1、第 1 页 共 12 页西城区高三模拟测试数学（理科） 2018.5第卷（选择题 共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合 ， ，则下列结论中正确的是|01Ax2|0Bx（A） B（B） AR（C） （D） 2若复数 满足 ，则z(1i)zz（A） i2（B） 1i2（C） 1i2（D） 1i23下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是(0,)（A） 1yx（B） 2yx（C） |xy（D） cosyx4某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是（A） 12（B） 40（C）
2、12（D） 855向 量 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置 如 图 所 示 若向 量 与 ,abc abc共线，则实数 （A） 2（B） 1（C） 1（D） 26已知点 ， 若椭圆 上存在点 ，使得 为等边三角形，(0,)(,)2:xyWmABC则椭圆 的离心率是W第 2 页 共 12 页（A） 12（B） 2（C） 63（D） 327函数 则“ ”是“ ，使 ”的2()fxa0 01,x0()fx（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件8在直角坐标系 中，对于点 ，定义变换 ：将点xOy(,)xy(,)xy变换为点 ，使得其中 这样变
3、(,)abtan,b,(,)2换 就将坐标系 内的曲线变换为坐标系 内的曲线xyaOb则四个函数 ， ， ，12(0)2(0)x3e(0)xy在坐标系 内的图象，变换为坐标系 内4ln()yxOyab的四条曲线（如图）依次是（A）， （B），（C）， （D）， 第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知圆 的参数方程为 （ 为参数） ，则圆 的面积为_；圆心 到直线C2cos,inxyCC的距离为_:340lxy10 的展开式中 的系数是_241()x2x11在 中， ， ， ，则 _ABC3ab3Acos2B第 3 页 共 12 页12
4、设等差数列 的前 项和为 若 ， ，则数列 的通项公式可以是_nanS1a23Sna13设不等式组 表示的平面区域为 若直线 上存在区域 上的点，1,325xy D0axyD则实数 的取值范围是_ a14地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已
5、知函数 ()1tan)si2fxx（）求 的定义域；（）若 ，且 ，求 的值(0,)()2f16 （本小题满分 14 分）如图，梯形 所在的平面与等腰梯形 所在的平面互相垂直， ，ABCDABEF/ABCDEF ， AB2FE4（）求证： 平面 ；/第 4 页 共 12 页（）求二面角 的余弦值；CBFA（）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？EGBCF请说明理由17 （本小题满分 13 分）在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了 1
6、00 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（）求样本中患病者的人数和图中 a，b 的值；（）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人，求这 2 人中有患病者的概率；（III）某研究机构提出，可以选取常数 ，若一名从业者该项身体指标检测*0.5()XnN值大于 ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于 ，则判断其未患有这种职业0X 0X病从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病写出使得判断错误的概率最小的 的值及相应的概率（只需写出结论） 018 （本小题满分 14 分）已知直线 与抛物线 相切于点 :1lykx2:4CyxP（）求直线 的方程及点
7、 的坐标； P（）设 在抛物线 上， 为 的中点过 作 轴的垂线，分别交抛物线 和直线 于QAQAyCl第 5 页 共 12 页， 记 的面积为 ， 的面积为 ，证明： MNP1SQAM2S12S19 （本小题满分 13 分）已知函数 ，曲线 在 处的切线经过点 ln()xfa()yfx1(2,1)（）求实数 的值；a（）设 ，求 在区间 上的最大值和最小值1b()fx1,b20 （本小题满分 13 分）数列 ： 的各项均为整数，满足： ，且nA12,(2)na 1(,2)iain，其中 132 10naa 10（）若 ，写出所有满足条件的数列 ；n3A（）求 的值；1a（）证明： 20na第
8、 6 页 共 12 页西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1C 2A 3D 4B 5D 6C 7A 8A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 ， 10116561312 （答案不唯一） 13 14D2n1,32注：第 9 题第一空 3 分，第二空 2 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分）解：（）因为函数 的定义域是 ，tanyx|,2xkRZ所以 的定义域为 4 分()f |,（） 1tas
9、i2xx 5 分n()co 6 分2siix 7 分ns1 8i()4第 7 页 共 12 页分由 ，得 9 分()2f2sin()4因为 ，所以 ， 10 分07所以 ，或 1124324分解得 ，或 （舍去） 132分16 （本小题满分 14 分）解：（）因为 ，且 ，/CDEF所以 四边形 为平行四边形，所以 2 分/因为 平面 ， 3 分DFBCE所以 平面 4 分/（）在平面 内，过 作 AAzB因为 平面 平面 ，平面 平面 ，BCEFCDIABEF又 平面 ， ，zz所以 平面 ，AD所以 ， ， BAzB如图建立空间直角坐标系 5 分xy由题意得， ， ， ， ， (0,)(,
10、40)(2,)C(0,3)E(0,13)F所以 ， 2,BC ,3BF 设平面 的法向量为 ， ()xyzn则 即 0,BF n20,3.z令 ，则 ， ，所以 71yxz(1,3)n分第 8 页 共 12 页平面 的一个法向量为 ， 8ABF(1,0)v分则 5cos,|nv所以 二面角 的余弦值 10 分CBFA（）线段 上不存在点 ，使得 平面 ，理由如下： 11EGBCF分解法一：设平面 的法向量为 ， 1(,)xyzm则 即 0,ACE m120,3.xyz令 ，则 ， ，所以 13 分1y1x1z(1,3)m因为 ，0mn所以 平面 与平面 不可能垂直，ACEBF从而线段 上不存在
11、点 ，使得 平面 14GABCF分解法二：线段 上不存在点 ，使得 平面 ，理由如下： 11CE分假设线段 上存在点 ，使得 平面 ，GABCF设 ，其中 CE 0,1设 ，则有 ，2(,)Gxyz22(,)(,3)xyz所以 ， ， ，从而 ，32,3)G所以 13 分(,)A 因为 平面 ，所以 BCF/An所以有 ，231因为 上述方程组无解，所以假设不成立第 9 页 共 12 页所以 线段 上不存在点 ，使得 平面 14CEGABCF分17 （本小题满分 13 分）解：（）根据分层抽样原则，容量为 100 的样本中，患病者的人数为 人 23.41085分，10.35.201.0.5a
12、4 分4b（）指标检测数据为 4 的样本中，有患病者 人，未患病者 人 6 分0.2860.159设事件 A 为“从中随机选择 2 人，其中有患病者” 则 ， 8 分2917C()34P所以 9 分5()()（）使得判断错误的概率最小的 11 分04.X当 时，判断错误的概率为 13 分04.5X2118 （本小题满分 14 分）解：（）由 得 221,4ykx2(4)10kxx分依题意，有 ，且 0k2(4)0k解得 3 分1所以直线 的方程为 4 分l1yx将 代入，解得 ，k所以点 的坐标为 5 分P(,2)（）设 ， 则 ，所以 7 分(,)Qmn4m12(,)nA依题意，将直线 分别
13、代入抛物线 与直线 ，2nyCl第 10 页 共 12 页得 ， 8 分2(),16nM2(,)nN因为 ， 10 分2()441| 16164mn221()(8)()|mnA， 12(8)(4)164mn分所以 13|AMN分又 为 中点，所以 两点到直线 的距离相等， PQP， AN所以 1412S分19 （本小题满分 13 分）解：（） 的导函数为 ， 2 分()fx21ln()xaf所以 1a依题意，有 ， ()12fa即 ， 4 分1a解得 5 分（）由（）得 21ln()xf当 时， ， ，所以 ，故 单调递增；012lx所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 8 分()fx(,1)(1,)因为 ， 所以 最大值为 9 分0b()fxf
