1、运筹学（第 2 版） 习题答案 第 1 章 线性规划 P3640 第 2 章 线性规划的对偶理论 P6869 第 3 章 整数规划 P8284 第 4 章 目标规划 P98100 第 5 章 运输与指派问题 P134136 第 6 章 网络模型 P164165 第 7 章 网络计划 P185187 第 8 章 动态规划 P208210 第 9 章 排队论 P239240 第 10 章 存储论 P269270 第 11 章 决策论 Pp297 298 第 12 章 博弈 论 P325326 全书 360 页 习题一 1.1 讨论下列问题： （ 1）在例 1.2 中，如果设 xj(j=1， 2，
2、， 7)为工作了 5 天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化 （ 2）在例 1.3 中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路 （ 3）在例 1.4 中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过 1，模型如何变化 （ 4）在例 1.6 中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种 设备任一台加工时间 1 小时，模型如何变化 (5)在单纯形法中，为什么说当 0 0 ( 1 , 2 , , )k i ka i m 并 且 时线性规划具有无界解。 1.2 工厂每月生产 A、 B、 C 三种产品 ,单件产品的
3、原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表 1 23 所示 表 1 23 产品 资源 A B C 资源限量 材料 (kg) 1.5 1.2 4 2500 设备 (台时 ) 3 1.6 1.2 1400 利润 (元 /件 ) 10 14 12 根据市场需求 ,预测三种产品最低月需求量分别是 150、 260 和 120,最高月需求是 250、 310和 130.试建立该问题的数学模型 ,使每月利润最大 【 解 】设 x1、 x2、 x3 分别为产品 A、 B、 C 的产量，则数学模型为 1 2 31 2 31 2 31231 2 3m a x 1 0 1 4 1 21 .5 1
4、.2 4 2 5 0 03 1 .6 1 .2 1 4 0 01 5 0 2 5 02 6 0 3 1 01 2 0 1 3 0, , 0Z x x xx x xx x xxxxx x x 1.3 建筑公司需要用 6m 长的塑钢材料制作 A、 B 两种型号的窗架两种窗架所需材料规格及数量如表 1 24 所示： 表 1 24 窗架所需材料规格及数量 型号 A 型号 B 每套窗架需要材料 长度（ m） 数量 (根 ) 长度(m) 数量 (根 ) A1： 1.7 2 B1： 2.7 2 A2： 1.3 3 B2： 2.0 3 需要量（套） 200 150 问怎样下料使得（ 1）用料最少；（ 2）余料
5、最少 【 解 】 第一步：求下料方案，见下表。 方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 需要量 B1:2.7m 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 300 B2:2m 0 1 0 0 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 450 A1:1.7m 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 400 A2:1.3m 0 1 1 2 0 0 1 0 1 3 0 2 3 4 600 余料 0.6 0 0.3 0.7 0 0.3 0.7 0.6 1 0.1 0.9 0 0.4 0.8 第二步：建立线性规划数学模型 设 xj（ j=1,2,
6、， 14）为第 j 种方案使用原材料的根数，则 （ 1）用料最少数学模型为 1411 2 3 42 5 6 7 8 9 1 03 6 8 9 1 1 1 2 1 32 3 4 7 9 1 0 1 2 1 3 1 4m in2 3 0 03 2 2 4 5 02 3 2 4 0 02 3 2 3 4 6 0 00 , 1 , 2 , , 1 4jjjZxx x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x x xxj 用单纯形法求解得到两个基本最优解 X(1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 )
7、;Z=534 X(2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （ 2）余料最少数学模型为 1 3 4 1 3 1 41 2 3 42 5 6 7 8 9 1 03 6 8 9 1 1 1 2 1 32 3 4 7 9 1 0 1 2 1 3 1 4m in 0 . 6 0 . 3 0 . 7 0 . 4 0 . 82 3 0 03 2 2 4 5 02 3 2 4 0 02 3 2 3 4 6 0 00 , 1 , 2 , , 1 4jZ x x x x xx x x xx x x x x x xx x x x x x
8、xx x x x x x x x xxj 用单纯形法求解得到两个基本最优解 X(1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料 550 根 X(2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料 650 根 显然用料最少的方案最优。 1.4 某企业需要制定 1 6 月份产品 A 的生产 与销售计划。已知产品 A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品 A1000 件， 1 月初仓库库存 200 件。 16 月份产品 A 的单件成本与售价如表
9、 1 25 所示。 表 1 25 月份 1 2 3 4 5 6 产品成本 (元 /件 ) 销售价格 (元 /件 ) 300 330 320 360 360 300 350 340 350 420 410 340 （ 1） 1 6 月份产品 A 各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型； （ 2）当 1 月初库存量为零并且要求 6 月底需要库存 200 件时，模型如何变化。 【 解 】 设 xj、 yj（ j 1， 2， 6）分别为 1 6 月份的生产量和销售量，则数学模型为 （ 1）1 1 2 2 3 3 44 5 5 6 611 1 21 1 2 2 31 1 2 2 3 3 41 1 2
10、2 3 3 4 4 51 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6m a x 30 0 35 0 33 0 34 0 32 0 35 0 36 042 0 36 0 41 0 30 0 34 0800800800800800Z x y x y x y xy x y x yxx y xx y x y xx y x y x y xx y x y x y x y xx y x y x y x y x y x 111 1 2 21 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3 4 41 1 2 2 3 3 4 4 5 51 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6800200200200200200200
11、, 0 ; 1 , 2 , , 6jjxyx y x yx y x y x yx y x y x y x yx y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x yx y j （ 2）目标函数不变，前 6 个约束右端常数 800 改为 1000，第 7 11 个约束右端常数 200 改为 0，第 12 个约束“ 200”改为“ 200”。 1.5 某投资人现有下列四种投资机会 , 三年内每年年初都有 3 万元（不计利息）可供投资： 方案一： 在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是 20，下一年可继续将本息投入获利； 方案二：在三年内投资人应在第一年
12、年初投资，两年结算一次，收益率是 50，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过 2 万元； 方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是 60，这种投资最多不超过 1.5 万元； 方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是 30，这种投资最多不超过 1 万元 投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型 . 【 解 】是设 xij为第 i 年投入第 j 项目的资金数，变量表如下 项目一 项目 二 项目 三 项目 四 第 1 年 第 2 年 第 3 年 x11 x21 x31 x12 x23 x34 数学模型为 1 1 2 1 3
13、 1 1 2 2 3 3 41 1 1 21 1 2 1 2 31 2 2 1 3 1 3 4122334m a x 0 .2 0 .2 0 .2 0 .5 0 .6 0 .3300001 .2 3 0 0 0 01 .5 1 .2 3 0 0 0 02000015000100000 , 1 , , 3 ; 1 , 4ijZ x x x x x xxxx x xx x x xxxxx i j 最优解 X=(30000， 0， 66000， 0， 109200， 0)； Z 84720 1.6 炼油厂计划生产 三 种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如 高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和
14、裂化汽油混合，辛烷值不低于 94，每桶利润 5 元，见表 1 26。 表 1 26 成品油 高级汽油 一般汽油 航空煤 油 一般煤油 半成品油 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 轻油、裂化油、重油、残油 轻油、裂化油、重油、残油按 10:4:3:1调合而成 辛烷值 94 84 蒸汽压：公斤平方厘米 1 利润 (元 /桶 ) 5 4.2 3 1.5 半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表 1 27。 表 1 27 问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。 解 设 xij为第 i（ i 1,2,3,4）种成品油配第 j(j=1,2, ,7)种半成品油的数
15、量（桶）。 总利润： 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 4 3 5 3 6 3 7 4 4 4 5 4 6 4 75 ( ) 4 . 2 ( ) 3 ( ) 1 . 5 ( )Z x x x x x x x x x x x x x x 高级汽油 和一般汽油的辛烷值约束 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 31 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 38 0 1 1 5 1 0 5 ) 8 0 1 1 5 1 0 59 4 , 8 4 9 4x x x x x xx x x x x x 航空煤油蒸气压约束 3 4 3 5 3 6 3 73 4 3 5 3 6 3 71
16、 .5 0 .6 0 .0 5 1x x x xx x x x 一般煤油比例约束 4 4 4 5 4 6 4 7: : : 1 0 : 4 : 3 : 1x x x x 半成品油 1 中石脑油 2 重整汽油 3 裂化汽油 4 轻油 5 裂化油 6 重油 7 残油 辛烷值 80 115 105 蒸汽压：公斤平方厘米 1.0 1.5 0.6 0.05 每天供应数量(桶 ) 2000 1000 1500 1200 1000 1000 800 即 4 5 4 6444 5 4 6 4 71 0 4 3,4 3 1xxxx x x 半成品油供应量约束 11 2112 2213 2334 4435 453
17、6 4637 47200010001500120010001000800xxxxxxxxxxxxxx整理后得到 11 12 13 21 22 2334 35 36 37 44 45 46 4711 12 1321 22 2321 22 2335 36 3744 4545 4646 4m a x 5 5 5 4 .2 4 .2 4 .23 3 3 3 1 .5 1 .5 1 .5 1 .51 4 2 1 1 1 01 4 2 1 1 1 04 3 1 2 1 00 .5 0 .4 0 .9 5 04 1 0 03 4 03Z x x x x x xx x x x x x x xx x xx x
18、xx x xx x xxxxxxx 711 2112 2213 2334 4435 4536 4637 4702000100015001200100010008000 ; 1 , 2 , 3 , 4 ; 1 , 2 , , 7ijxxxxxxxxxxxxxxx i j 1.7 图解下列线性规划并指出解的形式： (1) 121211212m ax 2.5 2280.5 1.52 10,0Z x xxxxxxxx 【解】 最优解 X（ 2， 4）； 最优值 Z=13 (2) 121212112max3 8 12223,0Z x xxxxxxxx 【解】 有多重解 。 最优解 X（ 1） （ 3/2， 1/2）； X（ 2） （ 4/5， 6/5） 最优值 Z=2 (3)121212121212m in 3 22 114 102731,0Z x xxxxxxxxxxx 【解】 最优解 X（ 4， 1）； 最优值 Z= 10，有唯一最优解 (4) 121212212min 4 628830, 0Z x xxxxxxxx 【解 】 最优解 X（ 2， 3）； 最优值 Z=26，有唯一最优解 (5) 0,6322max21212121xxxxxxxxZ【解】 无界解。 (6)12121212min 2 5262,0Z x xxxxxxx 【解】 无可行解。
