1、全等三角形经典例题（全等三角形的概念和性质）类型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设ABC 和A 1B1C1是全等(合同)三角形，点 A 与点 A1对应，点 B 与点 B1对应，点 C 与点 C1对应，当沿周界 ABCA，及 A1B 1C 1A 1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图 1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图 2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转 180，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的
2、是( ) （答案）B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转 180，B 答案中的两个三角形经过翻转 180就可以重合，故选 B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角 类型三、全等三角形性质 3、如图，将长方形 沿 折叠，使 点落在 边上的 点处，如果 ，那么ABCDEDBCF60BAF等于（ ） A.60 B.45 C.30 D.15DE（答案）D；（解析）因为AFE 是由ADE 折叠形成的，所以AFEADE，所以FAEDAE，又因为 ，所以 FAEDAE 15.60BAF9062（点评）折叠所形成的三角形与原三角形是全等
3、的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：（变式）如图，在长方形 ABCD 中，将BCD 沿其对角线 BD 翻折得到BED，若135，则2_.（答案）35；提示：将BCD 沿其对角线 BD 翻折得到BED，所以2CBD，又因为 ADBC，所以1CBD，所以235.4、 如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的，若1232853， 的度数是_.（答案）80（解析）1232853，设128 ， 25 ， 33 ，xxx28 5 3 36 180， 5x即1140，225，315ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的，ABEAD
4、CABC2ABE，3ACDEBCBCD2223503080（点评）此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数 x 是比较常用的解题思路.举一反三：（变式）如图，在ABC 中，A:ABC:BCA 3:5:10，又MNCABC，则BCM：BCN 等于（ ）A1:2 B1:3 C2:3 D 1:4（答案）D；提示：设A3 ，ABC5 ，BCA 10 ，则 3 5 10 18 180， 10. xxxxxx又因为MNCABC，所以NB50，CNCB，所以NCBN50，ACBMCN100，BCN180505080，所以BCM：BCN20：80
5、1：4.（全等三角形判定一（SSS，SAS） ）类型一、全等三角形的判定 1“边边边”1、如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BDCE，求证：BADCAE.(答案与解析）证明：在ABD 和ACE 中，ABCDEABDACE（SSS）BADCAE（全等三角形对应角相等）.(点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证BADCAE，先找出这两个角所在的三角形分别是BDA 和CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：(变式）已知：如图，ADBC，ACBD.试证明：CADDBC.(答案）证明：连接 DC，在ACD 与BDC
6、 中ADBC公 共 边ACDBDC（SSS）CADDBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定 2“边角边”2、3、 举一反三：(变式）已知，如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，并且AE （ABAD） ，求证：BD180.12(答案）证明：在线段 AE 上，截取 EFEB，连接 FC，CEAB，CEBCEF90在CBE 和CFE 中， CEBF =CBE 和CFE（SAS）BCFEAE （ABAD） ，2AE ABAD AD2AEAB12AEAFEF，AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即 ADAF在AFC 和ADC
7、中 (AFDC角 平 分 线 定 义 ）AFCADC（SAS）AFCD AFCCFE180，BCFE.AFCB180，BD180.类型三、全等三角形判定的实际应用 4、如图，公园里有一条“Z 字形道路 ABCD，其中 ABCD，在AB，BC，CD 三段路旁各有一个小石凳 E，M，F，且 BECF，M 在BC 的中点.试判断三个石凳 E，M，F 是否恰好在一条直线上？Why？ (答案与解析）三个小石凳在一条直线上证明：AB 平行 CD（已知）BC（两直线平行，内错角相等）M 在 BC 的中点（已知）BMCM（中点定义）在BME 和CMF 中BECFDMBMECMF（SAS）EMBFMC（全等三角
8、形的对应角相等）EMFEMBBMFFMCBMFBMC180（等式的性质）E，M，F 在同一直线上(点评）对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证BMECMF，可得EMBFMC，再由EMFEMBBMFFMCBMFBMC180得到 E，M，F 在同一直线上.（全等三角形判定二（ASA，AAS） ）类型一、全等三角形的判定 3“角边角”1、如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E.请先作出ABC 的平分线 BF，交 AC 于点 F；然后证明：当 ADBC，ADBC，ABC2ADG 时，DEBF.(答案与解析）证明：ADBC，DACCBF 平分
9、ABC ABC2CBFABC2ADG CBFADG在DAE 与BCF 中 CDABFGDAEBCF（ASA）DEBF(点评）利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等(变式）已知：如图，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ求证：HNPM.(答案）证明：MQ 和 NR 是MPN 的高， MQNMRN90，又132490，34 12在MPQ 和NHQ 中，12MQNPHMPQNHQ（ASA） PMHN类型二、全等三角形的判定 4“角角
10、边”2、已知：如图， ， ， 是经过点 的一条直线，过点 A、B 分别作 、90ACBBCDCECD，垂足为 E、F，求证： .BFCDCEBF(答案与解析）证明： ， AD90FCA 90 , 90B在 和 中 （ ） BCFAECFBCAESBFCE(点评）要证 ，只需证含有这两个线段的 .同角的余角相等是找角等的好方法.3、平面内有一等腰直角三角板（ACB90）和一直线 MN过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作BFMN 于点 F当点 E 与点 A 重合时（如图 1） ，易证：AFBF2CE当三角板绕点 A 顺时针旋转至图2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若
11、不成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明(答案与解析）解：图 2，AFBF2CE 仍成立，证明：过 B 作 BHCE 于点 H，CBHBCHACEBCH90CBHACE在ACE 与CBH 中， 90ACBHEACECBH （AAS）CHAE，BFHE，CEEF，AFBFAEEFBFCHEFHECEEF2EC(点评）过 B 作 BHCE 与点 H，易证ACHCBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AFBF2CE正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.举一反三：(变式） Error! Reference source not found.已知
12、RtABC 中，ACBC，C90，D 为 AB 边的中点，EDF90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB 于 E、F当EDF 绕 D 点旋转到DEAC 于 E 时（如图 1） ，易证 ；当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在12EFCABCSS 图 2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.(答案）解：图 2 成立； 证明图 2：过点 D作 MACNB，则 90DMENF在AMD 和DNB 中， AMDDNB（AAS）DMDN=ABMDEEDNNDFEDN90， MDENDF在DME 与DNF 中，90EDFNMDM
13、EDNF（ASA） DMENFS DEFCDMCNCS=S. 四 边 形 四 边 形可知 ，ABCDMCN1S=2四 边 形 12CAB 类型三、全等三角形判定的实际应用 4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.(答案与解
14、析）设战士的身高为 AB，点 C 是碉堡的底部，点 D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知BADBAC，ABDABC90.在ABD 和ABC 中，ABCABD 和ABC（ASA）BDBC.这名战士的方法有道理.(点评）解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.直角三角形全等判定类型一、直角三角形全等的判定“HL”1、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“” ，全等的注明理由：（1）一个锐角
15、和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等 （ ）(答案） （1）全等， “AAS”；（2）全等， “AAS”；（3）全等， “SAS”；（4）全等， “HL”.(解析）理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.(点评）直角三角形全等可用的判定方法有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：(变式）下列说法中，正确的画“” ；错误的画“” ，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 （ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）（
16、3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 （ ）(答案） （1）；（2）；在ABC 和DBC 中，ABDB，AE 和 DF 是其中一边上的高，AEDF（3）. 在ABC 和ABD 中，ABAB，ADAC，AH 为第三边上的高，2、已知：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求证：ABDC.(答案与解析）证明：DEAC，BFAC，在 RtADE 与 RtCBF 中 RtADERtCBF （HL） .ADBCEF ，AECF，DEBFAEEFCFEF，即 AFCE在 RtCDE 与 RtABF 中， ARtCDERtABF（SAS）DCEBAF ABDC.(点评）从已知条件只能先证
17、出 RtADERtCBF，从结论又需证 RtCDERtABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.3、 举一反三：(变式）4、如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D.（1）求证：AECD；（2）若 AC12 ，求cmBD 的长.(答案与解析） （1）证明：DBBC，CFAE，DCBDDCBAEC90DAEC又DBCECA90，且 BCCA，DBCECA（AAS） AECD（2）解：由（1）得 AECD，ACBC，CDBAEC（HL） BDEC BC AC，且 AC1212BD6 c
18、m(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.角的平分线的性质知识点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4 个.如图所示：ABC 的内心为 ，旁心为 ，这四个点到ABC 三边所1P234,P在直线距离相等.(典型例题）类型一、角的平分线的性
19、质及判定1、已知：如图，在 中，AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. 求证：AEAFABC(答案与解析）证明：AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. DEDF（角平分线上的点到角两边的距离相等）（垂直定义）90AEDF在 和 中 （HL）RttADFARtDtAFAEF(点评）先由角平分线的性质得出 DEDF，再证 ，即可得tERtD出 AEAF.分析已知，寻找条件，顺次证明举一反三：(变式）如图，AD 是BAC 的平分线，DEAB，交 AB 的延长线于点 E，DFAC 于点 F，且 DBDC.求证：BECF.(答案）证明：DEAE，DFAC，AD 是BAC
20、的平分线， DEDF，BEDDFC90在 RtBDE 与 RtCDF 中， ，RtBDERtCDF（HL） BECFDBCEF2、3、如图，AC=DB，PAC 与PBD 的面积相等求证：OP 平分AOB(答案与解析）证明：作 PMOA 于 M，PNOB 于 N， ，且12PACS 12PBDSA PACS BD A又ACBDPMPN又PMOA，PNOBOP 平分AOB (点评）观察已知条件中提到的三角形PAC 与PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.4、举一反三：(
21、变式）如图，DCAB，BAD 和ADC 的平分线相交于 E，过 E 的直线分别交 DC、AB 于C、B 两点. 求证：ADABDC.(答案） 证明：在线段 AD 上取 AFAB，连接 EF，AE 是BAD 的角平分线，12，AFAB AEAE，ABEAFE，BAFE由 CDAB 又可得CB180， AFEC180，又DFEAFE180，CDFE，DE 是ADC 的平分线，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 全等三角形全章复习与巩固类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)倍长中线法：1、已知，如图，ABC 中，D 是 BC 中点，DEDF,试判断 BECF 与 E
22、F 的大小关系，并证明你的结论.FED CBA(答案与解析）BECFEF；证明：延长 FD 到 G，使 DGDF,连结 BG、EGD 是 BC 中点BDCD又DEDF在EDG 和EDF 中EDFEDGEDF（SAS）EGEF在FDC 与GDB 中 DGFBC21FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFEF(点评）因为 D 是 BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段 DF，使 DGDF,证明EDGEDF，FDCGDB，这样就把 BE、CF 与 EF 线段转化到了BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：(变式）已知：如图所示，CE、CB 分别是ABC 与ADC 的中线，且ACBABC求证：CD2CE(答案）证明： 延长 CE 至 F 使 EFCE，连接 BF EC 为中线， AEBE在AEC 与BEF 中， AECBEF（SAS） ,AEBC ACBF，AFBE （全等三角形对应边、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，FBCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC 为ADC 的中线， ABBD即 BFBD在FCB 与DCB 中， FCBDCB（SAS） CFCD即 CD2CE,BFDC(2)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形
