1、 平面向量的应用 一、选择题 1. 如图，在矩形 ABCD 中， 22AB BC， ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 2AB AF ，则 AE BF 的值是 ( ) A. 2 B.2 C. 3 D.3 答案 A 2 ABC 的三个内角成等差数列，且 (AB AC) BC 0，则 ABC 一定是 ( ) A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 解析 ABC 中 BC 边的中线又是 BC 边的高，故 ABC 为等腰三角形，又 A， B，C成等差数列，故 B 3. 答案 C 3. 半圆的直径 AB 4， O 为圆心， C 是半圆上不同于 A、 B 的任
2、意一点，若 P 为半径 OC 的中点，则 (PA PB ) PC 的值是 ( ) A 2 B 1 C 2 D无法确定，与 C 点位置有关 解析 (PA PB ) PC 2PO PC 2. 答 案 A 4已知点 A( 2,0)、 B(3,0)，动点 P(x， y)满足 PA PB x2，则点 P 的轨迹是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析 PA ( 2 x， y)， PB (3 x， y)， PA PB ( 2 x， y)(3 x， y) ( 2 x)(3 x) y2 x2. 即 y2 x 6. 答案 D 5如图所示，已知点 G 是 ABC 的重心，过 G 作直线与 AB， AC两边
3、分别交于 M，N两点，且 AM xAB， AN yAC，则 x yx y的值为 ( ) A 3 B.13 C 2 D.12 解析 (特例法 )利用等边三角形，过重心作平行于底边 BC 的直线，易得 x yx y 13. 答案 B 【点评】 本题采用特殊点法，因为过点 G 的直线有无数条，其中包含平行于底边 BC 的直线，所以 f(xy,x y)的值不随 M、 N的位置变化而变化 . 6已知点 O， N， P 在 ABC 所在的平面内，且 |OA| |OB| |OC|， NA NB NC0， PA PB PB PC PC PA，则点 O， N， P 依次是 ABC 的 ( ) A重心、外心、垂心
4、 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心 解析 因为 |OA| |OB| |OC|，所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为三角形 ABC 的外心；由 NA NB NC 0，得 NA NB NC CN，由中线的性质可知点 N 在三角形 AB 边的中线上，同理可得点 N在其他边的中线上，所以点N为三角形 ABC的重心；由 PA PB PB PC PC PA得， PA PB PB PC PB CA 0，则点 P 在 AC边的垂线上，同理可得点 P 在其他边的垂线上，所以点 P 为三角形 ABC 的垂心 答案 C 7.已知平面上三点 A、 B、 C 满足 |AB |
5、6， |BC | 8， |CA| 10，则 AB BC BC CA CA AB 的值等于 ( ) A 100 B 96 C 100 D 96 解析： |AB | 6， |BC | 8， |CA| 10， 62 82 102. ABC 为 Rt . 即 AB BC 0. AB BC BC CA CA AB CA (BC AB ) CA AC |AC |2 100. 答案： C 二、填空题 8.如图 ,在平行四边形 ABCD 中 ， AP BD，垂足为P， 3AP 且 APAC = . 答案 18 9. ABO 三顶点坐标为 A(1,0)， B(0,2)， O(0,0)， P(x， y)是坐标平面
6、内一点，满足 AP OA 0 ， BP OB 0 ，则 OP AB 的最小值为 _ 解析 AP OA (x 1， y)(1,0) x 10 ， x1 ， x 1， BP OB (x， y 2)(0,2) 2(y 2)0 ， y2. OP AB (x， y)( 1,2) 2y x3. 答案 3 10已知平面向量 a， b 满足 |a| 1， |b| 2， a 与 b 的夹角为 3.以 a， b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_ 解析 |a b|2 |a b|2 4a b 4|a|b|cos3 4 0， |a b| |a b|，又 |a b|2 a2 b2 2a
7、 b 3， |a b| 3. 答案 3 11在等腰直角三角形 ABC 中， D 是斜边 BC的中点，如果 AB 的长为 2，则 (AB AC ) AD 的值为 _ 解析： |BC |2 |AB |2 |AC |2 8， |AD | 12|BC |， AB AC 2AD ， ( AB AC ) AD 2AD AD 12|BC |2 4. 答案： 4 12若等边 ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M满足 CM 16CB 23CA，则 MA MB_. 解析 (构造法 ) 等边三角形的边长为 2 3， 如图建立直角坐标系， CB ( 3， 3)， CA ( 3， 3)， CM 16CB 23CA
8、32 ， 52 . OM OC CM (0,3) 32 ， 52 32 ， 12 . MA MB 32 ， 12 3 32 ， 12 2. 答案 2 【点评】 本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算 三、解答题 13已知 A(2,0)， B(0,2)， C(cos ， sin )， O为坐标原点 (1) AC BC 13，求 sin 2 的值 (2)若 |OA OC | 7，且 ( ， 0)，求 OB 与 OC 的夹角 解析 ： (1) AC (cos ， sin ) (2,0) (cos 2， sin ) BC (cos ， sin ) (0,2) (cos ， sin 2) AC
9、BC cos (cos 2) sin (sin 2) cos2 2cos sin2 2sin 1 2(sin cos ) 13. sin cos 23， 1 2sin cos 49， sin 2 49 1 59. (2) OA (2,0)， OC (cos ， sin )， OA OC (2 cos ， sin )， |OA OC | cos 2 sin2 7. 即 4 4cos cos2 sin2 7. 4cos 2，即 cos 12. 0， 3 . 又 OB (0,2)， OC 12， 32 ， cos OB ， OC |OB OC |OB | OC | 0 32 32 . OB ， OC
10、 56 . 14在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 AB AC BA BC k(k R) (1)判断 ABC 的形状； (2)若 c 2，求 k 的值 解 析 (1) AB AC cbcos A， BA BC cacos B， 又 AB AC BA BC， bccos A accos B， sin Bcos A sin Acos B， 即 sin Acos B sin Bcos A 0， sin(A B) 0， A B ， A B，即 ABC 为等腰三角形 (2)由 (1)知， AB AC bccos A bc b2 c2 a22bc c22 k， c 2，
11、k 1. 15已知向量 a (cos x， sin x)， b ( cos x， cos x)， c ( 1,0) (1)若 x 6 ，求向 量 a 与 c 的夹角； (2)当 x 2， 98 时，求函数 f(x) 2a b 1 的最大值，并求此时 x 的值 解析 (1)设 a 与 c 夹角为 ，当 x 6时， a 32 ， 12 ， cos a c|a|c|32 120322122 2 02 32 . 0， ， 56 . (2)f(x) 2a b 1 2( cos2x sin xcos x) 1 2sin xcos x (2cos2x 1) sin 2x cos 2x 2sin 2x 4 ，
12、 x 2， 98 ， 2x 4 34 ， 2 ， 故 sin 2x 4 1， 22 ， 当 2x 4 34 ， 即 x 2 时， f(x)max 1. 16已知向量 m 3sin x4， 1 ， n cos x4， cos2 x4 . (1)若 m n 1，求 cos 23 x 的值； (2)记 f(x) m n，在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且满足 (2a c)cos B bcos C，求函数 f(A)的取值范围 解析 (1)m n 3sin x4cos x4 cos2 x4 32 sin x21 cos x22 sin x26 12， m n 1， s
13、in x2 6 12. cos x 3 1 2sin2 x2 6 12， cos 23 x cos x 3 12. (2) (2a c)cos B bcos C， 由正弦定理得 (2sin A sin C)cos B sin Bcos C， 2sin Acos B sin Ccos B sin Bcos C. 2sin Acos B sin(B C) A B C ， sin(B C) sin A0. cos B 12， 0 B ， B 3， 0 A 23 . 6 A2 6 2， sin A2 6 12， 1 . 又 f(x) sin x2 6 12. f(A) sin A2 6 12. 故函数 f(A)的取值范围是 1， 32 .
