1、1 二次函数综合复习 专 题一 二 次函数的定义 形如 y=ax2+bx+c(a 0， a、 b、 c 为常数 )的函数叫做 二次函数 其中， x 是自变量， a， b， c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 例 1.如果函数 1)3( 232 kxxky kk 是二次函数 ,则 k 的值是 _。 变 式练习 1.若 y = (m 1)2+1是二次函数，则 m 的值为 。 2.函数 y = (a5)2+4+5 + 2 1, 当 a _时 , 它是一次函数 ; 当 a _时 , 它是二次函数。 3.当 m 为何值时， y = (m+ 1)232是二次函数 专题 二 确 定二次函
2、数解析式 1. 一般式： y = 2 + + 已经抛物线任意三点求解析式 2. 顶点式： y = ( )2 + 已知抛物线顶点和一点或已知对称轴和另外两点求解析式 3. 交点式： y = ( 1)( 2) 已知抛物线与 x 轴的两交点和另一点 1.巧 取交点式法： 知识归纳：二次函数交点式： y a(x x1 )(x x2 ) (a 0), x1， x2 分别是抛物线与 x 轴两个交点的横坐标。 已知抛物线与 x 轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。 典型例题一：告诉抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。 例 1： 已知抛物线与 x 轴交点的横
3、坐标为 -2 和 1 ，且通过点（ 2， 8），求二次函数的解析式。 典型例题二：告诉抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。 例 2： 已知二次函数的顶点坐标为（ 3， -2），并且图象与 x 轴两交点间的距离为 4，求二次函数的解析式。 2 2.巧 用顶点式： 顶点式 y=a(x h)2 +k（ a 0），其中（ h， k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数 a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶
4、点式方便 典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。 例 3： 已知抛物线的顶点坐标为（ -1， -2），且通过点（ 1， 10），求此二次函数的解析式。 典型例题二：告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。 例 4： 已知二次函数当 x 4 时有最小值 3，且它的图象与 x 轴两交点间的距离为 6，求这个二次函数的解析式。 典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。 例 5： （ 1）已知二次函数的图象经过点 A（ 3， -2）和 B（ 1， 0），且对称轴是直线 x 3求这个二次函数的解析式 . （ 2）已
5、知关 于 x 的二次函数图象的对称轴是直线 x=1，图象交 y 轴于点（ 0， 2），且过点（ -1， 0），求这个二次函数的解析式 . 3 （ 3）已知抛物线的对称轴为直线 x=2，且通过点（ 1， 4）和点（ 5， 0），求此抛物线的解析式 . （ 4）二次函数的图象的对称轴 x=-4，且过原点，它的顶点到 x 轴的距离为 4，求此函数的解析式 3.利 用二次函数图象求二次函数的解析式 此类问题，需抓住图像给的关键信息，如对称轴，顶点，交点等，根据给定的信息，选择适当的二次函数解析式求解。 1已知抛物线 y x2 bx c 如图所示，则此抛物线的解析式为 (第 1 题 ) (第 2 题 )
6、 (第 3 题 ) 2如图所示，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为 10 m，跨度为 50 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则抛物线的函数解析式为 3如图所示，直线 y x 2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y ax2 bx c 的顶点为 A，且经过点 B.求该抛物线的解析式 变 式练习 1.如果抛物线 y=x2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3,那么 c 的值等于（ ） （ A） 8 （ B） 14 （ C） 8 或 14 （ D） -8 或 -14 2.已知抛物线在 x 轴上截得的线段长为 6.且顶点坐标为 （ 2,3） 求解析式？ 4.若抛物线 y ax
7、2 bx c 的顶点是 A(2， 1)，且经过点 B(1， 0)，则抛物线的函数关系式为 _ 4 专题 三 二 次函数图象变换 一 、 二 次函数 与平移 解决二次函数的平移问题时，一般要先将函数解析式化成顶点式，再按“左加右减，上加下减”的方法进行求解。 经 典例题 1下列二次函数的图象，不能通过函数 y 3x2 的图象平移得到的是 ( ) A y 3x2 2 B y 3(x 1)2 C y 3(x 1)2 2 D y 2x2 2抛物线 y (x 2)2 3 可以由抛物线 y x2 平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) A先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B先向左平移 2
8、个单位，再向下平移 3 个单位 C先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 3如图，把抛物线 y x2 沿直线 y x 平移个单位后，其顶点在直线上的 A 处，则平移后抛物线的解析式是 ( ) A y (x 1)2 1 B y (x 1)2 1 C y (x 1)2 1 D y (x 1)2 1 4在平面直角坐标系中，将抛物线 y x2 x 6 向上 (下 )或向左 (右 )平移 m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则 |m|的最小值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 6 5如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A， B 两点，其顶
9、点 P 在折线 CDE 上移动，若点 C， D， E的坐标分别为 ( 1， 4)， (3， 4)， (3， 1)，点 B 的横坐标的最小值为 1，则点 A 的横坐标的最大值为( ) A 1 B 2 C 3 D 6 （第 3 题） （第 5 题） 6在平面直角坐标系中，把抛物线 y 12x2 1 向上平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，则所得抛物线的解析式是 7已知二次函数 y 3x2 的图象不动，把 x 轴向上平移 2 个单位长度，那么在新的坐标系下此抛物线的解析式是 5 8在平面直角坐标系中，平移抛物线 y x2 2x 8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式： 9如图，抛物线的
10、顶点为 P( 2， 2)，与 y 轴交于点 A(0， 3)若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P(2， 2)，点 A 的对应点为 A，则抛物线上 PA 段扫过的区域 (阴影部分 )的面积为 _ 二、二次函数 与轴对称 解决这类问题时，可根据原图象与对称后的图像特点，确定新的二次函数各项系数。 经 典例题 1与抛物线 y x2 2x 3 关于 x 轴对称的图象解析式为 ( ) A y x2 2x 3 B y x2 2x 3 C y x2 2x 3 D y x2 2x 3 2在平面直角坐标系中，先将抛物线 y x2 x 2 关于 x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换
11、，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 ( ) A y x2 x 2 B y x2 x 2 C y x2 x 2 D y x2 x 2 3在一张纸上作出函数 y x2 2x 3 的图象，沿 x 轴把这张纸对折，描出与抛物线 y x2 2x 3关于 x 轴对称的抛物线，则描出的这条抛物线的解析式为 . 三、 抛物线与旋转 1将二次函数 y x2 2x 1 的图象绕它的顶点 A 旋转 180，则旋转后的抛物线的函数解析式为 ( ) A y x2 2x 1 B y x2 2x 1 C y x2 2x 1 D y x2 2x 1 2在平面直角坐标系中，将抛物线 y x2 2x 3 绕着它与 y 轴
12、的交点旋转 180，所得抛物线的解析式是( ) A y (x 1)2 2 B y (x 1)2 4 C y (x 1)2 2 D y (x 1)2 4 3把二次函数 y (x 1)2 2 的图象 绕原点旋转 180后得到的图象的 解析式为 4抛物线 y (x 1)2 5 先向左、向上均平移 2 个单位后，再绕顶点旋转 180，得到新的图象对应的 函数表达式为 6 -1 O x=1 y x y 1 x -专 题三 二 次函数图象与系数 a,b,c 之间的关系 1、二次项系数 a： a 0 时，抛物线开口向上； a 0 时，抛物线开口向下。 a 的绝对值越大，开口越小 ;a 的绝对值越小，开口越大
13、。 2、一次项系数 b：在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴，“左同右异”。 3、常数项 c：决定抛物线与 y 轴交点的位置 4、抛物线的特殊位置与系数的关系：（ 1）顶点在 x 轴上： b-4ac=0；（ 2）顶点在 y 轴上： b=0；（ 3）顶点在原点： b=c=0；（ 4）抛物线经过原点： c=0. 例 1.已知 y=ax2+bx+c 的图象如下，则： a_0 , b_0, c_0 , a+b+c_0， a-b+c_0, 2a-b_0 b2 -4ac_0, 4a+2b+c 0 例 2已知二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象如图 3 2，现有下列结论： b2
14、 4ac 0； a 0； b0； c 0； 9a 3b c 0， 8a+c0； 3a+c0； b0； b2-4ac0；其中正确的结论有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7 3、 已知二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A、 abc 0； B、 b2 -4ac0； C、 2a+b 0； D、 4a+2b+c 0 4、二次函数 y ax2 bx c 的图象如图 1 所示，则下列结论中，正确的个数是（ ） a+b+c0； abc0； b=2a A、 4 B、 3 C、 2 D、 1 5、已知二次函数 y ax2 bx c 其中 a
15、,b,c 满足 a+b+c=3 和 9a+3b+c=3，则该二次函数图象的对称轴是直线 6、已知 y=ax2 +bx+c 中 a0， c4a; 0-1 时 ,y0.其中正确结论 有 (第 9 题 ) (第 11 题 ) (第 12 题 ) 10、已知二次函数 y ax2 bx+c,且 a 0, a-b+c 0,则一定有（ ） A. b2 -4ac 0 B. b2 -4ac 0 C. b2 -4ac 0 D. b2 -4ac 0 11二次函数 y 2x2 mx 8 的图象如图所示，则 m 的值是 ( ) A 8 B 8 C 8 D 6 12 （ 2015天门）已知二次函数 y=ax2+bx+c
16、的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（ -1， 0），（ 3， 0）对于下列命题： b-2a=0； abc 0； a-2b+4c 0； 8a+c 0其中正确的有（ ） A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 8 专 题四 二 次函数与一元二次方程及不等式的综合应用 1、 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2 +bx+c 的图象和 x 轴交点 一元二次方程 ax2 +bx+c=0 的根 acb 42 有两个交点 有两个不相等的实数根 042 acb 有一个交点 有两个相等的实数根 042 acb 没有交点 没有实数根 042 acb 遇到抛物线与 x 轴的交点存在某种关系时，
17、可综合应用一元二次方程根的判别式，根与系数的关系及二次函数的性质进行解答。 例 1.已知二次函数 y=ax2-2x-2 的图象与 X 轴有两个交点，则 a 的取值范围是 例 2.函数 y = 2 + 3 +1的图象与 x 轴有且只有一个交点，那么 a 的取值和交点坐标分别是什么？ 例 3.已知抛物线 y = 2 +(1 2)+ 2( 0)与 x 轴相交于 A(x1 ,0) ,B(x2 ,0)，且 x1 x2。 （ 1）求 a 的取值范围，并证明 A,B 两点都在原点左侧； （ 2）若抛物线与 y 轴相交于 C，且 OA+OB-OC=-2,求 a 的值。 例 4.已知抛物线 y=ax2+bx+c
18、，其顶点在 x 轴上方，经过点（ -4,5） ,它与 y 轴相交于点 C（ 0,3），与x 轴交于 A， B 两点，且方程 ax2+bx+c=0 的两根的平方和等于 40. （ 1）求抛物线的解析式。 （ 2）抛物线上是否存在 x 轴上方的一点 P，使 S PAB=2S C AB？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由。 9 2、 二次函数与不等式的关系 （ 1） a0：大于 0 取两边，小于 0 取中间。 （ 2） a0 的解集； （ 3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围； （ 4）若方程 ax 2 +bx+c=k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范
19、围。 例 6.已知函数 y1 x2 与函数 y2= 12 +3 的图象大致如图，若 y1 y2，则自变量 x 的取值范围是（ ） A.32 x 2 B x 2 或 x 32 C 2 x 32 D x 2 或 x 32 变 式练习： 1已知二次函数 y ax2 bx c(a 0)的顶点坐标 ( 1， 3.2)及部分图象 (如图所示 )，由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根分别是 x1 1.3 和 x2 ( ) A 1.3 B 2.3 C 0.3 D 3.3 2二次函数 y x2 2x k 的部分图象如图所示，若关于 x 的一元二次方程 x2 2x k 0 的一个解为
20、 x1 3，则另一个解 x2 _ (第 1 题 ) (第 2 题 ) (第 3 题 ) 3如图所示，一次函数 y1 kx n(k 0)与二次函数 y2 ax2 bx c(a 0)的图象相交于 A( 1， 5)，B(9， 2)两点，则关于 x 的不等式 kx n ax2 bx c 的解集为 ( ) A 1 x 9 B 1 x 9 C 1 x 9 D x 1 或 x 9 10 4抛物线 y ax2 bx c(a 0)如图所示，则关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集是 ( ) A x 2 B x 3 C 3 x 1 D x 3 或 x 1 (第 4 题 ) (第 5 题 ) 5.二次函数 y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2=mx+n 的图像 如图 ， 观察图像写出 y2 y1 时 ， x 的取值范围_ 6.已知抛物线 y ax2-2x 1 与 x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A.第四象限 B.第 三 象限 C.第 二 象限 D.第 一 象限 7、 y=ax2 +bx+c 中， a0 的解是 _; ax2 +bx+c 0)与 x 轴交于 A， B 两点 。 （ 1）求证：抛物线的对称轴在 y 轴的左侧； （ 2）若 1OB 1 = 23（ O 是坐标原点），求抛物线的解析式。
