1、 第 1页（共 47页） 高中数学组卷圆锥曲线方程 3 一解答题（共 30小题） 1（ 2008温州学业考试）求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程 2（ 2007重庆）如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（ 3， 0），右准线 l 的方程为： x=12 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）在椭圆上任取三个不同点 P1， P2， P3，使 P1FP2= P2FP3= P3FP1，证明：+ + 为定值，并求此定值 3（ 2007北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 2r，短半轴长为 r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状 ，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭
2、圆上，记 CD=2x，梯形面积为 S （ ）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （ ）求面积 S 的最大值 4（ 2007山东）已知椭圆 C 中心在原点、焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为 1 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）若直线 l： y=kx+m（ k0）与椭圆交于不同的两点 M、 N（ M、 N 不是左、右顶点），且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A求证：直线 l 过定点，并求出定点的坐标 5（ 2007天津）设椭圆 的左、右焦点分别为 F1， F2， A是椭圆上的一点， C，原点 O 到直线 AF1 的距离为 （ ）证明 ；
3、 （ ）求 t（ 0， b）使得下述命题成立：设圆 x2+y2=t2 上任意点 M（ x0， y0）处的切线交椭圆于 Q1， Q2 两点，则 OQ1 OQ2 第 2页（共 47页） 6（ 2007上海）我们把由半椭圆 （ x0）与半椭圆 （ x0）合成的曲线称作 “果圆 ”，其中 a2=b2+c2， a 0， b c 0如图，设点 F0， F1， F2是相应椭圆的焦点，A1， A2 和 B1， B2 是 “果圆 ”与 x， y 轴的交点， M 是线段 A1A2 的中点 （ 1）若 F0F1F2 是边长为 1 的等边三 角形，求该 “果圆 ”的方程； （ 2）设 P 是 “果圆 ”的半椭圆 （
4、x0）上任意一点求证：当 |PM|取得最小值时， P在点 B1， B2 或 A1 处； （ 3）若 P 是 “果圆 ”上任意一点，求 |PM|取得最小值时点 P 的横坐标 7（ 2007湖南）已知双曲线 x2 y2=2 的左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F2的动直线与双曲线相交于 A， B两点 （ ）若动点 M 满足 （其中 O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方程； （ ）在 x 轴上是否存在定点 C，使 为常数？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 8（ 2007丰台区二 模）在平面直角坐标系 xoy 中，已知三点 A（ 1， 0）， B（ 1， 0）， C（1， ），以
5、A、 B为焦点的椭圆经过点 C （ I）求椭圆的方程； （ II）设点 D（ 0， 1），是否存在不平行于 x 轴的直线 l 与椭圆交于不同两点 M、 N，使？若存在，求出直线 l 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由； （ III）若对于 y 轴上的点 P（ 0， n）（ n0），存在不平行于 x 轴的直线 l 与椭圆交于不同两点 M、 N，使 ，试求 n 的取值范围 9（ 2007东城区二模）已知双曲线 的右焦点是 F，右顶点是 A，虚轴的上端点是 B，且 ， BAF=120 （ 1）求双曲线 C 的方程； 第 3页（共 47页） （ 2）过点 P（ 0， 4）的直线 l 交双曲线 C 于
6、 M、 N 两点，交 x 轴于点 Q（点 Q 与双曲线 C的顶点不重合），当 ，且 时，求点 Q 的坐标 10（ 2007潮阳区校级模拟）已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 A（ 0， ）为圆心， 1 为半径为圆相切，又知 C 的一个焦点与 A关于直线 y=x 对称 （ 1）求双曲线 C 的方程； （ 2）若 Q 是双曲线 C 上的任一点， F1、 F2 为双曲线 C 的左、右两个焦点，从 F1 引 F1QF2的平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程 11（ 2008山东）已知曲线 所围成的封闭图形的面积为，曲线 C1 的内切圆半径为 记 C
7、2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆 （ ）求椭圆 C2 的标准方程； （ ）设 AB是过椭圆 C2 中心的任意弦， l 是线段 AB的垂直平分线 M 是 l 上异于椭圆中心的点 （ 1）若 |MO|=|OA|（ O 为坐标原点），当点 A在椭圆 C2 上运动时，求点 M 的轨迹方程； （ 2）若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点，求 AMB的面积的最小值 12（ 2008四川）已知椭圆 C1 的中心和抛物线 C2 的顶点都在坐标原点 O， C1 和 C2 有公共焦点 F，点 F 在 x 轴正半轴上，且 C1 的长轴长、短轴长及点 F 到 C1 右准线的距离成等比数列 （ ）当 C2
8、 的准线与 C1 右准线间的距离为 15 时，求 C1 及 C2 的方程； （ ）设点 F 且斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P， Q 两点，交 C2于 M， N 两点当 时，求 |MN|的值 13（ 2008四川）设椭圆 的左右焦点分别为 F1， F2，离心率 ，点 F2 到右准线为 l 的距离为 （ ）求 a， b 的值； （ ）设 M， N 是 l 上的两个动点， ， 证明：当 |MN|取最小值时， 14（ 2008福建）如图，椭圆 =1（ a b 0）的一个焦点是 F（ 1， 0）， O 为坐标原点 （ ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （ ）设
9、过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B两点若直线 l 绕点 F 任意转动，值有 |OA|2+|OB|2 |AB|2，求 a 的取值范围 第 4页（共 47页） 15（ 2008北京）已知菱形 ABCD 的顶点 A， C 在椭圆 x2+3y2=4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1 （ ）当直线 BD 过点（ 0， 1）时，求直线 AC 的方程； （ ）当 ABC=60时，求菱形 ABCD 面积的最大值 16（ 2008安徽）设椭圆 =1（ a b 0）过点 ，且左焦点为（ ）求椭圆 C 的方程； （ ）当过点 P（ 4， 1）的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A， B时，在线段
10、AB 上取点Q，满足 = ，证明：点 Q 总在某定直线上 17（ 2008四川）设椭圆 ，（ a b 0）的左右焦点分别为 F1， F2，离心率 ，右准线为 l， M， N 是 l 上的两个动点， （ ）若 ，求 a， b 的值； （ ）证明：当 |MN|取最小值时， 与 共线 18（ 2008湖北）已知双曲线 的两个焦点为的曲线 C 上 （ ）求双曲线 C 的方程； （ ）记 O 为坐标原点，过点 Q（ 0， 2）的直线 l 与双 曲线 C 相交于不同的两点 E、 F，若 OEF 的面积为 ，求直线 l 的方程 第 5页（共 47页） 19（ 2008上海）已知双曲线 （ 1）求双曲线 C
11、的渐近线方程； （ 2）已知点 M 的坐标为（ 0， 1）设 P 是双曲线 C 上的点， Q 是点 P 关于原点的对称点记求 的取值范围； （ 3）已知点 D， E， M 的坐标分别为（ 2， 1），（ 2， 1），（ 0， 1）， P 为双曲线 C 上在第一象限内的点记 l 为经过原点与点 P 的直线， s 为 DEM 截直线 l 所得线段的长试将s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数 20（ 2008天津）已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点 是 F1（ 3， 0），一条渐近线的方程是 （ ）求双曲线 C 的方程； （ ）若以 k（ k0）为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的
12、点 M， N，且线段 MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 k 的取值范围 21（ 2009辽宁）已知，椭圆 C 过点 A ，两个焦点为（ 1， 0），（ 1， 0） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2） E， F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值 22（ 2009北京）已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，右准线方程为 （ ）求双曲线 C 的方程； （ ）已知直线 x y+m=0 与双曲线 C交于不同的两点 A， B，且线段 AB的中点在圆 x2+y2=5上，求 m 的值
13、23（ 2009陕西）已知双曲线 C 的方程为 =1（ a 0， b 0），离心率 ，顶点到渐近线的距离为 （ ）求双曲线 C 的方程； （ ）如图， P 是双曲线 C 上一点， A， B两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 AOB面积的取值范围 第 6页（共 47页） 24（ 2009重庆）已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离心率 （ ）求该 双曲线的方程； （ ）如图，点 A的坐标为 ， B是圆 上的点，点 M 在双曲线右支上， |MA|+|MB|的最小值，并求此时 M 点的坐标 25（ 2009西城区一模）已知椭圆 ，过点 M（ 0， 3）的
14、直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、 B （ 1）若 l 与 x 轴相交于点 N，且 A是 MN 的中点，求直线 l 的方程； （ 2）设 P 为椭圆上一点，且 （ O 为坐标原点），求当 |AB| 时，实数 的取值范围 26（ 2009河东区一模）已知一椭圆经过点（ 2， 3）且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同的焦点 （ 1）求椭圆方程； （ 2）若 P 为椭圆上一点，且， P， F1， F2 是一个直角三角形的顶点，且 |PF1| |PF2|，求 |PF1|：|PF2|的值 27（ 2009 秋 东城区期末）已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 （ 1
15、）求椭圆 C 的方程； （ 2）若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1，过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA， PB分别交椭圆 C 于另外两点 A， B，求证：直线 AB 的斜率为定值； （ 3）求 PAB面积的最大值 第 7页（共 47页） 28（ 2008广东）设 b 0，椭圆方程为 ，抛物线方程为 x2=8（ y b）如图所示，过点 F（ 0， b+2）作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 G，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 （ 1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （ 2）设 A， B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P
16、，使得 ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标） 29（ 2008安徽）已知椭圆 ，其相应于焦点 F（ 2， 0）的准线方程为 x=4 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知过点 F1（ 2， 0）倾斜角为 的直线交椭圆 C 于 A， B两点求证：； （ ）过点 F1（ 2， 0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于点 A、 B和 D、 E，求 |AB|+|DE|的最小值 30（ 2008重庆）如图， M（ 2， 0）和 N（ 2， 0）是平面上的两点，动点 P 满足： |PM|+|PN|=6 （ ）求点 P 的轨迹方程； （ ）若 ，求点
17、P 的坐标 第 8页（共 47页） 高中数学组卷圆锥曲线方程 3 参考答案与试题解析 一解答题（共 30小题） 1（ 2008温州学业考试）求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程 【分析】 先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点 ，进而得到椭圆方程 【解答】 解：椭圆 的顶点为（ 2， 0）和（ 2， 0），焦点为（ ， 0）和（ ，0） 双曲线的焦点坐标是（ 2， 0）和（ 2， 0），顶点为（ ， 0）和（ ， 0） 双曲线方程为 【点评】 本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是熟练掌握椭圆与双曲线的性质，正确找出题中的相关量 2（
18、2007重庆）如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（ 3， 0），右准线 l 的方程为： x=12 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）在椭圆上任取三个不同点 P1， P2， P3，使 P1FP2= P2FP3= P3FP1，证明：+ + 为定值，并求此定值 【分析】 （ ）设椭圆方程为 ，由题意知 a=6， ，故所求椭圆方程为 （ ）记椭圆的右顶点为 A，并设 AFPi=i（ i=1， 2， 3），假设 ，且， ，又设点 Pi在 l 上的射影为 Qi，因椭圆的离心率 ，第 9页（共 47页） 从而有 |FPi|=|PiQi|e= = （ i=1， 2，3）由此入手能够推导出 + + 为定值
19、，并能求出此定值 【解答】 解：（ ）设椭圆方程为 因焦点为 F（ 3， 0），故半焦距 c=3 又右准线 l 的方程为 ，从而由已知 ， 因此 a=6， 故所求椭圆方程为 （ ）记椭圆的右顶点为 A，并设 AFPi=i（ i=1， 2， 3），不失一般性， 假设 ，且 ， 又设点 Pi 在 l 上的射影为 Qi，因椭圆的离心率 ，从而有|FPi|=|PiQi|e= = （ i=1， 2， 3） 解得 = （ i=1， 2， 3） 因此+ + =， 而=， 故 + + 为定值 第 10页（共 47页） 【点评】 本题考查直线和椭圆的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题中的
20、隐含条件 3（ 2007北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 2r，短半轴长 为 r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 CD=2x，梯形面积为 S （ ）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （ ）求面积 S 的最大值 【分析】 （ I）依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，由图可得 C 的横坐标，进而可以表示出 c 的纵坐标，由解析式分析 x 的取值范围，即函数的定义域，可得答案； （ II）利用导数计算，记 f（ x） =4（ x+r） 2（ r2 x2），（ 0 x r），对其求导可得 f（
21、 x） =8（ x+r） 2（ r 2x），求得其导函数的零点， 分析其单调性，可得当 时， S 也取得最大值，即可得答案 【解答】 解：（ I）依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O xy（如图）， 则点 C 的横坐标为 x， 点 C 的纵坐标 y 满足方程 ， 解得 = ， 其定义域为 x|0 x r （ II）记 f（ x） =4（ x+r） 2（ r2 x2），（ 0 x r）， 则 f（ x） =8（ x+r） 2（ r 2x） 令 f（ x） =0，得 因为当 时， f（ x） 0；当 时， f（ x） 0，所以 是 f（ x）的最大值 因此，当 时， S 也取得最大值，最大值为 即梯形面积 S 的最大值为
