1、 1 一、设 A,B,C 是三事件 ,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8 ,求 A,B,C 至少有一个发生的概率 。 解： P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) P(AB)=P(BC)=O P(ABC)=0 至少有一个发生的概率 P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)=1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0=5/8 二、 某油漆公司发出 17桶油漆，其中白 漆 10 桶，黑漆 4桶，红漆 3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人
2、随意将这些油漆发给顾客，问一个订货 4 桶白漆、 3 桶黑漆和 2 桶红漆的顾客，能按所给定颜色如数得到订货的概率是多少 ? 解：设 A=“订货 4桶白漆、 3 桶黑漆和 2桶红漆”。 则 A 的基本事件数为 ，基本事件总数为 =24310。 则所求概率为 小结 对古典概型问题，关键是找出其基本事件总数，以及所求事件包含的基本事件数。同时要注意，两者要在同一个样本空间中计算所求事件的概率。 三、将 3个球随机地放入 4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1， 2， 3 的概率 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，易知共有 43种放置法，以 Ai表示事件“杯子中球的最大个数为 i”，i=
3、1， 2， 3。 解： A3只有当 3 个球放在同一杯子中时才能发生，有 4 个杯子可以任意选择，于是 A1只有当每个杯子最多放一个球时才能发生。 N(A1)=4 3 2=A43 又 A1 A2 A3=，且 ， i j P(A1)+P(A2)+P(A3)=1 四、据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律： P孩子得病 =0.6， P母亲得病 |孩子得病 =0.5， P父亲得病 |母亲及孩子得病 =0.4， 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率 解： 以 A记事件“孩子得病”，以 B记事件“母亲得病”，以 C记事件“父亲得病”，按题意需要求 。 已知 P(A)=0.6， P(
4、B|A)=0.5， P(C|BA)=0.4，由乘法定理得 2 五、 将两信息分别编码为 A和 B传送出去，接收站收到时， A被误收作 B的概率为 0.02，而 B 被误收作 A的概率为 0.01信息 A与信息 B传送的频繁程度为 2： 1若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A的概率是多少 ? 解： 以 D表示事件“将信息 A 传递出去”，则 表示事件“将信息 B传递出去”，以 R 表示“接收到信息 A”，则 表示事件“接收到信息 B”，按题意需求概率 P(D|R)已知 ，且有 ，由于 ，得知， 。由贝叶斯公式得到 六、设有两箱同类零件，第一箱内装有 50件，其中 10 件是一等品；第二箱内
5、装有 30件，其中 18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件 (取出的零件不放回 )试求 (1)第一次取出的零件是一等品的概率； (2)在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率 。 解： 记 Ai=从第 i 箱中 (不放回 抽样 )取得的是一等品 ， i=1， 2 B=从第一箱中取零件 ，则 (1)由题知 由全概率公式有 (2)由题知所求概 率为 P(A2|A1) 3 由全概率公式有 P(A1A2|B)表示在第一箱中取两次，每次取一只产品，作不放回抽样，且两次都取得一等品的概率，故同理 ，因此有 七、三人独立地去破译一份密码，已知各
6、 人能译出的概率分别为 问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少 ? 解： 以 Ai表示事件“第 i 人能译出密码”， i=1， 2， 3已知 P(A1)= ， ， ，则至少有一人能译出密码的概率为 p=P(A1 A2 A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3) 由独立性即得 八、 一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻 (1)恰有 2个设备被使用的概率是多少 ?(2)至少有 3个设备被使用的概率是多少 ?(3)至多有 3个设备被使用的概率是多少 ?(4)
7、至少有 1个设备被使用的概率是多少 ? 解： 设 X表示同一时刻被使用的设备个数，则 X b(5， 0.1) (1)PX=2=C52(0.1)2(1-0.1)3=0.0729. (2)PX3=PX=3)+PX=4+PX=5=C53(0.1)3(1-0.1)2+C54(0.1)4(1-0.1)+C55(0.1)5=0.00856 (3)PX 3=1-PX=4-PX=5=0.99954. (4)PX1=1-PX=0)-1-(1-0.1)5=0.40951. 九、 一袋中装有 5只球，编号为 1， 2， 3， 4， 5在袋中同时取 3 只球， X表示取出的 3只球中的最大号码，求 X 的概率分布 4
8、 解： 随机变量 X 的所有可能值为 3， 4， 5，且 所以， X的概率分布为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 十、 设随机变量 X的分布函数为 )(1)1(ln)1(0)(exexxxxF (1)求 PX2,P0X 3,P2X5/2; (2)求 X的概率密度 fx(X) 解： (1)PX2=PX 2-PX=2=F(2)=ln2; P0X 3=PX 3-PX 0=F(3)-F(0)=1-0=1; (2) )(0)1(1)(其他exxxF 十一、 某种型号器件的寿命 X（以小时计） ,具有概率密度如图 ,从这批晶体管中任选 5只 ,则至少有 2只寿命大于 1500h 的概率 解：
9、任取一只，其寿命大于 1500 小时的概率为 任取 5只这种产品，其寿命大于 1500 小时的只数用 X表示，则 X b(5， )故所求的概率为 5 十二、设 X N(3,22),(1)求 P2X 5,P|X| 2,PX 3;(2)确定 c，使得 PX c=PX c； (3)设 d满足 PX d0.9，问 d至多为多少？ (1)因 X N(3， 22)，故有 (2)由 PX c=PX c，得 1-PX c=P(X c)，即 ，于是 (3)PX d0.9，即 ，故 又因分布函数 (x)是一个不减函数，故有： ，因此 d 3+2 (-1.282)=0.436 即 d 至多为 0.436 十三、 一
10、工厂生产的某种元件的寿命 X(以小时计 )服从参数为 u=160， ( 0)的正态分布，若要求 P120X 200 0.80，允许最大为多少 ？ 解： X N(160， 2)，今要求 即要求 ，应有 6 即允许最大为 31.20 十四、设随机变量 X 在 (0， 1)内服从均匀分布 (1)求 Y=eX的概率密度； (2)求 Y=-2lnX 的概率密度 解： X的概率密度为 (1)当 X在 (0， 1)上取值时， Y 在 (1， e)上取值，所以 当 y 1时， FY(y)=PY y)=0; 当 ye 时， FY(y)=PY y)=1; 当 1ye 时， FY(y)=PY y)=PeX y)=P
11、X lny)=FX(lny)=lny. (2)当 X在 (0， 1)上取值时， Y 在 (0， + )上取值，所以 当 y 0时， FY(y)=PY y)=0; 当 y 0时， 十五、 设随机变量 (X， Y)的概率密度为： 其他,0 ,42,20),6(),( yxyxkyxf (1)确定常数 k (2)求 PX1,Y3 (3)求 PX1.5 (4)求 PX+Y 4 (1)由 ,得 所以 k=1/8 (2) (3) 7 (4) 十六 、 设二维随机变量 (X， Y)的概率密度为 其他,0 1,),( 22 yxycxyxf (1)确定常数 c； (2)求边缘概率密度 (1) (2) 注在求边
12、缘概率密度时，需画出 (X， Y)的概率密度 f(x， y) 0的区域，这对于正确写出所需求的积分的上下限是很有帮助的首先应根据概率密度的性质求出参数 c，然后再求边缘概率密度 十七、 设 X和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求随机变量 Z=X+Y 的概率密度 解法 (i) 利用公式 8 十八、设 X,Y 是相互独立的随机变量， X ( 1)， Y ( 2)证明 Z=X+Y ( 1+ 2) 由于 X ( 1),Y ( 2)，故 又 X,Y 相互独立，因此， 即 Z=X+Y ( 1+ 2). 十九、 设 (X， Y)的分布律为 (1)求 E(X)， E(Y)； (2)设 Z=Y
13、/X，求 E(Z)； (3)设 Z=(X-Y)2，求 E(Z) (1)(2) (3) 9 注 可先求出边缘分布律，然后求出 E(X)， E(Y)如在 (3)中可先算出 Z=(X-Y)2的分布律： Z 0 1 4 9 pk 0.1 0.2 0.3 0.4 然后求得 二十 、 设随机变量 X1， X2的概率密度分别为 0,0 0,e21 -2xx xf 0,0 0,e42 -4xx xf (1) 求 E(X1+X2)， E(2X1-3X22) (2) 又设 X1， X2相互独立，求 E(X1X2) 解： ，今 u=x/ ,得到 故 ，于是 (1) 由数学期望的性质，有 10 (2) 因 X1， X
14、2相互独立，由数学期望的性质，有 二十一、 设随机变量 (X， Y)的分布律为 验证 X和 Y是不相关的，但 X 和 Y不是相互独立的 解： 先求出边缘分布律如下： X -1 0 1 Pk 3/8 2/8 3/8 Y -1 0 1 Pk 3/8 2/8 3/8 易见 PX=0， Y=0=0 PX=0PY=0，故 X， Y不是相互独立的。 X， Y 具有相同的分布律 又 E(XY) 即有 E(XY)=E(X)E(Y)，故 X， Y是不相关的 二十二、设 A和 B是试验 E的两个事件，且 P(A) 0， P(B) 0，并定义随机变量 X， Y如下： 不发生若 发生若 AAX ,0,1 不发生若 发生若 BBf ,0,12 证明若 XY=0，则 X 和 Y必定相互独立
