1、 1 高考明方向 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2.会 运用基本初等函数的图象分析函数的性质 . 备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点 ，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇 命题，则以解答题的形式出现 . 一、知识 梳理 名师一号 P15 注意： 研究函数单调性必须 先求函数的定义域， 函数的 单调区间 是 定义域的 子集 单调区间 不能并 ！ 知识点一 函数的 单调性 1.单调函数的定
2、义 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数 ，则称函数 f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f(x)的单调区间 . 注意 ： 1、 名师一号 P16 问题探究 问题 1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中 x1， x2 具有任意性 ，不能是规定的特定值 (2)函数的 单调区间必须是定义域的子集 ； (3)定义的两种变式 ： 设任意 x1， x2 a， b且 x10f(x)在 a， b上是增函数； (x1 x2)f(x1) f(x2)0，则f(x)在区间 D内为增函数；如果 f (x)0， 则 1fx为减 (增
3、 )函数， fx 为增 (减 )函数 3互为反函数的两个函数有相同的单调性 4 y fg(x)是定义在 M上的函数， 若 f(x)与 g(x)的单调性相同， 则其复合函数 fg(x)为增函数； 若 f(x)、 g(x)的单调性相反， 则其复合函数 fg(x)为减函数 简称 ”同增异减 ” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反 5 函数单调性的应用 名师一号 P17 特色专题 (1)求某些函数的值域或最值 (2)比较函数值或自变量值的大小 (3)解 、 证不等式 (4)求参数的取值范围或值 (5)作函数图象 二、 例题分析： （ 一
4、) 函 数单调性的判断与证明 例 1.（ 1） 名师一号 P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确 (1)函数 f(x) 2x 1 在 ( ， )上是增函数 ( ) (2)函数 f(x) 1x在其定义域上是减函数 ( ) (3)已知 f(x) x， g(x) 2x，则 y f(x) g(x)在定义域上是增函数 ( ) 答案 ： 例 1.（ 2） 名师一号 P16 高频考点 例 1（ 1） 6 (2014北京卷 )下列函数中，在区间 (0， )上为增函数的是 ( ) A y x 1 B y (x 1)2 C y 2 x D y log0.5(x 1) 答案： A. 例 2.（ 1） 名师一号
5、P16 高频考点 例 1（ 2） 判断函数 f(x) axx 1在 ( 1， )上的单调性，并证明 法一：定义法 设 10， x2 10. 7 当 a0 时， f(x1) f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 函数 y f(x)在 ( 1， )上单调递减 法二：导数法 注意 ： 名师一号 P17 高频考点 例 1 规律方法 1.判断函数的单调性应先求定义域； 2.用定义法判断 (或证明 )函数单调性的一般步骤为： 取值 作差 变形 判号 定论， 其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等； 3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视 （ 二 ） 求复合函数、分段函数的单调
6、性区间 例 1. 名师一号 P16 高频考点 例 2（ 1） 求函数 y x |1 x|的单调增区间； y x |1 x| 1， x1，2x 1， x0.则 x3. 函数 y log13(x2 4x 3)的定义域为 ( ， 1) (3， ) 又 u x2 4x 3 的图象的对称轴为 x 2，且开口向上， u x2 4x 3 在 ( ， 1)上是减函数， 在 (3， )上是增函数 而函数 y log13u 在 (0， )上是减函数， 9 y log13(x2 4x 3)的单调递减区间为 (3， )， 单调递增区间为 ( ， 1) 注意 ： 名师一号 P17 高频考点 例 2 规律方法 求函数的单
7、调区间的常用方法 (1)利 用已知函数的单调性， 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义 (3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 (4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间 例 2.（ 2） (补充 ) 21122lo g 4 lo gy x x答案：增区间： 1,4；减区间： 10,4练习 : 222lo g lo gy x x 答案：增区间： 2, ；减区间： 0, 2 10 （ 三 ） 利用单调性解（证）不等式及比较大小 例 1.（ 1）名师一号 P17 特色专
8、题 典例 (1) 已知函数 f(x) log2x 11 x，若 x1 (1,2)， x2 (2， )，则 ( ) A f(x1)0 C f(x1)0， f(x2)0， f(x2)0 【规范解答】 函数 f(x) log2x 11 x在 (1， )上为增函数，且 f(2) 0， 当 x1 (1,2)时， f(x1)f(2) 0， 即 f(x1)0. 例 1.（ 2）名师一号 P17 特色专题 典例 (2) 已知函数 f(x) x2 4x 3， x0， x2 2x 3， x0， 则不等式 f(a2 4)f(3a)的解集为 ( ) A (2,6) B ( 1,4) C (1,4) D ( 3,5)
