1、- 1 -加工业生产稳态模拟的数学模型摘要：文章通过对三年中机床发生故障的概率的分析,得到了关于整个系统的稳态模拟问题的概率模型,用比较简单的模型解决了问题,并引入假设: 若机床故障的概率小于时,可以认为在三年内这种情况不发生.这一假设极大的简化了模型（这一假设610同时也符合实际的情况）,求出了同时在运行的最少机器数为 40 台,等候修理的最大机器台数 11 台；之后又在这一基础上通过离散化的方法求出了每小时处于工作状态的工人数为 47.35 人,平均每小时处于工作状态的修理工人数 2.11 人等等的有关系统运行状态的各项指标；进研究了生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，
2、得到了最优的人事安排方案：应该请 50 名工人和 3 名修理工. 关键词:指数分布；加工业生产；稳态模拟；机床故障；1 问题的提出加工业的生产过程中, 管理部门要求了解整个生产系统的特性，机床用于生产的利用率、处于备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，以便对此维修策略进行评价。同时还要了解包括：最少有多少台机器同时在运行；- 2 -平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；等等有关生产的问题；进而得出生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，从而可以得到最优的人事安排方案。2 模型假设1 机
3、床在开始测试时已经工作了一段时间；2 在我们开始统计测试之时，所有机床均工作正常，即无故障机床；3 对工人从 到 编号，对应工人 的机床号为 ；50ii4 若机床故障的概率小于 时,可以认为在三年内这种情况不发生；6103 符号约定:机床发生故障的间隔时间所服从均值等于 157 小时的指数分布函数；)(tF:机床发生故障的间隔时间所服从的指数分布函数的参数；：机床发生故障的间隔时间的均值(单位：小时)；E: 一名修理工修理一台机床的时间的均匀分布函数；tG：机床故障台数；：工人人数；n：维修工人人数；c：备用机床数；0：总机床数N:第 台机床发生第 次故障的概率；ijpij：一名修理工维修一台
4、机床的时间(单位：小时)；：第 台机床发生第 次故障的时刻；ijt ij:机床 在某时间段内是否发生故障的, 函数,发生故障为 ,否则为 ；)(hi )10(104 模型建立与求解4.1 三年共有的工作小时数为 ， 小时.3T624854.2 一名修理工修理一台机床的时间服从4,10小时之间的均匀分布。有 )10(14,6)(0)() tttptG7204E4.3 问题一的求解机床发生故障的间隔时间服从均值等于 157 小时的指数分布,有- 3 -001)(tetFt0 100 200 300 400 500 600 70000.10.20.30.40.50.60.70.80.91由此，我们可
5、以得到在 时间段内，机床发生故障的概率为,t )()()11)()( tttt eeeFttp 由假设 1，机床已经处在稳定运行状态下，那么，可以记在时刻 之前机床 发生i的最后一次故障（第 次故障）的时间为 ，则 是随机的，是无法确定的。我们ij ijtijt可以知道，机床 在 ,t发生 故障的概率为:1ij)()(1, tttji ijijep若在 t时间段内有 台机床故障,由k不 发 生 故 障机 床 生 故 障机 床 iih0)(记：- 4 -5015011, )()(mmjbj hpRkhQii由由组合数学的知识可知，令 的所有可能的组合为 ，故而km501)( k50都有 种可能的
6、组合，则 ，于是，bRQ,k502,bkbRQp501)(当 时， 时间段即为 ，机床在这个时间段内发生故障即是在t,t,t一个维修时段内发生故障，他的概率为 )()(ttettp算得 在 时取得最大值，最大值为)(t 0,1 0617.maxp也就是说，在这三年内，如果修理时间最坏，且各台机床在修理时间最坏的这段时间内发生故障时的概率也为最大值时，故障的机床数最多，有 kkkb paRQp 50mxx501 )()(通过 Matlab 计算可以得到： 7-60.329)5p(4显然， ，可以认为故障机床在 台以上的情况6-117 15并不发生，所以最多有 台机器在同一时段内故障；最少有 台机
7、器同时在4 40运行；最多有 台机器在等候修理；3对于问题：平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；同样的，若在时刻 有一台机床发生t故障，而机床 最后一次故障（第 次故障）的时间为 ，则 是随机的，我们可i ij ijtijt以知道，在修理工人修理故障机床的这段时间 内，机床 发生第 次故障的概率1i为: )()(1, ijiji ttj ep- 5 -5015011, )()(mmjbj hpRkhQii有 台机床发生故障的概率为：kkbRQ501)(记工人因为有 台机床故障而造成停工休息的时间为 ，则k kTs当 时， =0
8、；41kkTs当 时，6,5)()4(3kp当 时，987k 332)(62 TkpTsk 当 时，1,0333 )(92)()(2 kkkpkpTsk 当 时，5,433 334)()12( )()(Tkpk TkpTks 由前面的计算知，最多有 台机器在同一时段内故障，所以，所有的工人因为故1障的机床过多而造成停工休息的总时间为： 145kTs经过 Matlab 编程计算， 期望为 .有Ts60Es50 名工人在三年中实际工作的总时间为 小时.平均每小时295463EsS处于工作状态的工人数为 47.35 人.显然，所有的机床在三年内总的工作时间就是 50 名工人在三年中实际工作的总时间，
9、为 小时.由于机床故障服从均值等于 157 小时的指数分布,29546503TsS有平均每小时处于工作状态的修理工人数为： 1.73Em4.4 模型的推广与问题二的求解有 名工人， 名修理工，在机床总数以及其它条件不变的情况下，有nc若在时刻 有一台机床发生故障，而机床 最后一次故障（第 次故障）的时间为t i ij- 6 -，则 是随机的，我们可以知道，在 修理工人修理故障机床的这段时间 内，机ijtijt 床 发生第 次故障的概率为:1i )()(, ijiji ttj epnmnmjbj hpRkhQii 111, 0)()(有 台机床发生故障的概率为：kknbRQ1)(在时间段 内，即
10、一台机床在一个维修时段内发生故障的概率为,t )()( ttetp算得 在 时取得最大值，最大值为)(t0,1 0617.maxp也就是说，在这三年内，如果修理时间最坏，且各台机床在修理时间最坏的这段时间内发生故障时的概率也为最大值时，故障的机床数最多，有 knkknb paRQp )()( mxx1若有 及 ，则可以认为最多有 台机器在同一时60n 610n nk段内故障；最少有 台机器同时在运行；最多有 台机器在等候修理；nk54 ckn所有的工人因为故障的机床过多而造成停工休息的总时间为： 145kTs其中,记 bcn0当 时， =0；,1k kTs当 ,， 时，0ncb3)()0(Tk
11、pnk当 ， 时，c2 332)()6()()0(TpnTsk 当 ， 时，12bcb333 )()(2)()()( Tkpcbkkkck - 7 -当 ， 时，13cbkcb43 33)()4( )(2)(0Tkp TkpcTkpcnTs 平均每小时处于工作状态的工人数为： 350TEsn平均每小时处于工作状态的修理工人数为： 3157)(mn经过用 Matlab 编程计算得到，当 不变时，考虑 的变化对系统稳定性的影响，3c有下表： nnknnm47 13 46.952 2.093448 13 47.757 2.129349 13 48.247 2.151250 14 47.355 2.1
12、11451 14 47.823 2.132252 14 42.569 2.3980表 1当 不变时，考虑 的变化对系统稳定性的影响，有表 2：50nncknnm2 14 47.794 2.13094 14 47.717 2.1275表 2从这两个表中可以看出，在 不变的情况下，系统的各项指标均无较大的变50n化，当 时，不足以修好三年内所有的故障机床，而 时，平均每小时处于工作c 4c状态的工人数并没有多大影响，系统的其余指标也同样无大的好转.因而 的取值应该c不变，为 .但是在 的变化下，有当 时，平均每小时处于工作状态的工人数349增加了 0.892 人，为 48.247 人.也就是说在修
13、理工人数不变,工人人数减少的情况下平均每小时处于工作状态的工人数反而达到最大值，因而最优的人事安排方案为 50 名工人，3 名修理工.5 模型评价本文用概率的方法,以比较简单的模型解决了问题,通过引入假设 4: 若机床故障的概率小于 时,可以认为在三年内这种情况不发生.这一假设极大的简化了模型,求610出了同时在运行的最少机器数为,等候修理的最大机器台数；之后又在这一基础上通过离散化的方法求出了每小时处于工作状态的工人数,平均每小时处于工作状态的修理工人数等等的系统稳定运行的各项指标；进而得出了生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，得到了最优的人事安排方案：应该请 50 名工
14、人和 3 名修理工. - 8 -但是也正是由于这个模型的简单化使得这个模型过于粗糙,对于系统稳定运行方面的细节研究得不够,误差也比较大,但是还是如实地反映了系统运行的真实状态.参考文献：1 姜启源.数学模型（第三版）M.北京.高等教育出版社.20032 魏宗舒.概率论与数理统计教程M.北京.高等教育出版社.20033 程晓民,贾亚洲. 加工中心失效分布规律的研究. 机床与液压.2000.2:69-70.20004 牛映武.运筹学.西安.西安交通大学出版社.1998附录：Matlab 计算程序n0=50;EPk=0.0617;p=;p=p,EPk0*(1-EPk)n0;for i=1:18b=1
15、;a=1;for j=1:ib=b*(n0-j+1);a=a*j;endc=b/a*EPki*(1-EPk)(n0-i);p=p,c;endpTs=0;N=156*5*8;for i=5:6Ts=Ts+(i-4)*p(i+1)*7*N;endfor i=7:9Ts=Ts+2*p(i+1)*7*N+(i-6)*p(i+1)*14*N;endfor i=10:12Ts=Ts+2*p(i+1)*7*N+3*p(i+1)*14*N+(i-9)*p(i+1)*21*N;endfor i=13:15Ts=Ts+2*p(i+1)*7*N+3*p(i+1)*14*N+3*p(i+1)*21*N+(i-12)*p(i+1)*8*N;endTs=fix(Ts)nnn=(N*n0-Ts)/Nmmm=nnn*7/157
