1、华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-34774470 钟老师习题精选精讲圆标准方程 已知圆心 ),( baC 和半径r，即得圆的标准方程 222 )()( rbyax ；已知圆的标准方程 222 )()( rbyax ，即得圆心 ),( baC 和半径r，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点 )1,2( 为圆心且与直线 0543 yx 相切的圆的方程为( )(A) 3)1()2( 22 yx (B) 3)1()2( 22 yx(C) 9)1()2( 22 yx (D) 9)1()2( 22 yx解 已知圆心为 )1,2( ，且由题意知
2、线心距等于圆半径，即 2243546dr 3 ，所求的圆方程为 9)1()2( 22 yx ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程 222 )()( rbyax 即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线 1 yx 与圆 0222 ayyx )0( a 没有公共点，则a的取值范围是( )(A) )12,0( (B) )12,12( (C) )12,12( (D) )12,0( 解 化为标准方程 222 )( aayx ，即得圆心 ),0( aC 和半径 ar .直线 1 yx 与已知圆没有公共点，线心距 arad 21，平方去分母得 22 212 aaa
3、，解得1212 a ，注意到 0a ， 120 a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d与圆半径r的大小来处理直线与圆的位置关系： rd 线圆相离； rd 线圆相切； rd 线圆相交.三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆 0252422 yxyx 相切的直线方程为( )(A) xy 3 或 xy 31 (B) xy 3 或 xy 31(C) xy 3 或 xy 31 (D) xy 3 或 xy 31解 化为标准方程 25)1()2( 22 yx,即得圆心 )1,2( C 和半径 25r .设过坐标原点的切线方程为 kxy ，即 0 ykx ，线心距 251122 rkkd，
4、平方去分母得 0)3)(13( kk ，解得 3k 或31，所求的切线方程为 xy 3 或 xy 31 ，故选(A).点评：一般通过线心距d与圆半径r相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线 03 yax 与圆 4)2()1( 22 yx 相交于 BA、 两点，且弦AB的长为 32 ，则 a .解 由已知圆 4)2()1( 22 yx ，即得圆心 )2,1(C 和半径 2r .线心距112 aad，且 222 )2( rABd ， 2222 2)3()11( aa，即 1)1( 22 aa ，解得 0a .1华师大家教中心 专业的中
5、小学教育辅导机构，联系电话：020-34774470 钟老师点评：一般在线心距d、弦长AB的一半和圆半径r所组成的直角三角形中处理弦长问题： 222 )2( rABd .五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆 0122 22 yyxx 外一点 )2,3(P 向这个圆 两 切线，则两切线 角的 弦值为( )(A) 21 (B)53 (C)23 (D) 0解 已知圆化为 1)1()1( 22 yx ，即得圆心 )1,1(C 和半径 1r .设由 )2,3(P 向这个圆 的两 切线的 角为，则在切线长、半径r和 PC 构成的直角三角形中， 522cos ，5312cos2cos2 ，故选(B).
6、点评：处理两切线 角问题的方法是：先在切线长、半径r和 PC 所构成的直角三角形中求得2 的三角 数值，再 角公 解 角问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点 )2,1( 的直线l 圆 4)2( 22 yx 分成两 ， 所 的圆心角 小 ，直线l的 k .解 由已知圆 4)2( 22 yx ，即得圆心 )0,2(C 和半径 2r .设 )2,1(P ，则 2PCk ； PC 直线l 弦 ，从而 所 的圆心角 小，直线l的 221 PCkk .点评：一般 圆心角 所 的 或弦的关系处理圆心角问题：在 圆中， 圆心角 小则 所 的 长与弦长 ， 长与弦长则所 的圆心角 小.七、最值问题例
7、7 (06湖南卷文) 圆 0104422 yxyx 的点到直线 14 yx 0 的 大距离与 小距离的 是( )(A) 30 (B) 18 (C) 26 (D) 25解 已知圆化为 18)2()2( 22 yx ，即得圆心 )2,2(C 和半径 23r .设线心距为d，则圆 的点到直线 014 yx 的 大距离为 rd ， 小距离为 rd ， 262)()( rrdrd ，故选(C).点评：圆 一点到 直线距离的 值问题一般 化为线心距d与圆半径r的关系解 ：圆 的点到 直线的 大距离为 rd ， 小距离为 rd .八、综合问题例8 (06湖南卷理) 圆 0104422 yxyx 有三个 的点
8、到直线 0: byaxl 的距离为 22 ，则直线l的 角的取值范围是( )(A) 4,12 (B) 125,12 (C) 3,6 (D) 2,0 解 已知圆化为 18)2()2( 22 yx ，即得圆心 )2,2(C 和半径 23r .圆 有三个 的点到直线 0: byaxl 的距离为 22 ， 2222222 rbabad，即 04 22 baba ，由直线l的 bak 代入得 0142 kk ，解得 3232 k ， 3212tan ， 32125tan ，直线l的 角的取值范围是 125,12 ，故选(B).点评：处理与圆有关的任何问题是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的c
9、urrency1得到“而解 .2华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-34774470 钟老师圆的方程1. “定圆方程fifl有三个 相的 .圆的方程有两形 ，fl注意 形 的圆方程的 范围.(1) 圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2， 中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 (D2E24F”0)，圆心坐标为( 2,2 ED )，半径为r2422 FED 2. 直线与圆的位置关系的定方法.(1) 法一：直线：AxByC0；圆：x2y2DxEyF0.0022 FEyDxyxCByAx一 方程 相离相切相交 000(2) 法 ：直
10、线： Ax By C 0 ；圆： (x a)2 (y b)2 r2 ，圆心 (a ， b) 到直线的距离为 d 相离相切相交rdrdrdBACBbAa22 .3. 两圆的位置关系的定方法.设两圆圆心分为O1、 O2，半径分为r1、 r2， O1O2 为圆心距，则两圆位置关系：O1O2 ”r1r2两圆外离；O1O2 r1r2两圆外切；r1r2 O1O2 r1r2两圆相交；O1O2 r1r2 两圆切； O1O2 r1r2 两圆.点 1.方程x2+y22t+3 x+214t2 y+16t4+9=0tR 圆方程，则t的取值范围是A.10，得7t26t10 ， 的是A. a2+b2=r2 ，圆 过原点B
11、. a=r ，圆与y 相切C. b=r ，圆与x 相切D. b0，得23 2 20，所以M2在圆C外.“求经过两圆 04622 xyx 和 028622 yyx 的交点，并且圆心在直线 04 yx 的圆的方程。” 学们普遍使 两方法求解：方法：先求出两已知圆交点 2,6,3,1 21 AA ，再设圆心坐标为 ),4( bbB ，根据 rBABA 21 ，可求出圆心坐标 半径r，于是可得所求圆方程。方法 ：先求出两已知圆交点 2,6,3,1 21 AA ，再设所求圆的方程为： 022 FEyDxyx , 圆心为 22 , ED ，代入 04 yx ，再 A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三
12、个关于D,E,F的三一 方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。但是果我们 “过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。经过两已知圆的交点的圆系设圆C1与C2的方程为： C1: 011122 FyExDyxC2: 022222 FyExDyx .并且两圆相交于两点。引进一个参数，并令：11122 FyExDyx +22222 FyExDyx =0 中 -1。引进两个参数 1 和 2 ，并令：1 11122 FyExDyx +2 22222 FyExDyx =0 中1 + 2 0 参数取何值，方程与中的x2项和y2项的系数相等，方程没有xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标合方程
13、与，所以与都是经过两已知圆的交点的圆系，但是与稍有 ： =0 ，方程的 线就是圆C1; 为何值，方程的 线都会是圆C2。所以方程经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在，但包括圆C2。 1 =0 ，方程的 线就是圆C2； 2 =0 ，方程的 线就是圆C1。所以方程经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1和圆C2在。 应 圆系来解本文前 的问题：设经过已知两圆的交点的圆的方程为：0)286(46 2222 yyxxyx . -1 则 圆心坐标为 )13,1 3( 所求圆的圆心在直线 04 yx 1 3 + 13 4=0， 解得 =-7 所求圆的方程为： 4622 xyx 7 0)286( 22 y
14、yx 即： 032722 yxyx 再举两 说明圆系的应 1 求经过两已知圆： 06422 xyx 和 06422 yyx 的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。解： 设经过两已知圆交点的圆系的方程为：0)64(64 2222 yyxxyx -1 圆心的横坐标为： 1 2x ，令 1 2 =3 得 31 所求圆的方程为： 0)64(3164 2222 yyxxyx 即 062622 yxyx2 设圆方程为：016448)4012()42()4()4( 22 yxyx 中 45华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-34774470 钟老师求 ： 为何值，所给圆 经过两个定点。
15、明： 把所给方程写为： 0)48122()4110(4 2222 yxyxyxyx 这是经过以两个圆的交点的圆系的方程：048122041102222yxyxyxyx所以， 为何值，所给圆 经过这两个圆的两个交点直线与圆的位置关系、 题选1：求由 所 定圆 422 yx 的圆的切线方程；(1)经过点 )1,3(P ，(2)经过点 )0,3(Q ，(3) 为 1解：(1) 41)3( 22 点 )1,3(P 在圆 ，故所求切线方程为 43 yx 。(2) 403 22 点Q在圆外。设切线方程为 )3( xky 即 03 kykx直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径， 2132kk， 552k所
16、求切线方程为 )3(552 xy 。(3)设圆的切线方程为 bxy ，代入圆的方程。整理得， 0422 22 bbxx ，直线与圆相切 0)4(24)2( 22 bb ，解得 22b 。所求切线方程为 022 yx 。小 ： 圆心到切线的距离等于半径是解 圆的切线问题的常 方法。 法求切线方程 圆锥 线， 然 于圆 。2：已知点 ),( 00 yxP 在圆 022 FEyDxyx 的外 ，过P 圆的切线，切点为M ，求 FEyDxyxPM 002020 。明： 7-53-1，圆心 )2,2( EDC ，6华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-34774470 钟老师半径
17、FEDCM 421 22 ，2020 )2()2(EyDxCP 由勾股定理得22 CMCPPM 44)2()2(222020FEDEyDx FEyDxyx 002020xy图7-53-1MN CPO7华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-34774470 钟老师小 ：(1) 题的 明，给出了切线长公 ，即 圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。(2)以CP 为直径的圆与圆C相交于M 、N 两点，则M 、N 为切点。 圆C的方程为 222 ryx ，则两切点连线所在的直线方程为200 ryyxx 。3：从圆外一点 ),( baP 向圆 222 ryx
18、 引割线，交 圆于A、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。8华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-34774470 钟老师解： 7-53-2，设AB的中点 ),( yxM ，连接OM ， ),( yxOM ， ),( byaxPM ， PMOM ， 0PMOM ，即 0),)(,( byaxyx 0)()( byyaxx 022 byaxyx ， )( rxr xy图7-53-2MBAOP9华师大家教中心 专业的中小学教育辅导机构，联系电话：020-34774470 钟老师小 ： 题 向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可 一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联方程组，由韦达定理建中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可 两直线垂直的充fl ，但 须讨 存在与存在两情况。都比向量法fl麻烦。备选 题：4*：已知 于圆 1)1( 22 yx 任意一点 ),( yxP ，等 0 myx 恒成，求数m的取值范围。10
