1、篮球比赛问题模型摘 要篮球比赛中,赢得比赛与否往往能在赛后的技术统计中找到直接的关系.本文通过对 2 个小组 12 支球队的技术指标分类统计,计算各队在各组的排名,从而得出各指标对球队的贡献顺序依次为罚球命中率、防守篮板、两分命中率、犯规、失误、三分命中率、抢断、进攻篮板、助攻和盖帽.由此引入秩和比( )法处理不同组之间的数据,RS并根据实力指数进行综合排名,最终名次为信电学院、数学学院、物理学院、机电学院、管理学院、化学学院、测绘学院、能源学院、计算机学院、资源学院、生物学院和地质学院,并对各队给出相应建议以提高其水平.关键词: 指标、排名、秩和比(RSR)法、实力指数.1 问题的提出某大学
2、有 12 个学院,每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比赛.首先进行分组赛,共分两组,每组 6 支代表队;小组赛结束后,每组选出两支代表队参加第二阶段的决赛.附表 1 和附表 2 分别为第一组和第二组的比赛结果.要求根据这些数据,研究各个代表队的下列问题:(1)每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系.(2)按照技术指标对代表队成绩贡献的大小,将这些技术指标进行排序.(3)找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次.(4)根据这两个小组赛的成绩,预测哪支代表队最有可能夺冠,并将这 12 支代表队的名次进行排序.(5)对每支代表队给出几点技术方面的改进建议,以提升该队的竞技水平.2 模型的
3、假设2.1 比赛规则采取现行的篮球比赛规则 ,但取消 2 次技术犯规下场的规则,1并规定球员累计犯规 5 次即判罚其下场;2.2 比赛中的事件(裁判误判、球员冲突等各类突发状况)对球员情绪、心态和技术的发挥没有影响;比赛都不存在“垃圾时间” ,或者是球员每秒钟都全力以赴;比赛在法定时间内结束(每队的出场总时间都相同),比赛指标数据能体现队伍的真实技术和水平(即两支球队交战时,实力差别越大,强队获胜的可能性就越大、指标越出色);球员身高、体重和体能等因素对数据无影响或影响不大可忽略不计;球员不出现伤病、停赛的情况并且能正常的发挥,裁判能正确的执法;2.3 根据附件数据,假定队伍中的 4-8 号球
4、员为队伍的主力球员,其余 9-15 号球员为替补球员;2.4 球队在决出小组前两名后,共四支球队争夺冠军,其余八支球队间没有进行任何比赛,即不存在两个小组第三名争夺第五名的情况等.3 符号的约定表示第一小组的球队，分别为数学学院、物理学院、化学学院、生)61(kM物学院、计算机学院和资源学院;表示第二小组的球队,分别为机电学院、信电学院、测绘学院、管理)(2k学院、能源学院和地质学院;第 队第 指标的秩次;ijRij1,2,12 各球队的序号,分别为数学学院、物理学院、化学学院、生物学院、计算机学院、资源学院、机电学院、信电学院、测绘学院、管理学院、能源学院和地质学院;1,2,10 评价指标,
5、分别为两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率、j进攻篮板、防守篮板、助攻、抢断、盖帽、犯规和失误;各指标所占的权重系数.jW计算排名的符号下文中逐步引出.4 问题的分析篮球比赛的技术指标可分为进攻型指标,包括两分命中、三分命中、罚球命中、进攻篮板、助攻和抢断,这些共同决定着球队的进攻能力;防守型指标,包括防守篮板、盖帽、犯规和失误,这些又共同决定着球队的防守能力.又由于两个小组的队伍间并未有任何直接的交锋,因此在考虑总排名时不能只看各队在各自小组的成绩.因此我们引进了实力指数,其中:实力指数= 防 守 权 重防 守进 攻 权 重进 攻 RSRS进攻 = 权 重 系 数各 指 标防守 = 权 重
6、 系 数各 指 标5 模型的建立和求解5.1 对问题一的解答根据附表一、二，统计出各队的比赛数据(见附录表一、二).由附录表一、表二分析可知,球队的成绩与两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率、进攻和防守篮板、助攻、抢断、盖帽、犯规和失误有关,且两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率越高,进攻和防守篮板、助攻、抢断、盖帽的次数越多,相对的犯规和失误的次数越少,球队的成绩越好.5.2 模型二的建立与求解为求指标与成绩之间的关系,先计算各小组的排名.由比赛名次模型 ,画出如下两个竞赛图(有向完全图).2数 学 物 理 化学 生物 计 算 机 资 源 第 一 小 组 相 互 战 绩 机 电 信 电
7、测绘 管理 能 源 地 质 第 二 小 组 相 互 战 绩 图三 各小组的相互战绩图(1)第一小组的排名定义竞赛图的邻接矩阵 如下:6)(ijaA的 有 向 边到不 存 在 从 顶 点， 的 有 向 边到， 存 在 从 顶 点 i 01jij根据图 3,故有 0 1 1 0 A记顶点的得分向量为 ,其中 是球队 的得分.Tnss),(21isi则 , AT),(继续计算可得 )1()2(s)1()( kkks,2利用 定理,素阵 的最大特征根为正单根 , 对应正特征向量FrobeniuPeA,有:ssAk1lim利用数学软件计算当 时最大特征根对应的特征向量 ,并将其归一化,按大小k s对各队
8、进行排名: 14,0.68,.915,.20.62,. .37,s我们看到资源学院仅胜 1 场,但得分向量为 0.1114,高于胜 2 场生物学院,因为他战胜了强大的化学学院,但由于成绩不如生物学院,只能排在其后(下同).故第一小组名次依次为数学学院、化学学院、物理学院、生物学院、资源学院和计算机学院.(2)第二小组的排名 3同第一小组的计算方法,计算得: 0.,.,167.0,.,5.0,167.s而此种局面须根据得失分(机电学院净胜分为 9.2,测绘学院净胜分为-0.2,管理学院净胜分为 5.8)等判断,由表二,排得:名次为信电学院、机电学院、管理学院、测绘学院、能源学院和地质学院.根据排
9、名,将小组第一名的权重分数定为 8 分,其余为 6 分,5 分,4 分,2 分,1 分.再按照各小组数据最高值定为 1,其余按比例关系计算得表四、五(见附录表四、表五).例如在第一小组中,数学学院的两分命中率为 0.550,按上述规则整理后的值为 0.943,故其分数为 8(分)0.943=7.544(分),如此类推,将各项数据所得权重分数进行累加,归一化后即为各指标的权重系数.经计算,两分命中率的权重分数为 46.6740,三分命中率的权重分数为 43.3130,罚球命中率的权重分数为 48.5100,进攻篮板的权重分数为 39.7710,防守篮板的权重分数为 47.2760,助攻的权重分数
10、为 39.7330,抢断的权重分数为 40.1750,盖帽的权重分数为35.9130,犯规的权重分数为 45.6810,失误的权重分数为 44.8700.故各指标的权重系数分别为:0.1081,0.1003,0.1123,0.0921,0.1095 0.0920,0.0930,0.0831,0.1058,0.1039.所以各指标的排序为:罚球命中率、防守篮板、两分命中率、犯规、失误、三分命中率、抢断、进攻篮板、助攻和盖帽.5.3 对问题三的解答从排名上看,有一些比赛是决定性的.第一小组中,数学学院：球队赢得了所有的比赛,决定性的是在两场关键场次中战胜了化学学院和物理学院,为最终排名小组第一奠定
11、了基础;物理学院：球队关键场次败给了数学学院和化学学院,这两场失利直接导致他们排名小组第三,未能出线;化学学院：球队关键场次战胜了物理学院,尽管“爆冷”输给资源学院，但还是得以最终排名小组第二;生物学院：球队战胜计算机学院和资源学院,但没有在对数学学院、化学学院、物理学院的关键战役中获得任何一场胜利,是排名小组第四的最主要原因;计算机学院：球队排名垫底,与生物学院关键一役的失利是球队成绩不好的主要因素;资源学院：球队能战胜强大的化学学院,却关键场次败给生物学院和计算机学院，从而成绩并没有实质性的提高。第二小组中,机电学院：关键场次有三场,分别为负于信电学院、战胜测绘学院和负于管理学院,仅凭借得
12、失分排得小组第二,力压管理学院和测绘学院出线;信电学院：战胜实力相当的机电学院、测绘学院和管理学院为关键战役;测绘学院：关键场次有三场,分别为负于信电学院、战胜管理学院和负于机电学院,但由于得失分最差仅排得小组第四;管理学院：关键场次有三场,分别为负于信电学院、战胜机电学院和负于测绘学院,但由于得失分比机电学院差,遗憾地排得小组第三,未能出险;能源学院：实力较弱,战胜地质学院为其关键比赛场次,凭借这场胜利获得小组第五;地质学院：净负五场,关键败给了能源学院,最终排名垫底.5.4 模型四的建立与求解 4法的基本思想是将评价指标按秩第原则在所有评价对象中进行秩第分配,确定RS其秩位(数大成绩好的指
13、标,原始观测数越大,秩第值越高 ;数小成绩好则反之).法的评价模型: )(/1 WmRnRSmjij根据表一、二统计出的数据,由假设 ,我们可以列出进攻能力 表,每行表示2. RS每一个队伍,每列指标分别表示两分球命中率、三分球命中率、罚球命中率、进攻篮板和助攻;还有防守能力 表,每行表示每一个队伍,每列指标分别表示防守篮板、抢断、S盖帽、犯规和失误.两分命中三分命中罚球命中进攻篮板助攻权重系数 W0.1081 0.1003 0.1123 0.0921 0.0920RWS指标值 0.550 0.319 0.724 42 451MR10 4 11 5 33.4540 0.5702指标值 0.58
14、3 0.303 0.681 49 741211 3 6 8.5 124.0507 0.6687指标值 0.509 0.385 0.695 35 62135.5 8 9 1 93.3277 0.5494指标值 0.392 0.280 0.692 50 3714MR2 2 8 10 12.3282 0.3843指标值 0.509 0.342 0.667 49 55155.5 5.5 4 8.5 7.53.0682 0.506516指标值 0.523 0.396 0.684 41 49 3.4662 0.5722R7 10 7 4 6指标值 0.532 0.416 0.670 47 5521M9 1
15、1 5 7 7.53.9724 0.6558指标值 0.584 0.450 0.700 54 65212 12 10 11 105.5569 0.9173指标值 0.488 0.347 0.759 43 4823R3 7 12 6 53.3866 0.5591指标值 0.528 0.236 0.644 80 7324M8 1 2 12 113.3069 0.5459指标值 0.503 0.395 0.652 39 47254 9 3 3 42.3163 0.3824指标值 0.367 0.342 0.564 38 4326R1 5.5 1 2 21.1403 0.1882表六 进攻 RSR 表
16、防守篮板抢 断 盖 帽 犯 规 失 误权重系数 W0.1095 0.0930 0.0831 0.1058 0.1039RWS指标值 112 37 14 84 701MR5 6 9.5 12 8.54.0477 0.6682指标值 99 46 10 109 71122 11 4 9 6.53.2020 0.5286指标值 117 43 13 116 72137 10 7.5 6 53.4741 0.5735指标值 126 15 5 94 8914MR11 1 2 11 12.7314 0.4509指标值 115 35 6 124 70156 5 3 3 8.52.5719 0.4246指标值 1
17、01 26 11 125 71163 3 5.5 2 6.51.9515 0.3222指标值 123 39 13 123 7321MR9 8 7.5 4 43.1915 0.5269指标值 120 38 17 127 8028 7 11 1 22.7547 0.454823指标值 106 42 4 115 60 3.3455 0.5523R4 9 1 7 12指标值 125 52 22 112 7724M10 12 12 8 34.3663 0.7208指标值 127 16 11 106 682512 2 5.5 10 104.0541 0.6693指标值 81 33 14 122 6126R
18、1 4 9.5 5 112.9429 0.4858表七 防守 RSR 表根据得分,算出进攻权重为 0.5048,防守权重为 0.4952,故各队实力指数为:球队 实力指数 球队 实力指数数学学院 0.6187 物理学院 0.5993化学学院 0.5613 生物学院 0.4173计算机学院 0.4659 资源学院 0.4484机电学院 0.5920 信电学院 0.6883测绘学院 0.5557 管理学院 0.6325能源学院 0.5245 地质学院 0.3356表八 各队实力指数表根据实力指数表八,信电学院最有可能夺冠.而前四名须由小组出线的球队获得,而管理学院小组未能出线,故不能排在前四名.由
19、假设 ,所以各队的排名预测值为:信电4.2学院、数学学院、物理学院、机电学院、管理学院、化学学院、测绘学院、能源学院、计算机学院、资源学院、生物学院和地质学院.5.5 对各队的建议由假设 ,统计出各队主力队员和替补队员的数据(见附录表九、十).由表九、十3.2的主力和替补的统计数据以及表一、二的整体数据作整体的比较,为加强各队的竞技水平,给出建议:数学学院:1.投篮的出手次数不够,并由此导致攻击力的匮乏,虽然名列小组第一,但在综合排名上不占优势;2.主力队员在总体上发挥出色,但替补队员的数据很不乐观,有待加强.物理学院:1.进攻比较出色,但防守篮板相对逊色,直接导致球队的失分增多;2.球队的主
20、力得分比较多,而替补则在防守指标上比较出色,主力球员在防守方面需要加强.化学学院:1.球队的罚球次数相当少,与此同时命中率却也不高,表明球队攻击方面的问题,尤其是在进攻不力时多制造对手的犯规以增加罚球次数,罚球是死技术,不太需要技术的含量,这样可以提高得分;2.队伍重视三分球,因此在这一样统计上具有一定优势,但仍需加强.生物学院:1.球队的场均得分仅有 60.6 分,但失分达到 76.4 分,进攻方面存在的问题极其突出,提高运动战的投篮命中率能够使球队战力上一个档次;2.抢断和盖帽次数偏少,最重要的是要减少球队的失误.计算机学院:1.球队的进攻还可以,但防守失分过多,尤其是防守篮板和失误这块;
21、2.替补队员能力欠佳.资源学院:和计算机学院类似,但防守篮板是首要问题.机电学院:三分球出手不够多,要大胆地增加其出手次数.信电学院:进攻极其出色,掩盖了防守不力对成绩的影响,但防守问题仍要改进,要极力限制对手得分.测绘学院:1.进攻出色,但两分命中有待提高,这样才能使球队的进攻水平提升;2.防守比较弱,尤其是防守篮板;3.替补球员哪方面都不佳,需要提高.管理学院:1.球队的三分球命中率需要提高;2.替补队员发挥的比较出色,相对的主力的技术水平还有进一步提升的空间.能源学院:1.球队防守不力,尤其在抢断方面显得能力不足;2.和管理学院相反,替补的发挥不尽如人意,需要锻炼以获得提高.地质学院:1
22、.球队的问题十分严重,进攻不力,防守相当弱;2.在投篮方面出手不算少,但命中低,要提高命中率;3.防守篮板十分少,直接导致球队的防守出现问题.6 模型的评价和推广模型引入 RSR 法,对差异比较大的数据进行了排秩处理,虽然能够解决指标和实力的相对关系,但也使得数据不太准确;其次问题 5 替补球员数据部分因有些球员无上场时间,但每场均不同,不好处理,只能将未上场球员也算进上场的球员数据中算,其结果稍偏低.但对于越多球队的排名,该种模型所处理的结果越合理,越可靠.参考文献1 篮球比赛规则(http :/ 姜启源.数学模型(第三版) .北京:高等教育出版社,2003.M3 祁国鹰.实用体育统计 .北京.北京体育大学出版社,1997.4 钟平,李龙.篮球比赛出场阵容的模糊多目标优化模型.中国体育科技 ,2004.6J
