1、 椭圆 一、选择题 1椭圆 x216y28 1 的离心率为 ( ) A.13 B.12 C. 33 D. 22 解析 a2 16， b2 8， c2 8. e ca 22 . 答案 D 2中心在原点，焦点在 x轴上，若长 轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ( ) A.x281y272 1 B.x281y29 1 C.x281y245 1 D.x281y236 1 解析 依题意知： 2a 18， a 9,2c 132 a， c 3， b2 a2 c2 81 9 72， 椭圆方程为 x281y272 1. 答案 A 3椭圆 x2 4y2 1 的离心率为 ( ) A. 32
2、 B.34 C. 22 D.23 解析 先将 x2 4y2 1 化为标准方程 x21y214 1，则 a 1， b 12， c a2 b2 32 .离心率 e ca 32 . 答案 A 4设 F1、 F2分别是椭圆 x24 y2 1 的左、右焦点， P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 PF1 PF2，则点 P的横坐标为 ( ) A 1 B.83 C 2 2 D.2 63 解析 由题意知，点 P 即为圆 x2 y2 3与椭圆 x24 y2 1 在第一象限的交点，解方程组 x2 y2 3，x24 y2 1， 得点 P的横坐标为2 63 . 答案 D 5. 椭圆的中心为点 ( 10)E， ，它的一个
3、焦点为 ( 30)F， ，相应于焦点 F 的 准线方程为 72x ，则这个椭圆的方程是（ ） A 222( 1) 2 121 3xy B 222( 1) 2 121 3xy C 2 2( 1) 15x y D 2 2( 1) 15x y 答案 D 6若 P 是以 F1， F2为焦点的椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)上的一点，且 PF1 PF2 0，tan PF1F2 12，则此椭圆的离心率为 ( ) A. 53 B. 23 C.13 D.12 解析 在 Rt PF1F2中，设 |PF2| 1，则 |PF2| 2.|F1F2| 5， e 2c2a 53 . 答案 A 7椭圆 x2a2y2
4、b2 1(ab0)的两顶点为 A(a,0)， B(0， b)，且左焦点为 F， FAB是以角 B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e为 ( ) A. 3 12 B. 5 12 C.1 54 D. 3 14 解析 根据已知 a2 b2 a2 (a c)2，即 c2 ac a2 0，即 e2 e 1 0，解得 e 1 52 ，故所求的椭圆的离心率为 5 12 . 答案 B 二、填空题 8设 F1、 F2分别是椭圆 x225y216 1 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 F1P 的中点， |OM| 3，则 P点到椭圆左焦点的距离为 _ 解析 由题意知 |OM| 12|PF2| 3， |P
5、F2| 6. |PF1| 25 6 4. 答案 4 9以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于 _ 解析 如图所示，设 A， B 是椭圆的两个焦点， P 是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质， PAB 是一个直角三角形，且 BAP 30 ，所以 AP ABcos30 3c， BP c，根据椭圆定义 AP BP 2a，故 3c c 2a，所以 e ca 23 1 3 1. 答案 3 1 10 若椭圆 x2a2y2b2 1的焦点在 x轴上，过点 1， 12 作圆 x2 y2 1的切线，切点分别为 A， B，直
6、线 AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 _ 解析 由题可设斜率存在 的切线的方程为 y 12 k(x 1)(k 为切线的斜率 )， 即 2kx 2y 2k 1 0， 由 | 2k 1|4k2 4 1， 解得 k 34， 所以圆 x2 y2 1的一条切线方程为 3x 4y 5 0， 求得切点 A 35， 45 ， 易知另一切点 B(1,0)， 则直线 AB的方程为 y 2x 2. 令 y 0 得右焦点为 (1,0)， 令 x 0 得上顶点为 (0,2) a2 b2 c2 5， 故得所求椭圆方程为 x25y24 1. 答案 x25y24 1 11已知 F1( c,0)， F2(c,0)
7、为椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的两个焦点， P为椭圆上一点且 PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是 _ 解析 设 P(x， y)，则 PF1 PF2 ( c x， y) (c x， y) x2 c2 y2 c2 将 y2 b2 b2a2x2代入 式解得 x2 c2 a2 a2c2 ， 又 x2 0， a2， 2c2 a23 c2， e ca 33 ， 22 . 答案 33 ， 22 12. 椭圆 312 22 yx =1 的焦点为 F1和 F2，点 P 在椭圆上 .如果线段 PF1的中点在 y轴上，那么 |PF1|是 |PF2|的 _倍 解析 不妨设 F1（ 3， 0）
8、， F2（ 3， 0）由条件得 P（ 3， 23 ），即 |PF2|= 23 ，|PF1|= 2147 ，因此 |PF1|=7|PF2|. 答案 7 三、解答题 13设 F1， F2分别是椭圆 x24 y2 1 的左、右焦点 (1)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 1PF 2PF 54，求点 P 的坐标； (2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A， B，且 AOB 为锐角 (其中 O 为原点 )，求直线 l斜率 k 的取值范围 解析 (1)由题意知 a 2， b 1， c 3， 所以 F1( 3， 0)， F2( 3， 0) 设 P(x， y)(x0， y0)，
9、1PF ( 3 x， y)， 2PF ( 3 x， y) 由 1PF 2PF 54，得 x2 y2 3 54. 联立 x2 y2 74，x24 y2 1，解得点 P(1， 32 ) (2)可设 l的方程为 y kx 2， A(x1， y1)， B(x2， y2) 将 y kx 2代入椭圆方程， 得 (1 4k2)x2 16kx 12 0. 由 (16k)2 4(1 4k2)120 ，得 k234. 又 y1 y2 (kx1 2)(kx2 2) k2x1x2 2k(x1 x2) 4， AOB 为锐角， 所以 OA OB 0， 即 x1x2 y1y20. 即 (1 k2)x1x2 2k(x1 x2
10、) 4 k21 4k2 2k(16k1 4k2) 4 k21 4k2 0. 所以 14k24. 由 可知 34k24， 故 k 的取值范围是 ( 2， 32 ) ( 32 ， 2) 14如图，设 P 是圆 x2 y2 25 上的动点，点 D 是 P在 x 轴上的投影， M 为 PD上一点，且 |MD| 45|PD|. (1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C的方程； (2)求过点 (3,0)且斜率为 45的直线被 C 所截线段的长度 解析 (1)设 M 的坐标为 (x， y)， P 的坐标为 (xP， yP)， 由已知得 xP x，yP 54y， P 在圆上， x2 54y 2 25，
11、 即 C 的方程为 x225y216 1. (2)过点 (3,0)且斜率为 45的直线方程为 y 45(x 3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 将直线方程 y 45(x 3)代入 C 的方程，得 x225x 225 1， 即 x2 3x 8 0. x1 3 412 ， x2 3 412 . 线段 AB的长度为 |AB| x1 x2 2 y1 y2 2 1 1625 x1 x2 2 412541 415 . 15设 A， B 分别为椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左，右顶点， 1， 32 为椭圆上一点，椭圆长半 轴的长等于焦距 (1)求椭圆的方程
12、； (2)设 P(4， x)(x0) ，若直线 AP， BP 分别与椭圆相交异于 A， B 的点 M， N，求证： MBN 为钝角 解析 (1)依题意，得 a 2c， b2 a2 c2 3c2， 设椭圆方程为 x24c2y23c2 1，将 1， 32 代入， 得 c2 1，故椭圆方程为 x24y23 1. (2)证明 由 (1)，知 A( 2,0)， B(2,0)， 设 M(x0， y0)，则 2 x0 2， y20 34(4 x20)， 由 P， A， M 三点共线，得 x 6y0x0 2， BM (x0 2， y0)， BP 2， 6y0x0 2， BM BP 2x0 4 6y20x0 2
13、52(2 x0) 0， 即 MBP 为锐角，则 MBN 为钝角 16已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆 C 的离心率为 12，且经过点 M 1， 32 . (1)求椭圆 C的方程； (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1与椭圆 C相交于不同的两点 A， B，满足 PA PB PM 2？若存在，求出直线 l1的方程；若不存在，请说明理由 解析 (1)设椭圆 C 的方程为 x2a2y2b2 1(a b 0)， 由题意得 1a2 94b2 1，ca12，a2 b2 c2，解得 a2 4， b2 3. 故椭圆 C的方程为 x24y23 1. (2)假设存在直线 l1且 由题意得斜率存在，设满足
14、条件的方程为 y k1(x 2) 1，代入椭圆 C 的方程得， (3 4k21)x2 8k1(2k1 1)x 16k21 16k1 8 0.因为直线l1与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B， 设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 所以 8k1(2k1 1)2 4(3 4k21)(16k21 16k1 8) 32(6k1 3) 0， 所以 k1 12. 又 x1 x2 8k1 k13 4k21， x1x2 16k21 16k1 83 4k21 ， 因为 PA PB PM 2， 即 (x1 2)(x2 2) (y1 1)(y2 1) 54， 所以 (x1 2)(
15、 x2 2)(1 k21) |PM|2 54. 即 x1x2 2(x1 x2) 4(1 k21) 54. 所以 16k21 16k1 83 4k21 28k1 k13 4k21 4 (1 k21)4 4k213 4k2154，解得 k1 12. 因为 k1 12，所以 k1 12. 于是存在直线 l1满足条件，其方程为 y 12x. 【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为： ,第一步：假设结论成立 .,第二步：以存在为条件，进行推理求解 .,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确 .若推出矛盾，即否定假设 .,第四步：回顾检验本题若忽略 0 这一隐含条件，结果会造成两解 .
