1、 高中数学 知识点总结 空间向量与立体几何 一、考点概要： 1、空间向量及其运算 （ 1）空间向量的基本知识： 定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 空间向量基本定理： 定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 x、y、 z，使 。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。 正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。 空间四点
2、共面：设 O、 A、 B、 C是不共面的四点，则对空间中任意一点 P，都存在唯一的有序实数组 x、 y、 z，使 。 共线向量（平行向量）： 定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 。 规定：零向量与任意向量共线； 共线向量定理：对空间任意两个向量 平行的充要条件是：存在实数 ，使。 共面向量： 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。 向量与平面平行：如果直线 OA 平行于平面或 在 内，则说向量 平行于平面 ，记作 。平行于同一平面的向量， 也是共面向量。 共面向量定理：如果两个向量 、
3、不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条件是：存在实数对 x、y，使 。 空间的三个向 量共面的条件：当 、 、 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是 、 、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。 共面向量定理的推论：空间一点 P在平面 MAB 内的充要条件是：存在有序实数对 x、 y，使得，或对于空间任意一定点 O，有 。 空间两向量的夹角：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点 O，作 ， （两个向量的起点一定要相同），则叫做向量 与 的夹角，记作 ，且 。 两个向量的数量积： 定义：已知空间两个非零向量 、 ，则 叫做向量
4、 、 的数量积，记作 ，即： 。 规定：零向量与任一向量的数量积为 0。 注意：两个向量的数量积也叫向量 、 的点积（或内积），它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。 数量积的几何意义： 叫做向量 在 方向上的投影（其中 为向量 和 的夹角）。 即：数量积 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。 基本性质： 运算律： （ 2）空间向量的线性运算： 定义：与平面 向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下： 加法： 减法： 数乘向量： 运算律： 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 二、复习点睛： 1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究
5、。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 2、根据空间向量的基本定理，出现了用基 向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循 “三步 ”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。 3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面
6、两个公式较为常用，请务必记住并学会 应用： 。 2、空间向量的坐标表示： （ 1）空间直角坐标系： 空间直角坐标系 O-xyz，在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 ，以点 O为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： x轴、 y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴，点 O叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面， yOz平面， zOx平面。 右手直角坐标系：右手握住 z轴，当右手的四指从正向 x轴以 90 角度转向正向 y轴时，大拇指的指向就是 z轴的正向； 构成元素：点（原点）、线（ x、 y、 z轴）、面（ xOy 平面， yOz平面， zOx
7、 平面）； 空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系 O-xyz时，一般使 xOy=135(或 45), yOz=90，z轴垂直于 y 轴， z轴、 y 轴的单位长度相同， x 轴上的单位长度为 y 轴（或 z轴）的一半； （ 2）空间向量的坐标表示： 已知空间直角坐标系和向量 ，且设 为坐标向量（如图）， 由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作。 在空间直角坐标系 O-xyz 中，对于空间任一点 A，对应一个向量 ，若 ，则有序数组 (x， y， z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A(x， y， z)，其中 x叫做点 A的横坐标， y 叫做点
8、 A 的纵坐标， z叫做点 A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 空间任一点的坐标的确定：过 P分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A、 B、 C 三点， x=OA， y=OB， z=OC，当 与 的方向相同时， x 0，当 与的方向相反时， x 0，同理可确 y、 z（如图）。 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 则： （ 3）空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 空间线段 的中点 M（ x， y，
9、z）的坐标： ； 球面方程： 二、复习点睛： 4、过定点 O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做 z轴（横轴）、 y轴（纵轴 ）、 z轴（竖轴）；统称坐标轴。通常把 x轴和 y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点 O 叫做坐标原点。 5、空间直角坐标系中的特殊点 : （ 1）点（原点）的坐标： (0,0,0)； （ 2）线（坐标轴）上的点的坐标： x轴上的坐标为 (x,0,0)， y 轴上的坐标为 (0,y,0)， z轴上的坐标为(0,0,z)； （ 3）面（ xOy平
10、面、 yOz平面、 zOx 平面）内的点的坐标：平面上的坐标为 (x,y,0)、平面 上的坐标为 (0,y,z)、平面上的坐标为 (x,0,z) 6、要使向量 与 z轴垂直，只要 z=0 即可。事实上，要使向量 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为 0 即可。 7、空间直角坐标系中，方程 x=0表示 yOz平面、方程 y=0表示 zOx 平面、方程 z=0 表示 xOy平面，方程 x=a 表示平行于平面 yOz的平面、方程 y=b表示平行于平面 zOx 的平面、方程 z=c 表示平行于平面 xOy 平面； 8、只要将 和 代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样； 9、由空间向量基
11、本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成任意不共面的三个向量 都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。 立体几何中的向量方法 1空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3)， 则 ab (a1b1， a2b2， a3b3)； a (a1， a2， a3)； ab a1b1 a2b2 a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3)， 则 a b a b a1 b1， a2 b2， a3 b3( R)， a b ab 0 a1b1 a2b2
12、a3b3 0(a， b均为非零向量 ) (3)模、夹角和距离公式 设 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3)， 则 |a| aa a21 a22 a23， cos a， b ab|a|b| a1b1 a2b2 a3b3a21 a22 a23 b21 b22 b23. 设 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)， 则 dAB |AB | a2 a12 b2 b12 c2 c12. 2 立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 直线的方向向量： l是空间一直线， A， B是直线 l上任意两点，则称 AB 为直线 l的方向向量，与 AB
13、平行的任意非零向量也是直线 l的方向向量 平面的法向量可利用方程组求出：设 a， b是平面 内两不共线向量， n为平面 的法向量，则求法向量的方程组为 na 0，nb 0. (2)用向 量证明空间中的平行关系 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1 l2(或 l1与 l2重合 ) v1 v2. 设直线 l的方向向量为 v，与平面 共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l 或 l 存在两个实数x， y，使 v xv1 yv2. 设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l 或 l v u. 设平面 和 的法向量分别为 u1， u2，则 u1 u2. (3)用
14、向量证明空间中的垂直关系 设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1 l2 v1 v2 v1v2 0. 设 直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 l v u. 设平面 和 的法向量分别为 u1和 u2，则 u1 u2 u1u 2 0. (4)点面距的求法 如图，设 AB为平面 的一条斜线段， n为平面 的法向量，则 B到平面 的距离 d |AB n|n| . 一种思想 向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小 和方向的量化： (1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标； (
15、2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标 得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题 三种方法 主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题： (1)平行 直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行(2)垂直 直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂 直(3)点到平面的距离 求点到平面距离是向量数量积运算 (求投影 )的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础 双基自测 1两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1 (1,0， 1)， v2 ( 2,0,2)，则 l1与 l2的位置关系是 ( ) A平行 B
16、相交 C垂直 D不确定 解析 v2 2v1， v1 v2. 答案 A 2已知平面 内有一个点 M(1， 1,2)，平面 的一个法向量是 n (6， 3,6)，则下列点 P 中在平 面 内的是 ( ) A P(2,3,3) B P( 2,0,1) C P( 4,4,0) D P(3， 3,4) 解析 n (6， 3,6)是平面 的法向量， n MP ，在选项 A中， MP (1,4,1)， nMP 0. 答案 A 3 (2011唐山月考 )已知点 A， B， C 平面 ，点 P，则 AP AB 0，且 AP AC 0是 AP BC 0的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
17、既不充分也不必要条件 解析 由 AP AB 0AP AC 0，得 AP ( AB AC ) 0， 即 AP CB 0，亦即 AP BC 0，反之，若 AP BC 0， 则 AP ( AC AB ) 0 AP AB AP AC ，未必等于 0. 答案 A 4 (人教 A版教材习题改编 )已知 a ( 2， 3,1)， b (2,0,4)， c ( 4， 6,2)，则下列结论正确的是 ( ) A a c， b c B a b， a c C a c， a b D以上都不对 解析 c ( 4， 6,2) 2( 2， 3,1) 2a， a c， 又 ab 2 2 ( 3) 0 1 4 0， a b. 答
18、案 C 5 (2012舟山调研 )已知 AB (2,2,1)， AC (4,5,3)，则平面 ABC的单位法向量是 _ 解析 设平面 ABC的法向量 n (x， y， z) 则 AB n 0，AC n 0，即 2x 2y z 0，4x 5y 3z 0. 令 z 1，得 x 12，y 1， n 12， 1， 1 ， 平面 ABC的单位法向量为 n|n| 13， 23， 23 . 答案 13， 23， 23 考向一 利用空间向量证明平行问题 【例 1】 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别是 C1C、 B1C1的中点求证： MN 平面 A1BD. 审题视点 直接用线面
19、平行定理不易证明，考虑用向量方法证明 证明 法一 如图所示，以 D 为原点， DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x轴、 y 轴、 z轴建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为 1， 则 M 0， 1， 12 ， N 12， 1， 1 ， D(0,0,0)， A1(1,0,1)， B(1,1,0)， 于是 MN 12， 0， 12 ， 设平面 A1BD的法 向量是 n (x， y， z) 则 nDA1 0，且 nDB 0，得 x z 0，x y 0. 取 x 1，得 y 1， z 1. n (1， 1， 1) 又 MN n 12， 0， 12 (1， 1， 1) 0， MN n，又 MN平面
20、A1BD， MN 平面 A1BD. 法二 MN C1N C1M 12C1B1 12C1C 12(D1A1 D1D ) 12DA1 ， MN DA1 ，又 MN 与 DA1 不共线， MN DA1， 又 MN平面 A1BD， A1D 平面 A1BD， MN 平面 A1BD. 【训练 1】 如图所示，平面 PAD 平面 ABCD， ABCD 为正方形， PAD 是直角三角形，且 PA AD 2， E、 F、 G分别是线段 PA、 PD、 CD的中点求证： PB 平面 EFG. 证明 平面 PAD 平面 ABCD且 ABCD 为正方形， AB、 AP、 AD两两垂直，以 A为坐标原点，建立如图所示的
21、空间直角坐 标系A xyz，则 A(0,0,0)、 B(2,0,0)、 C(2,2,0)、 D(0,2,0)、 P(0,0,2)、 E(0,0,1)、 F(0,1,1)、G(1,2,0) PB (2,0， 2)， FE (0， 1,0)， FG (1,1， 1)， 设 PB sFE tFG ， 即 (2,0， 2) s(0， 1,0) t(1,1， 1)， t 2，t s 0， t 2，解得 s t 2. PB 2FE 2FG ， 又 FE 与 FG 不共线， PB 、 FE 与 FG 共面 PB平面 EFG， PB 平面 EFG. 考向二 利用空间向量证明垂直问题 【例 2】 如图所示，在棱
22、长为 1 的正方体 OABC O1A1B1C1中， E， F 分别是棱 AB， BC上的动点，且AE BF x，其中 0 x 1，以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz. (1)求证 A1F C1E； (2)若 A1， E， F， C1四点共面 ,求证： A1F 12A1C1 A1E . 审题视点 本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标 证明 (1)由已知条件 A1(1,0,1)， F(1 x,1,0)， C1(0,1,1)， E(1， x,0)， A1F ( x,1， 1)， C1E (1， x 1， 1)， 则 A1F C1E x (x 1) 1 0， A1F
23、 C1E ，即 A1F C1E. (2)A1F ( x,1， 1)， A1C1 ( 1,1,0)， A1E (0， x， 1)， 设 A1F A1C1 A1E ， x ，1 x， 1 ，解得 12， 1. A1F 12A1C1 A1E . 证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直 可转化为直线与直线垂直证明 【训练 2】 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， AB AD， AC CD， ABC 60，PA AB BC， E 是 PC的中点证明： (1)AE CD； (2)PD 平面 ABE. 证明 AB、 AD、 AP两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA AB BC 1，则 P(0,0,1) (1) ABC 60， ABC为正三角形 C 12， 32 ， 0 ， E 14， 34 ， 12 . 设 D(0， y,0)，由 AC CD，得 AC CD 0， 即 y 2 33 ，则 D 0， 2 33 ， 0 ， CD 12， 36 ， 0 .又 AE 14， 34 ， 12 ， AE CD 12 14 36 34 0，
