1、 立体几何中的向量方法（ ） -证明 平行与垂直 一、选择题 1若直线 l1， l2的方向向量分别为 a (2,4， 4)， b ( 6,9,6)，则 ( ) A l1 l2 B l1 l2 C l1与 l2相交但不垂直 D以上均不正确 答案 B 2直线 l1， l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是 ( ) A s1 (1,1,2)， s2 (2， 1,0) B s1 (0,1， 1)， s2 (2,0,0) C s1 (1,1,1)， s2 (2,2， 2) D s1 (1， 1,1)， s2 ( 2,2， 2) 解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项 B 中的两个向量
2、垂直 答案 B 3已知 a 1， 32， 52 ， b 3， ， 152 满足 ab ，则 等于 ( ) A.23 B.92 C 92 D 23 解析 由 1 3 32 52 152，可知 92. 答案 B 4若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，能使 l 的是 ( ) A a (1,0,0)， n ( 2,0,0) B a (1,3,5)， n (1,0,1) C a (0,2,1)， n ( 1,0， 1) D a (1， 1,3)， n (0,3,1) 解析 若 l ，则 an 0. 而 A 中 an 2， B 中 an 1 5 6， C 中 an 1，只有 D 选项中 a
3、n 3 3 0. 答案 D 5若平面 ， 平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是 ( ) A n1 (1,2,3)， n2 ( 3,2,1) B n1 (1,2,2)， n2 ( 2,2,1) C n1 (1,1,1)， n2 ( 2,2,1) D n1 (1,1,1)， n2 ( 2， 2， 2) 解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为 D. 答案 D 6已知 a (2， 1,3)， b ( 1,4， 2)， c (7,5， )，若 a， b， c 三向量共面，则实数 等于 ( ) A.627 B.637 C.607 D.657 解析 由题意得 c ta b (2t ， t
4、4 ， 3t 2 )， 7 2t 5 t 4 ， 3t 2 t 337 177 657. 答案 D 7已知平面 内有一个点 A(2， 1,2)， 的一个法向量为 n (3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是 ( ) A (1， 1,1) B. 1， 3， 32 C. 1， 3， 32 D. 1， 3， 32 解析 对于选项 A， PA (1,0,1)，则 PA n (1,0,1)(3,1,2) 50 ，故排除 A；对于选项 B， PA 1， 4， 12 ，则 PA n 1， 4， 12 (3,1,2) 0，验证可知 C、 D 均不满足 PA n 0. 答案 B 二、填空题 8两不重合直
5、线 l1和 l2的方向向量分别为 v1 (1,0， 1)， v2 ( 2,0,2)，则l1与 l2的位置关系是 _ 解析 v2 2v1， v1v 2. 答案 平行 9平面 的一个法 向量 n (0,1， 1)，如果直线 l 平面 ，则直线 l 的单位方向向量是 s _. 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 的法向量，故直线 l 的单位方向向量是 s 0， 22 ， 22 . 答案 0， 22 ， 22 10已知点 A， B， C 平面 ，点 P ，则 AP AB 0，且 AP AC 0 是 AP BC 0 的 _ 解析 由 AP AB 0AP AC 0，得 AP( AB AC) 0， 即 A
6、P CB 0，亦即 AP BC 0， 反之，若 AP BC 0， 则 AP( AC AB) 0 AP AB AP AC，未必等于 0. 答案 充分不必要条件 11已知 AB (2,2,1)， AC (4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是 _ 解析 设平面 ABC 的法向量 n (x， y， z) 则 AB n 0，AC n 0，即 2x 2y z 0，4x 5y 3z 0. 令 z 1，得 x 12，y 1， n 12， 1， 1 ， 平面 ABC 的单位法向量为 n|n| 13， 23， 23 . 答案 13， 23， 23 12已知 AB (1,5， 2)， BC (3,1， z)
7、，若 AB BC ， BP (x 1， y， 3)，且BP 平面 ABC，则实数 x， y， z 分别为 _ 解析 由题知： BP AB ， BP BC . 所以 AB BC 0，BP AB 0，BP BC 0，即 13 51 0，x 1 5y 0， y 3z 0.解得 x 407 ， y 157 ， z 4. 答案 407 ， 157 ， 4 三、解答题 13已知： a (x,4,1)， b ( 2， y， 1)， c (3， 2， z)， ab ， bc ，求： a， b， c. 解析 因为 ab ，所以 x 2 4y 1 1， 解得 x 2， y 4， 这时 a (2,4,1)， b (
8、 2， 4， 1) 又因为 bc ， 所以 bc 0，即 6 8 z 0， 解得 z 2，于是 c (3， 2,2) 14.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分别是 C1C、 B1C1的中点求证：MN 平面 A1BD. 证 明 法一 如图所示 ，以 D 为原点， DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则 M 0， 1， 12 ， N 12， 1， 1 ， D(0,0,0)， A1(1,0,1)， B(1,1,0)， 于是 MN 12， 0， 12 ， 设平面 A1BD 的法向量是 n (x， y，
9、z) 则 n DA1 0，且 n DB 0，得 x z 0，x y 0. 取 x 1，得 y 1， z 1. n (1， 1， 1) 又 MN n 12， 0， 12 (1 ， 1， 1) 0， MN n，又 MN平面 A1BD， MN 平面 A1BD. 法二 MN C1N C1M 12C1B1 12C1C 12(D1A1 D1D) 12DA1， MN DA1，又 MN 与 DA1不共线， MN DA1， 又 MN平面 A1BD， A1D 平面 A1BD， MN 平面 A1BD. 15如图，已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1上，且 A
10、E FC1 1. (1)求证： E， B， F， D1四点共面； (2)若点 G 在 BC 上， BG 23，点 M 在 BB1上， GM BF，垂足为 H，求证： EM 面BCC1B1. 证明 (1)建立如图所示的坐标系，则 BE (3,0,1)， BF (0,3,2)， BD1 (3,3,3) 所以 BD1 BE BF， 故 BD1、 BE、 BF共面 又它们有公共点 B， 所以 E、 B、 F、 D1四点共面 (2)如图，设 M(0,0， z)， 则 GM 0， 23， z ，而 BF (0,3,2)， 由题设得 GM BF 233 z2 0，得 z 1. 因为 M(0,0,1)， E(
11、3,0,1)，所以 ME (3,0,0) 又 BB1 (0,0,3)， BC (0,3,0)， 所以 ME BB1 0， ME BC 0， 从 而 ME BB1， ME BC. 又 BB1 BC B， 故 ME 平面 BCC1B1. 16如图所示，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB 2，AF 1， M 是线段 EF 的中点 求证： (1)AM 平面 BDE； (2)AM 平面 BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AC BD N，连接 NE. 则点 N、 E 的坐标分别为 22 ，22 ， 0 、 (0,0,1) NE 22 ， 22 ， 1 . 又点 A、 M 的坐标分别是 ( 2， 2， 0)、 22 ， 22 ， 1 AM 22 ， 22 ， 1 . NE AM且 NE 与 AM 不共线 NE AM. 又 NE 平面 BDE， AM平面 BDE， AM 平面 BDE. (2)由 (1)知 AM 22 ， 22 ， 1 ， D( 2， 0,0)， F( 2， 2， 1)， DF (0， 2， 1) AM DF 0， AM DF. 同理 AM BF. 又 DFBF F， AM 平面 BDF.
