1、165 开放式基金投资问题的数学模型摘要:本文讨论了投资所得利润的问题，首先我们在不考虑项目之间相互影响和风险的情况下，建立了一个利润优化模型，并求解出最优方案，使利润达到了最大，为 37112 万元.接着在这个模型的基础上考虑项目之间相互影响的情况下建立了模型，并求解出了最优解为 37607 万元.然后又进一步考虑了风险，建立了双目标规划模型，并用偏好系数加权法进行了求解，投资者在同时重视利润和风险的情况下，得出最优方案的利润为 37336 万元，风险损失为 8120 万元.最后，综合考虑了利润、风险和客户兑付现金的情况，建立了多目标规划，求解时固定风险和客户兑付的现金，优化利润，得出了最优
2、投资方案.关键词：投资利润;相互影响;线性规划;系数加权法 1 问题提出随着京珠高速公路的开通，各企业公司纷纷来韶关办厂投资，韶关迎来了新一轮的发展热潮.现有一家开放式基金公司来韶关投资，有几个项目可以选择投资，这时他该选择怎样的投资方案使获得的利润最大.在投资时，投资项目会出现相互影响的情况，该公司应如何进行投资.投资获得利润的同时也伴随着风险，公司该选择怎样的投资方案使获得利润最大，风险损失最小.要保留适量现金以应付客户兑付现金，公司又该如何投资 .2 问题分析本题有四个问题，首先是根据投资项目所需资金及预计一年后所得利润的数据，求解采用怎样的投资方案，使得第一年所得的利润最大，运用线性规
3、划可以求解出获得最大利润的投资方案.接着在投资项目之间相互影响的情况下，求解出获得最大利润的投资方案.根据前面可以建立同样的模型，利用 Matlab 可以求解出最优方案.考虑了投资项目之间相互影响和每个项目的投资风险的情况，参照上面的模型，建立双目标规划模型，求解双目标：投资所得利润最大，总风险最小.对于保留适量现金，是在考虑投资项目之间相互影响和每个项目的投资风险的情况，要求该基金公司保留适量的现金，使得投资所得利润最大，总风险最小.要保留适量的现金，是个比较难处理的地方，因此把它转化为投资最少，所得利润最大，总风险最小，这样合理地简化了问题，使得求解方便.3 基本假设与符号约定3.1 基本
4、假设（1）投资到项目 的资金是项目投资额的整数倍.iA（2）当项目之间相互影响时，只要相互影响的项目都有投资，它们的利润 均按相互影ip响时的预计利润计算.3.2 符号约定投资项目 的投资额iCiA8.1i投资项目 的预计利润ipi投资项目 的投资总额上限ihi .i投资投资项目 的份数ixiA81投资项目 的风险损失率iqi .i166 投资项目总风险Q投资所得的总利润F4 模型的建立与求解4.1 投资项目不出现相互影响的情况设投资项目 为 份 ，则对项目 的投资总额为 ，项目 所得的利iAix8.1iAixCiA润为 ， 因此整个投资方案的预计所得利润为 ，该问题就是要求这个方案ixp 8
5、1iipF的预计利润最大，即目标函数是 max ，建立数学模型如下：81iixmax 81iipF5081iixCs.t. iih08,21Zxi投资项目所需资金及预计一年后所得利润如下表：（单位：万元）项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资额 6700 6600 4850 5500 5800 4200 4600 4500预计利润 1139 1056 727.5 1265 1160 714 1840 1575上限 34000 27000 30000 22000 30000 23000 25000 23000根据上表可以得到具体的模型为：max 87654321 1584
6、07101265.70639 xxxxF s.t. 2848675x3001276x167 304850x25x3040627x58Zxx87654321,这个模型是整线性规划模型，运用 Matlab 可以求出： ， ， ，51x213x， ， ， ， ， .即项目 投资 5 份，项目4x526x578x37F1A投资 1 份，项目 投资 1 份，项目 投资 1 份，项目 投资 4 份，项目 投资 2 份，2A3A4A56项目 投资 5 份，项目 投资 5 份，公司所得的利润将最大，为 37112 万元.784.2 投资项目出现相互影响的情况4.2.1 不考虑风险的情况在对项目具体投资时，项目
7、之间出现了相互影响的情况：如果同时对第 1 个和第 3 个项目投资，他们的预计利润分别为 1005 万元和 1018.5 万元；如果同时对第 4、5 个项目投资，他们的预计利润分别为 1045 万元和 1276 万元；如果同时对第 2、6、7、8 个项目投资，他们的预计利润分别为 1353 万元、840 万元、1610 万元、1350 万元.这样每个项目的预计利润会随着与它相互影响的投资项目的份数 而改变.因此，每个投资项目的预计利润分ix别为：0,1539xp 0,13506872xp,.87213 ,0450,27645xp ,8718726xp168 0,16848627xp 0,135
8、77628xp建立的数学模型同样是寻求使投资总利润最大的投资方案，目标函数同样是求最大 .因此，建立的数学模型为：81iiFmax 81iixpF5081iiCs.t. iihx08,2Zi这也是一个整线性规划，目标函数中的预计利润 随着与之相影响的投资项目投资的ip份数而改变，运用解线性规划的函数求解这个模型比较麻烦，要不断调整预计利润 ，所ip以编程求解可以避免预计利润 的调整，较快地解出该模型 .(程序见附录)ip通过编程求解出 ， ， ， ， ， ， ，1x0263x45x4657x， .即项目 投资 1 份，项目 不投资，项目 投资 6 份，项目 投58x3760FA2A34A资 4
9、 份，项目 投资 5 份，项目 投资 4 份，项目 投资 5 份，项目 投资 5 份，获678得的总利润为最大，是 37607 万元.4.2.2 考虑风险的情况在投资时还面临着风险损失，投资项目的风险损失率如下表：项目编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 风险损失率qi（%） 32 15.5 23 31 35 6.5 42 35投资项目的总风险用所投资项目中最大的一个风险来衡量，因此，投资项目的总风险iiqxCQ81ma这样该问题也就变成了双目标优化模型，即求使投资所得利润最大，投资风险最小的投资方案，建立的具体模型如下：169 max 81iixpFmin iiqCQ8ma1
10、5081iixs.t. iihC08,2Zxi,对于上面双目标优化模型，可以用多种方式化为单目标优化问题，主要有以下三种方法：方法 1:固定投资项目的总风险，优化投资项目所得的利润，模型可化为：max 81iixpFkQ15081iixCiih8,2Zxi,其中 为投资者所能承担的最高风险k方法 2：固定投资项目所得的利润，优化投资项目的总风险，模型可化为：min Q81iihxps.t. 5081iiCiihx08,21s.t.170 Zxi8,21i其中 为投资者追求的最低利润h方法 3：确定投资者对利润风险的相对偏好系数 ，模型可化为：0max 81iiQxp5081iixCs.t. i
11、ih8,21Zxi,在上面三种方法中，根据投资者对最低利润的追求和最高风险的承担能力，选择不同的 或不同的 值进行求解，可以确定出适合投资者的最优方案.hk,在这里，运用第三种方法，即偏好系数加权法，将模型中的两个目标分别赋权重，取，即投资者对投资利润和风险两者同样重视，求解得：5.0， ， ， ， ， ， ， ， ，21x63x45x647x58120Q.即对项目 投资 2 份，项目 不投资，项目 投资 6 份，项目 投资 4 份，376F1A2A3A项目 投资 4 份，项目 投资 5 份，项目 投资 4 份，项目 投资 5 份，风险损失为5A6788120 万元，获得的总利润为 37336
12、 万元.4.2.3 考虑保留适量的现金的情况该基金公司要求保留适量的现金，降低客户无法兑付现金的风险.在这里，客户兑付现金的情况很难确定，因此把问题转化为求投资最小，风险最小，获得利润最大，就可以避免了对客户兑付现金情况的讨论，合理地简化了问题.建立的模型为：171 max 81iixpFmin iiqCQ8mamin 1iix15081iixCs.t. iih08,2Zxi,1在这里，把投资总额和风险损失固定做为约束条件，优化利润，得到模型为：max 81iixpFhCii81kQs.t. iihx08,21iZi,其中 为最高投资额， 为投资者所能够承担的最高风险hk投资者根据承担风险和应
13、付客户对付现金的能力的情况，对于 和 取不同的值，可kh以求得不同的最优投资方案，具体情况如下表：最高投资额 (万元)h最高风险（k万元）1x234x567x8所得利润 （万F元）承担的风险（万Q元）实际投资额（万元）140000 10000 1 0 6 4 4 3 5 5 35617 9660 139100130000 10000 1 0 6 3 4 2 5 5 33858 9660 129400172 120000 10000 1 0 6 2 4 1 5 5 32099 9660 119700110000 10000 1 0 6 1 4 0 5 5 30340 9660 110000140
14、000 9000 1 0 6 4 4 4 4 5 34491 8120 138700130000 9000 1 0 5 4 4 3 4 5 32759 8120 129650120000 9000 1 0 5 3 4 2 4 5 31000 8120 119950110000 9000 1 0 6 1 4 1 4 5 29214 8120 109600140000 8000 2 0 6 4 3 4 4 5 34220 7875 139600130000 8000 1 0 6 4 3 3 4 5 32501 7875 128700120000 8000 1 0 6 4 0 5 4 5 30981
15、 7875 119700110000 8000 2 0 6 4 0 1 4 5 29130 7875 109600140000 7000 2 4 6 4 0 4 3 4 32183 6820 139500130000 7000 1 0 3 5 3 5 3 4 30514 6820 128000120000 7000 1 0 6 4 3 3 3 4 29086 6820 119600110000 7000 1 0 6 3 3 2 3 4 27327 6693 109900根据不同的 和 ，可以得到不同的投资方案，投资者可以根据自己的承担风hk险的能力和客户兑付现金的情况采用不同的投资方案.5 模
16、型的评价本文在求解投资项目之间相互影响时，通过编程求解出了最优的投资方案，虽然运用了多重循环和多次判断，占用了较大内存，增加了程序运行时间，但是很好的避免了投资额的调整，这样方便了求解.在处理基本保留适量现金以预防客户兑付现金时，在客户兑付现金情况不清楚的情况下，通过求解投资额最小，所得利润最大，承担的总风险最小的转化，避免了保留适量现金数目的讨论，简化了模型，求解也方便了.参考文献：1.王沫然.Matlab6.0 与科学计算M.北京.电子工业出版社，20012.姜启源数学模型(第三版)M北京.高等教育出版社，20033.洪毅.数学模型M.北京.高等教育出版社.20044.刘来福. 数学模型与数学建模M.北京.北京师范大学出版社.1997
