1、 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） I 编号 ： 本科毕业设计（论文） 题目： （中文） 初中“希望杯”代数试题的研究 （英文） a Study of junior high school “hope cup” algebra examination 学 院 理学院 专 业 数学与应用数学 班 级 学 号 姓 名 指导教师 完成日期 初中“希 望杯”代数试题的研究 II 目录 摘 要 . 1 1.引言 . 1 1.1 问题的提出 . 1 1.2 研究目的 . 2 1.3 研究内容 . 2 1.4 研究方法 . 2 2.希望杯 1 试代数试题研究 . 3 2.1 数与式问题的分类 . 3 2.
2、1.1 数的运算 . 3 2.1.2. 式的运算 . 5 2.2 最值问题的分类 . 8 2.2.1 离散型最值问题 . 8 2.2.2 连续型最值问题 . 10 2.3 方程问题的分类 .11 2.3.1 方程的求解 .11 2.3.2 方程的判别 . 13 2.3.3 方程的应用 . 14 3.希望杯 2 试代数试题研究 . 17 3.1 数与式问题的分类 . 17 3.1.1 数的运算 . 17 3.1.2 式的运算 . 17 3.1.3 数与式的证明 . 20 3.2 方程问题的分类 . 21 3.2.1 方程的求解 . 21 3.2 方程的应用 . 22 4.小结 . 24 参考文献
3、 . 26 致谢 . 27 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 1 初中“希望杯”代数试题的研究 摘 要 【 摘要 】 希望杯 是中小学 数学 重要赛事 之一 。它对扩宽 学生视野， 启发 学生 注意数学与其它课程的联系 ， 培养 学生 科学的思维能力、创新能力和实践能力 有重要 的意义 ，本文以文献法对近几年 初一 和 初二的 希望杯代数试题 进行 系统的分类，整理归纳 ； 并在此基础上对少量试题 进行 适当的扩展 与 推广 ， 以 加深对希望杯 的 理解 与 认识。 【 关键词 】 希望杯； 代数；初中 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 1 A study of junior high
4、school “hope cup” algebra examination Abstract 【 ABSTRACT】 Hope Cup is one of the important events of primary and secondary mathematics. It broaden students horizons, inspire students to link mathematics and other courses. It improve students scientific thinking, innovation ability and practical abi
5、lity, this paper through the method of searching literature on the grade seven and grade eight of the Hope Cup algebraic questions in recent years give a systematic classification, finishing induction; and on this basis, proper expansion and promotion some question, in order to deepen the understand
6、ing and awareness of Hope Cup. 【 KEYWORDS】 hope cup; junior high school； algebra 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 1 1.引言 1.1 问题的提出 “希望杯 ”邀请赛自 1990年 问世 以来，已经连续举行了二十 五 届 ， 广受中小学生欢迎 。 它的参赛年 级 涉及小学四年级到六年级。初中 和 高一和高二。其 宗旨是：鼓励和引导中小学生学好数学课程中最主要的内容，适当地拓宽知识面； 启发他们注意数学与其它课程的联系和数学在实际中 的应用 ；激励他们去钻研和探究； 培养他们科学的思维能力、创新能力和实践能力。
7、其 命题原则是 ：试题内容不超出现行数学教学大纲，不超出教学进度，贴近现行的数学课本，源于课本，高于课本。 题目活而不难，巧而不偏；既大众化又富于思考性和启发性。将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来。 不仅如此，希望杯的试题有着广泛的影响力。其中每年的中考试题中都有不少直接选自赛题或与赛题类似的试题 , 在白军强的“希望杯” 中考数学的前兆一文中，结合实际的中考题和希望杯试题的出入，分析了一些把握整体思想的题目和表格题等重要类型的 题目在中考和希望杯中的相似性从而讲述希望杯在初中数学的借鉴意义。不仅仅是中考题。在丁柯丹，胡奕伟的中学数学竞赛中的初等数论问题 以希望杯初中数学竞赛试题为例一
8、文，就是以希望杯中的 16-22届试题中出现数论内容的比例和具体实例的分析作为引证去述说。 另一方面， 代数是初中数学一个重要组成部分。在全日制义务教育数学课程标准 (实验稿 )和义务教育数学课程标准 (2011年版 )中，“数与代数” 都是义务教育阶段数学课程内容四个重要领域之一。所以在中考当中及 整个中学的学习当中，对代数这一块的把握是至关重要而且作用 是持续不断的。 在景敏，彭坤等人发表的 2012年中考数学试题分类解析 数与代数一文中，表述了数与代数的重要数学价值：能提高学生分析问题、解决问题的能力，培养数感、符号意识、运算能力、推理能力、模型思想的能力。 其次，从希望杯本身的命题来看
9、。我们研究了从 2010年到 2014年的希望杯试题。有初试和复试（即 1试和 2试）。可以看到一个数据：初一的“希望杯”竞赛， 1试中代数试题（涉及到代数运算的运算）的比例最低大概在 2/3左右。也就是说。 25道的竞赛题（除了 24,25届有附加题），最多关于几何的就 8道左右。 而 且 最后一道大题，除了 23届是几何的，其余都是代数的。 观察 2试的试题（从 21届到 24届），发现比例会有所下降。但是最低在 50%。虽然最后大题的趋势有从单纯是代数的题目转变为数形 结合类型的题目的情况（几何的背景，代数的解题方式）。不管怎么说， 这样的数据已经充分说明了在初一这个阶段代数试题在“希望
10、初中“希 望杯”代数试题的研究 2 杯”中的分量和价值。初二的试题中， 21届 1试有 15道关于代数的。包括 21届在内，基本上出题的题型规律上都是 （不管是一试还是二试）： 选择题 10道 3道左右是关于几何的。填空题10道也是 3， 4道 关于几何 。大题分布的比较均匀， 有 一半左右（ 2， 3道）。除此之外 都是代数题 （也包括极少 的 概率等其他类型的题目）。所以纵观希望杯 在初一 和 初二 的出题 比例 可以看出代数试题在希望杯中的 地位 是很高的。 本论文研究希望杯初一，初二 的 1 试和 2 试中代数的部分。根据 义务教育数学课程标准 (2011 年版 ) 对义务教育阶段数学
11、课程分为“数与代数”，“空间与图形”，“统计与概率”，“实践与综合应用”四个领域的规定。而且初中阶段的“数与代数”是义务教育全日制初级中学数学教学大纲（适用修订版）中“代数”内容的扩展。所以本论文研究的代数试题就是现今 义务教育数学课程 标准 (2011 年版 ) 中四大领域之一的“数与代数”的内容。 “数与代数”的主要内容包括数与式、方程与不等式、函数。 由于 本文研究初一，初二的代数试题 ， 所以 着重 研究数与式 问题 和 方程 问题 ， 也包括 初一 最值问题的分类 研究 。 1.2 研究目的 熟悉希望杯 代数试题的结构，对代数试题中的数与式问题，方程问题 以及希望杯 1试 中的最值问
12、题进行 整理 ，分类，归纳， 总结并 适当的扩展或推广。 以加深 对希望杯试题的理解和认识 。 1.3 研究内容 本文主要从以下方面展开研究： 1、初一 和 初二 1 试 代数试 题 的 分类 研究。 2、初一 和 初二 2 试 代数试 题 的分类研究 。 1.4 研究方法 上网查阅近几年的希望杯试题，结合查考文献和资料，并在老师同伴 的帮助下 搜集各种需要代数信息，进行分类，整理，解决，归纳 。 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 3 2.希望杯 1 试 代数 试题研究 我们知道 ： 数与式包括 有理数、无理数、数轴、有理数的大小比较、 倒数、 相反数、绝对值、乘方、开方 （平方根、立方根）
13、 、近似数、有效数字、幂、科学记数法、 有理式（ 整式、分式、二次根式 ）、无理 式 等 。 对于数与式 我们 可以 从数，式两方面去看。 明显 数的话涉及到各种数（实数，有理数，无理数等等）及数之间的关系和运算，也涉及到一 些数的概 念和性质。 代数 式可以看成有理式和无理式，有理式又包括整式，分式 。当然。按照题目的性质 数与式 也 可以分为有条件式和无条件式。 所在在对数与式做研究时可以考虑从以下几个方面去讨论。 2.1 数与式 问题的分类 数与式的运算包含了有理数的运算，还有有理式的运算（包括，整式，分式的运算），还有科学计数。在整体大概 1 试 代数 试题中， 占的比例还是很大的。
14、关于数与式的运算，包含很多。可以把数与式分开来看。 2.1.1 数的 运算 例 1. 计算： )(1|2|3 3)1()1(3 【 选自第 24 届 初 一 希望杯试题 】 例 2、计算： )2()5()83(3)2()25.0(1631 342 ； 【 选自第 22 届 初 一 希望杯试题 】 例 3. If m=2， then )(31)41()1(|12|)1()(22243mmmm = 【 选自第 21 届 初 一 希望杯试题 】 例 4. 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 01 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1
15、 0 0 = 【 选自第 25 届 初 一 希望杯试题 】 初中“希 望杯”代数试题的研究 4 例 5.计算： 122222 2201120122013 【 选自第 24 届 初 二 希望杯试题 】 结合 以上 试题 可看出 ， 几乎每年 都要考关于 代数 运算的题目。 题目 不难 。但是从 出题的灵活性 可以 看 出 ： 早年 是 纯粹 算一下关于一些有理数运算 符号 的互相运用，穿插。似乎 是 考验学生的仔细 ， 敏锐度。没什么 难点可言 。但是 到 了 24,25 届 ，无疑的。运算符号变得单一了。但是 题目 的灵活性增加了。 比如 初一 25 届 1 试 题目1. 2 2 2 2 2
16、2 2 21 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 01 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 0 。 很明显 的这试题当中隐藏着简化运算。 也 只能从分子着手。从 分子 式子来看，加减号交叉出现。而且是跟平方搭干。所以 会 引起我们想到关于平方差的联系。那分子 部分 就可以化简为 1 1 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 0 .答案 为 -1 也 就马上出来了。 对这类 试题做一个推广， 我们 也很清楚。不管 最大 的数是 1000， 还是 10000.只要 分子 中 的最大数跟分母中的最大数一样。那么 结果 就是 -1. 初二 第
17、24 届 的 12 题 更难，更灵活。 要是 学过等差数列的求和公式，那么答案很快就出来了 。 122222 2201120122013 20132 -（ 20132 -1） =1. 但是没学过 等差数列也可以找出一般 的规律：1 1 12 2 2 ( 2 1 ) 2n n n n 。 所以 原式 可以直接得出为 1. 这类试题 的推广很显然：按幂的递减方式做减法。不管 这个 幂多大。底数 为 2，幂 按 公差为 1 的 方式递减排列， 答案 就是 1. 根据上面的研究，可以发现， 题目 虽然不一定很难，但是有一种 越来越活的趋势。而且 往往 数字是跟幂， 还有 今年 考试 的年份有关的。所以
18、 在 扩展此种类型的题目时可以抓住这两点。 可以 注重到数的拆分。 例如 ： 1. 计算 ： 1 1 1 1 1 1 1 11 2 8 2 4 4 8 8 0 1 2 0 1 6 8 2 2 4 的 值。这种 涉及 到一个规律 ， 只要能利用 1 1 1 1(n 2 ) 2 2n n n就 很容易了。 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 5 2.1.2. 式的 运算 之前 讲过 代数 式 包括有理式和 无理式 ，有理式包括整式和 分式 ，整式有多项式和单项式之分。 之前的实数 运算一般是无条件运算。 而现在 式的运算一般是 关于 有 条件 运算 。 （ 1） 无条件 求值 我们先来 看 一种条
19、件 本身没有告诉我们什么，但是我们要把功夫 下 在 我们要求的式子上 ， 也就是这类题目的关键就在 于 能不能处理好要求的式子，条件一般不用太 在意 。 这方面 的题目不多。但是跟 上面 的实数运算类似， 即 所给的条件是很直白的，没有 多少 隐藏式的条件，直接给你需 要的，并不需要再从条件当中挖很多隐藏的信息，因 此 跟上面实数的研究相比 只是多了一个多项式的外壳， 实质 上还是只涉及到运算和运算方法。 具体 的题目可以参考 初一 1 式 有： 22 届 12 题 ， 24 届 13 题 。 初二 1 试 有 21 届 16， 20 题， 23 届 第3 题 。 看 一道 有 代表性的题目
20、： 例 1.若 a=2009， b= 2010 ，则 ab3b2a 22 ； 【 选自第 22 届 初 一 希望杯试题 】 能 化出 ab3b2a 22 （ a+b） (a+b+b)。 就 可以找到答案 为 2011 了 （ 2） 有条件求值 首先来看 在有条件运算中，条件本身就 已经告诉了 我们很多东西，甚至只要读懂条件，就可以 知道 答案了。 例 1.已知 32x ，且 861 48 yxx ，则 y 的值是（ ） 【 选自第 24 届 初 二 希望杯试题 】 明显 要化简得 6y+8= 2424211 2 1 0 0 2 9 8xxxx 。 y 的 值 易得 15. 例 2.若 222
21、3 4 2 3 4 5 0a b c a b c ， 则 6a-10b+14c-3= 【 选自第 23 届 初 一 希望杯试题 】 要 做这道题目。明显把握两点。两个 括号 里面的多项式的和为 0.即2 3 4 0 , 2 a 3 b 4 c 5 0a b c 明显 2 个 方程解不出 3 个 解。所以 只能 根据这两个初中“希 望杯”代数试题的研究 6 等式 ，对他们进行放缩，让他们之和 正好 就是我们要的 6 10 14a b c。所以 可以得到 一个2 元 一次方程组 ( 2 3 4 ) 0( 2 a 3 b 4 c 5 ) 0x a b cy 。 得到 x+2y=6， -2x-3y=-
22、10， 3x+4y=14。得 x=2.y=2 所以 就算出来了 答案 为 -1.所以 这是充分利用 条件 ， 并 没有对要 求的多项式进行很多的处理。 另外初一 24 届 19 题 也是类似的。 再看一类 关于多项式的题目： 例 3.已知多项式 4 3 2 4 3 4 32 5 1 3 2 0 2 1 2 1 3a x a x x x x b x b x x 是二次多项式，则 22ab = 。 【 选自第 21 届 初 一 希望杯试题 】 这道 题目很简单，只要把握 二次 多项式的定义就可以 了 。但 这也是 一种题型可以参考。 类似 的还有 例 4. 若 66554433221032 xax
23、axaxaxaxaa)1xx2( ，则 531 aaa ， 642 aaa ； 【 选自第 22 届 初 一 希望杯试题 】 这道题 很明显的要展开多项式。这是 最后 一道 ， 所以题目会较难。 化简 ： 32 3 3 2 3 21 3 3 1( 2 1 ) 8 ( x 1 ) ( x ) 8 ( x 3 x 3 x 1 ) ( x x x )2 2 4 8xx 。答案 很明显 了 。 但是 像初二 23 届 的 19,13 题。 虽然也是这个 类型， 但是 背景 就不一样了 . 例 5.已知整数 a， b 满足 6 9 10 16ab a b 一 则 a b 的值是 _. 例 6.若 x 是
24、自然数 ,x 13 和 x 76 都是完全平方数，那么 x=_ 例 5 要 求 a+b，需要 联结 前面 的条件跟 a+b 之间 的关系。 先 观察这个式子，看能不能分解成 2 个 式子的乘积。发现 可以 ： 6 9 1 0 1 6 6 - 9 = - 1 0 1 6 3 a 2 3 5 2 3 1 2 3 3 5 1a b a b a b a b b b b a 一 因为 a， b 是 整数， 所以 23b 和 35a 只能 为 1.得 a=2,b=2.所以 a+b=4. 例 6 很简单的 假设 这两个是相邻的平方数，那么两个 相邻数 的平方差为 89， 可得这两个数为 44,45,因为 44 的 平 方 跟 45 的 平 方 差 89.所以 明显 的 x=45*45-13=2012. 关于 这一类根据 处理 条件 就 可以找到答案的类型，把握住条件本身的意义和它跟我们要求的 有 什么直接或间接 的 联系很重要 。
