1、1三角函数型应用题（高一）1 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 的池底水平铺设污水净化管道ABCD， 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的FHERt(接口 是 的中点， 分别落在线段 上.已知 米， 米，AB,F,20103A记 .（1）试将污水净化管道的长度 表示为 的函数,并写出定义域；（2）若L，求此时管道的长度 ；（3）问：当 取何值时，污水净化效果最好？sinco2并求出此时管道的长度.2解：（1）10cosEH，10sinFsinF由于 ta3B，103tanAF3ta， ,6310cosiscoL， ,6.(2) 2cosin时， 2sin,
2、 )1(;（3）1010icoL=sinco设 sincot 则2sint由于,63，所以31i2i(),42t 201Lt在3,内单调递减，于是当t时,63时 ， L的最大值 20(31)米. 答：当 6或 3时所铺设的管道最短，为 米.2某居民小区内建有一块矩形草坪 ABCD，AB=50 米，BC= 米，为了便于居民平时253休闲散步，3DA BCOEF 该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路 OE、EF 和 OF，考虑到小区整体规划，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且EOF =90，如图所示（1）设BOE= ，试将 的周长 表示成 的函数
3、关系式，并求出此函数的定义OFl域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为 400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用4解：(1)在 RtBOE 中，OB=25, B=90 ，BOE= ，OE= .2 分25cos在 Rt AOF 中， OA=25, A=90，AFO= ，OF= .4 分sin又EOF=90，EF= = ,2225()()cosiOEF5cosi 5cosinilOEF即 6 分25(sin1)c当点 F 在点 D 时，这时角 最小，求得此时 = ；6当点 E 在 C 点时，这时角 最大，求得此时 = 3故此函数的定义域为 .8 分,63(2)由题意知，要
4、求铺路总费用最低，只要求 的周长 的最小值即可.OEFl由（1）得， ，25(sinco1)l,63设 ，则 ，sincot2ist 12 分225(s1)5()0in1l tt由， ，得 ， ，712413t3122t从而 ，15 分t当 ，即 BE=25 时， ,4min25(1)l所以当 BE=AE=25 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 元.16 分10(2)53. 如图，ABCD 是块边长为 100m的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90 的扇形小山，m其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P 在 弧ST 上，相邻两边 CQ、CR 落在正方形
5、的边 BC、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值。解：设 延长 交 于),90(PABRTABMsin,cos90M.cos901PQ1R )sin901)(PSRC矩 形 csi80)cos(i1 ,令 21in,21sinttt-10950)(405890tttSPQRC矩 形故当 时，S 的最小值为 ,当 时 S 的t 2m2)14(mTQCPSD RA B64如图，在半径为 、圆心角为 的扇形的弧上任取 一点 ，作扇 形的内接矩形360 P，使点 在 上，点 在 上，设矩形 的面积为 ,按下列要求写PNMQOA,NMBNMQy出函数的关系式：（1）设 ，将 表示成 的
6、函数关系式；设 ，将PxyxOB表 示成 的函数关系式；请你选用（1）中的一个函数关系式，求出 的最大值y y解：（1）因为 ， ， 所以 ， 223ONx3Mx23Nx分，所以 . 4 分2(),(0)yx因为 ， ， ，3sinPN3cosO3sin所以 6 分inM所以 ，即 ， 83sin(cos)y23sico3siny(0,)3分（2）选择 ， 12 分2sisinsi()62 13 分所以 . 14 分(0,)352(,)6max3yPOABQMN75 如下图，某小区准备绿化一块直径为 的半圆形空地， 的内接正方形BCABC为一水池， 外的地方种草 ,其余地方种花. 若 ，设PQ
7、RSABC=a,的面积为 ，正方形 的面积为 ，将比值 称为“规划合理度”.ABC1PQRS221S（1）试用 , 表示 和 ；a2（2）若 为定值，当 为何值时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值A B C P Q R S 8（1）在 中， ，RtABCcos,sinaACa3 分21in2S设正方形的边长为 则 ，x,cossixP由 ，得 ，BPAcoina故 sinco1ax所以 6 分22is()S（2） ， 8 分221 1(sin)inco1sin21s i4令 ，因为 ，sit0所以 ，则 10 分0in2(0,1t所以 ， ，12)4Sgt204t所以函数 在 上递减，12
8、 分(),因此当 时 有最小值 ，ttmin9()(1)tg此时 14 分sin21,4所以当 时， “规划合理度”最小，最小值为 15 分496 如图所示，一条直角走廊宽为 2 米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形 ABEF，它的宽为 1 米。直线 EF 分别交直线 AC、 BC 于 M、 N，过墙角 D 作 DP AC 于 P， DQ BC 于 Q；若平板车卡在直角走廊内，且 ，试求平板面的长 CAB(用 表示)；若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?解：（1） DM= ， DN= ， MF= ， EN= ， sin2costan1tEF=DM+DN-MF-EN= +
9、= （ ） cosi1)(220（2） “平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（ ） ，平板车的长度不能通过，20即平板车的长度 ；记 ，有 = ，minl,cosit1cosin21t= = cosi1)(n224t此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记 ，则 ）或直接求导，mt2442tAB2m2mMNEDFPQCl10以确定函数在 上的单调性；当 时取得最小值2,1 2t 247 （本小题满分 15 分） 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）求棒长 L 关于 的函数关系式： ；L（2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值解：（1）如图， sin2,coBCAsin2coBCAL 0（2） si2L令 ，因为 ，所以 2,1t，4incot 40则 212cosisint，当 ,1t时， 随着 的增大而增大，ttL12t 22ABC22
