.解法一：由题意可以知道 ,由二项分布可以得101B:，.769P解法二：用泊松分布近似二项分布.即将数据代入 (1)!kknnepC可以得到 102.2769!kePX解法三：用正态分布的
10、分布函数近似二项分布.即将数据代入 (1)(1)nbnpanpa可以得到 2.53.60.5PX这里直接查标准正态分布的分布函数表求得,其误差为 0.00224151,这比用泊松分布产生的误差要大.例 2 同类型仪器 300 台,各仪器的工作相互独立,且发生故障的概率为 0.01,通常一台仪器的故障可有一个人来排除.问：（1）至少配备多少维修工人,才能保证当仪器发生故障又不能及时排除的概率小于 0.01？ （2）若一个人包干 20 台仪器,求仪器发生故障又不能及时排除的概率.解：设 300 台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数为 X, 则 XB(300,0.01).设 X 表示发生故障的仪器台
11、数,假若至少要配备 x 个工人,则按题意有 P(Xx)0.01,即 3030()1.19xkkkPXC此时用泊松定理则可以容易计算.(1)有,30.1np,30.!kxePX7查询泊松分布表即可以得到 x=8.(2) 记 X 为 20 台仪器中在同一时刻发生故障的仪器台数,则 XB(20,0.01).(2)1(2)PX2020.19kkkC.21753e致谢 感谢老师对本论文的指导.参 考 文 献1马统一.经济应用数学概率论与数理统计M.北京.高等教育出版社,2012.57-65. 2张波,商豪.应用随机过程M.第二版.北京.中国人民大学出版社,2013.13-15.3田铮,秦超英.随机过程与
12、应用M.北京.科学出版社,2007.14-21. 4苏淳,刘杰.现代极限理论及其在随机结构中的应用M.北京.高等教育出版社,2010.4-5.5李裕奇,李玉红.随机过程M.北京.国防工业出版社,2005.56-65.6梁好翠.三种重要概率分布的关系及其应用J.钦州学院学报,2007,第 22 卷第 3 期:9-117段勇花.概率中伯努利试验问题的解决策略J.西安文理学院学报,2012,上旬刊：77-788周桂如.概率分布及其应用的研究J.赤峰学院学报,2008,第 24 卷第 4 期：13-149于洋.浅析二项分布、泊松分和正态分布之间的关系J.企业科技与发展,2008,第 20 期：108-110 10朱冬梅.谈概率论中三种重要的分布J.开封教育学院学报,2003,第 23 卷第 4 期：42-4311张子贤.关于二项分布的正态近似计算问题J.河北工程技术高等专科学校学报,2002,第 1 期：20-2312李晓辉,任伟和.浅谈二项分布与正态分布之间的关系J.石家庄理工职业学院学术研究,2014,第9 卷第 2 期:1-313杜勋明,陈冬娥,姚云二项分布和泊松分布的正态近似条件分析J.湖北医科大学学报,1998,第 19卷第 2 期:123-125
