1、由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 2011 年全国各地数学中考题汇编 压轴题 2011.7.6 （黄冈市 2011） 24 （ 14 分）如图所示，过点 F（ 0， 1）的直线 y=kx b 与抛物线 214yx交于 M（ x1， y1）和 N（ x2， y2）两点（其中 x1 0， x2 0） 求 b 的值 求 x1x2 的值 分别过 M、 N 作直线 l： y= 1 的垂线，垂足分别是 M1、 N1，判断 M1FN1 的形状，并证明你的结论 对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m与以 MN 为直径的圆相切如果有，
2、请法度出这条 直线 m的解析式；如果没有，请说明理由 答案： 24 解： b=1显然 11xxyy 和 22xxyy 是方程组2114y kxyx 的两组解，解方程组消元得 21 104 x kx ，依据“根与系数关系”得 12xx= 4 M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由题知 M1的横坐标为 x1， N1的横坐标为 x2，设 M1N1交 y 轴于 F1，则 F1M1F1N1= x1x2=4，而 FF1=2，所以 F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F= FF1N1=90，易证 Rt M1FF1 Rt N1FF1，得 M1FF1=FN1F1，故 M1FN1= M1FF1 F
3、1FN1= FN1F1 F1FN1=90，所以 M1FN1是直角三角形 存在，该直线为 y= 1理由如下： 直线 y= 1 即为直线 M1N1 F M N N1 M1 F1 O y x l 第 22 题图 F M N N1 M1 F1 O y x l 第 22 题 解答用 图 P Q 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 如图，设 N 点横坐标为 m，则 （黄石市 2011 年） 24.（本小题满分 9 分）已知 1O 与 2O 相交于 A 、 B 两点，点 1O 在 2O 上， C 为 2O 上一点（不与 A ， B ， 1O 重合），直线
4、CB 与 1O 交于另一点 D 。 （ 1）如图（ 8），若 AC 是 2O 的直径，求证： AC CD ； （ 2）如 图 (9)，若 C 是 1O 外一点，求证： 1OC AD ； （ 3）如图（ 10），若 C 是 1O 内一点，判断（ 2）中的结论是否成立。 答案： 24（ 9 分）证明：（ 1）如图（一），连接 AB ， 1CO AC 为 2O 的直径 DB AB AD 为 1O 的直径 1O 在 AD 上 又 1CO AD ， 1O 为 AD 的中点 ACD 是以 AD 为底边的等腰三角形 AC CD （ 3 分） （ 2）如图（二），连接 1AO ，并延长 1AO 交 1O 与点
5、 E ，连 ED 四边形 AEDB 内接于 1O ABC E 又 AC AC 1E AO C 1 /CO ED 又 AE 为 1O 的直径 ED AD 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 1CO AD （ 3 分） （ 3）如图（三），连接 1AO ，并延长 1AO 交 1O 与点 E ，连 ED 1B EOC 又 EB 1EO C E 1 /CO ED 又 ED AD 1CO AD （ 3 分） （黄石 市 2011 年 ） 25.（本小题满分 10 分）已知二次函数 2 2 4 8y x m x m （ 1）当 2x 时，函数值 y 随
6、x 的增大而减小，求 m 的取值范围。 （ 2）以抛物线 2 2 4 8y x m x m 的顶点 A 为一个顶点 作该抛物线的内接正三角形AMN （ M ， N 两点在抛物线上），请问： AMN 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （ 3）若抛物线 2 2 4 8y x m x m 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值。 答案： 25（ 10 分）解：（ 1） 22( ) 4 8y x m m m 由题意得， 2m （ 3 分） （ 2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知 MN y 轴，设抛物线的对称轴与 MN 交于点 B ，则 3AB BM
7、 。设 ( , )Mab ()B M a m m a 又 2( 4 8 )BAA B y y b m m x y 0 A 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 222 4 8 ( 4 8 )a m a m m m 2222()a ma mam 2( ) 3 ( )a m a m 3am 3BM ， 3AB 112 3 2 3 3 322A M NS A B B M 定值 （ 3 分） （ 3）令 0y ，即 2 2 4 8 0x m x m 时，有 2 22 2 4 8 ( 2 ) 42m m mx m m 由题意， 2( 2) 4m为完全平方
8、数，令 22( 2) 4mn 即 ( 2 )( 2 ) 4n m n m ,mn为整数， 2, 2n m n m 的奇偶性相同 2222nmnm 或 2222nmnm 解得 22mn 或 22mn 综合得 2m x y 0 A N B M 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 （ 2011 年广 东茂名市 ） 如图， P 与 y 轴相切于坐标原点 O（ 0， 0），与 x 轴相交于点 A（ 5， 0），过点 A 的直线 AB 与 y 轴的正半轴交于点 B，与 P交于点 C （ 1） 已知 AC=3， 求点的坐标； （分） （ 2）若 AC= a
9、 , D 是 O的中点问：点 O、 P、 C、 D 四点是否在同一圆上？请说明理由如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 1O ，函数 xky 的图象经过点 1O ，求 k 的值（用含 a 的代数式表示） （分） 解： 六、 （ 本大题共 2 小题 ， 每小题 8 分 ， 共 16 分 ） 24、 解：（ 1）解法一：连接 OC， OA 是 P 的直径， OC AB， 在 Rt AOC 中， 492522 ACOAOC ， 1 分 在 Rt AOC 和 Rt ABO 中， CAO= OAB Rt AOC Rt ABO， 2 分 OBAOCOAC ，即 OB543 ， 3 分 320OB ， )
10、320,0(B 4 分 解法二：连接 OC，因为 OA 是 P 的直径， ACO=90 在 Rt AOC 中， AO=5， AC=3， OC=4， 1 分 过 C 作 CE OA 于点 E，则： OCCACEOA 2121 ， 即： 4321521 CE ， 512CE ， 2 分 516)512(4 2222 CEOCOE )512,516(C ， 3 分 第 24 题图 y 第 24 题 备用 图 y 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 设经过 A、 C 两点的直线解析式为： bkxy 把点 A（ 5， 0）、 )512,516(C 代入
11、上式得： 51251605bkbk ， 解得：32034bk， 32034 xy ， 点 )320,(OB 4 分 （ 2）点 O、 P、 C、 D 四点在同一个圆上，理由如下： 连接 CP、 CD、 DP， OC AB， D 为 OB 上的中点， ODOBCD 21 ， 3= 4，又 OP=CP， 1= 2， 1+ 3= 2+ 4=90， PC CD，又 DO OP， Rt PDO和 Rt PDC 是同以 PD 为斜边的直角三角形， PD 上的中点到点 O、 P、 C、 D 四点的距离相等， 点 O、 P、 C、 D 在以 DP 为直径的同一个圆上； 6 分 由上可知，经过点 O、 P、 C
12、、 D 的圆心 1O 是 DP 的中点，圆心 )2,2(1 ODOPO， 由（ 1）知： Rt AOC Rt ABO， ABOAOAAC ，求得： AB=a25 ，在 Rt ABO 中， a aOAABOB222 255 ， OD=a aOB 225212 ，252 OAOP )4255,45( 21 a aO ，点 1O 在 函数 xky 的图象上， 544255 2 ka a ， a ak 162525 2 8 分 （ 2011 年广东茂名市 ） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线经过点 (0， 4)，B(1， 0)， C（ 5， 0），抛物线对称轴 l 与 x 轴相交于点 M
13、 （ 1）求抛物线的解析式和对称轴； （ 3 分） （ 2） 设点 P 为抛物线（ 5x ）上的一点，若以 A、 O、 M、 P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你 直接写出 点 P 的坐标； （ 2 分） （ 3） 连接 AC探索：在直线 AC 下方的抛 物线上是否存在一点 N，使 NAC 的面积最大？若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请你说明理由 （ 3 分） 解： 第 25 题图 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 25、 解：（ 1）根据已知条件可设 抛物线的解析式为 )5)(1( xxay ， 1 分 把点
14、A（ 0， 4）代入上式得： 54a ， y 516)3(54452454)5)(1(54 22 xxxxx ， 2 分 抛物线的对称轴是： 3x 3 分 （ 2）由已知， 可求得 P（ 6， 4） 5 分 提示：由题意可知以 A、 O、 M、 P 为顶点的四边形有两条边 AO=4、 OM=3，又知点 P 的坐标中 5x ，所以， MP2,AP2；因此以 1、 2、 3、 4 为边或以2、 3、 4、 5 为边都不符 合题意，所以四条边的长只能是 3、4 、 5 、 6 的 一 种 情 况 ， 在 Rt AOM 中，534 2222 OMOAAM ，因为抛物线对称轴过点 M，所以在抛物线 5x
15、 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即 PM=5，此时点 P 横坐标为 6，即 AP=6；故 以 A、 O、 M、 P 为顶点的四边形 的四条边长度分别是四个连续的正整数 3、 4、 5、 6 成立， 即 P（ 6， 4） 5 分 （注：如果考生直接写出答案 P（，），给满 分 2 分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给 1 分） 法一 ： 在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大 设 N 点的横坐标为 t ，此时点 N )452454,( 2 ttt（ )50 t ，过点 N 作 NG y 轴交 AC于 G；由点 A（ 0，4）和点 C（ 5，
16、0）可求出直线 AC 的解析式为：454 xy ；把 tx 代入得： 454 ty ，则G )454,( tt ， 此时： NG= 454 t -（ 452454 2 tt ）， = tt 52054 2 分 225)25(21025)52054(2121 222 tttttOCNGS A C N当 25t 时， CAN 面积的最大值为 225 ， 由 25t ，得： 3452454 2 tty ， N（ 25 ， -3） 8 分 法二：提示：过点 N 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 E，作 CF EN 于点 F，则N F CA E NA E F CA N C SSSS 梯形 （再设出点 N
17、 的坐标，同样可求 ,余下过程略） 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 （重庆市潼南县 2011年） 26.（ 12 分）如图 ,在 平面直角坐标系中 ， ABC 是直角三角形 , ACB=90,AC=BC,OA=1， OC=4， 抛物线 2y x bx c 经过 A， B 两点， 抛物线 的顶点为 D （ 1）求 b,c 的值 ； （ 2）点 E 是 直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点 (点 A、 B 除外 )，过点 E 作 x 轴 的垂线 交 抛物线于点 F，当 线段 EF 的长度 最大时，求点 E 的坐标； （ 3） 在 （ 2）
18、 的条件下：求以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积；在 抛物线上 是否存在一点 P，使 EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形 ? 若存 在，求 出所有 点 P的坐标； 若不存在，说明理由 . 26. 解：（ 1）由已知得： A（ -1， 0） B（ 4， 5） -1 分 二次函数 2y x bx c 的图像经过点 A（ -1， 0） B(4,5) 1016 4 5bcbc -2 分 解得： b=-2 c=-3 -3 分 （ 2 如题图：直线 AB 经过点 A（ -1， 0） B(4,5) 直线 AB 的解析式为： y=x+1 二次函数 2 23y x x 设点 E(t， t+1),则 F
19、（ t， 2 23tt） -4 分 EF= 2( 1) ( 2 3)t t t -5 分 = 23 25()24t A O CBDxy26题 备 用 图A O CBDxy26题 图由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 当 32t 时， EF 的最大值 =254点 E 的坐标为（ 32 ， 52 ） -6 分 （ 3） 如题图 ：顺次连接点 E、 B、 F、 D 得四边形 可求出点 F 的坐标（ 32 ， 154） ,点 D 的坐标为（ 1， -4） S EBFD四 边 行 = S BEF + S DEF = 1 2 5 3 1 2 5 3( 4
20、 ) ( 1 )2 4 2 2 4 2 =758-9 分 如题备用图： )过点 E 作 a EF 交抛物线于点 P,设点 P(m, 2 23mm) 则有： 2 5232mm 解得 :1 2 262m ,2 2 262m 1 2 26 5( , )22p , 2 2 26 5( , )22p ）过点 F 作 b EF 交抛物线于 3P ，设 3P （ n， 2 23nn） 则有： 2 15423nn 解得：1 12n，2 32n（与点 F 重合，舍去） 3P 1 1524（ ， ） 综上所述：所有点 P 的坐标：1 2 26 5( , )22p ，2 2 26 5( , )22p 3P（ 1 1
21、524（ ， ） . 能使 EFP 组成 以 EF 为 直 角 边 的 直 角 三 角形 -12 分 （江苏省宿迁市 2011 年） 26（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， P 是反比例函数 y x6 （ x 0）图象上的任意一点，以 P 为圆心， PO 为半径的圆与 x、 y 轴分别交于点 A、 B （ 1）判断 P 是否在线段 AB 上，并说明理由； （ 2）求 AOB 的面积； （ 3） Q 是反比例函数 y x6 （ x 0）图象上异于点 P 的另一点，请以 Q 为圆心， QO 半径画圆与 x、 y 轴分别交于点 M、 N，连接 AN、 MB求证： AN
22、 MB 题备用图 yxQPABO（第 26 题） 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http:/ 资源全部免费 解：（ 1）点 P 在线段 AB 上，理由如下： 点 O 在 P 上，且 AOB 90 AB 是 P 的直径 点 P 在线段 AB 上 （ 2）过点 P 作 PP1 x 轴， PP2 y 轴，由题意可知 PP1、 PP2 是 AOB 的中位线，故 S AOB 21 OA OB 21 2 PP1 PP2 P 是反比例函数 y x6 （ x 0）图象上的任意一点 S AOB 21 OA OB 21 2 PP1 2PP2 2 PP1 PP2 12 （ 3）如图，连
23、接 MN，则 MN 过点 Q，且 S MON S AOB 12 OA OB OM ON OBONOMOA AON MOB AON MOB OAN OMB AN MB （江苏省宿迁市 2011 年） 27（本题满分 12 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点， Q 为边 CD 上一动点，设DQ t（ 0 t 2），线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、 BC 于点 M、 N，过 Q 作 QE AB于点 E，过 M 作 MF BC 于点 F （ 1）当 t 1 时，求证： PEQ NFM； （ 2）顺次连接 P、 M、 Q、 N，设四边形 PMQN 的面积为 S
24、，求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求 S 的最小值 解：（ 1）四边形 ABCD 是正方形 A B D 90， AD AB QE AB， MF BC AEQ MFB 90 四边形 ABFM、 AEQD 都是矩形 MF AB， QE AD， MF QE 又 PQ MN EQP FMN 又 QEP MFN 90 PEQ NFM （ 2）点 P 是边 AB 的中点， AB 2， DQ AE t PA 1， PE 1 t， QE 2 由勾股定理，得 PQ 22 PEQE 4)1( 2 t PEQ NFM MN PQ 4)1( 2 t QPNM FED CBA（第 27 题） NMyxQPABO
