1、 一元二次不等式及其解法 一、选择题 1不等式 x 2x 10 的解集是 ( ) A ( ， 1) ( 1,2 B ( 1,2 C ( ， 1) 2， ) D 1,2 解析 x 2x 10 x x ，x 10 1 x2 ，x 1， x ( 1,2 答 案 B 2. 若集合 , xA x x B x x ，则 AB（ ） A. xx B. xx C. xx D.xx 解析 因为集合 , A x x B x x ,所以 ABxx ,选B. 答案 B 3已知不等式 ax2 bx 10 的解集是 12， 13 ，则不等式 x2 bx a 0 的解集是 ( ) A (2,3) B ( ， 2) (3，
2、) C. 13， 12 D. ， 13 12， 解析 由题意知 12， 13是方程 ax2 bx 1 0 的根，所以由根与系数的关系得 12 13 ba， 12 13 1a.解得 a 6， b 5，不等式 x2 bx a 0 即为 x2 5x 6 0，解集为 (2,3) 答案 A 4. 已知全集 U 为实数集 R，集合 A x x 1x m0 ，集合 UA y|y x13， x 1,8，则实数 m 的值为 ( ) A 2 B 2 C 1 D 1 解析 集合 UAy|y x13， x 1， 8 1,2，故不等式 x 1x m0， 即不等式 (x 1)(x m)0 的解集为 ( ， 1) (m，
3、) ，所以 m 2. 答案 A 5在 R 上定义运算 ： a b ab 2a b，则满足 x (x 2) 0 的实数 x 的取值范围为 ( ) A (0,2) B ( 2,1) C ( ， 2) (1， ) D ( 1,2) 解析 根据给出的定义得 x (x 2) x(x 2) 2x (x 2) x2 x 2 (x2)(x 1)，又 x (x 2) 0，则 (x 2)(x 1) 0，故这个不等式的解集是 ( 2,1) 答案 B 6对于实数 x，规定 x表示不大于 x 的最大整数，那么不等式 4x2 36x45 0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A. 32， 152 B 2,8 C 2,8)
4、 D 2,7 解析 由 4x2 36x 45 0，得 32 x 152 ，又 x表示不大于 x 的最大整数，所以 2 x 8. 答案 C 7设函数 f(x) 2， x 0，x2 bx c， x0 ， 若 f( 4) f(0)， f( 2) 0，则关于x 的不等式 f(x)1 的解集为 ( ) A ( ， 3 1， ) B 3， 1 C 3， 1 (0， ) D 3， ) 解析 当 x0 时， f(x) x2 bx c 且 f( 4) f(0)，故其对称轴为 x b2 2， b 4.又 f( 2) 4 8 c 0， c 4，当 x0 时，令 x2 4x 41有 3 x 1；当 x 0 时， f(
5、x) 21 显然成立，故不等式的解集为 3， 1 (0， ) 答案 C 二、填空题 8不等式 |x 1| |x 3|0 的解集是 _ 解析 原不等式等价于 x 1， x 1 x 或 1 x3 ，x 1 x 或 x 3，x 1 x ， 解得 1 x3 或 x 3，故原不等式的解集为 x|x1 答案 x|x1 9已知函数 f(x) x2 1， x0 ，1， x 0， 则满足不等式 f(1 x2) f(2x)的 x 的取值范围是 _ 解析 由函数 f(x)的图象可知 (如下图 )，满足 f(1 x2) f(2x)分两种情况： 1 x20 ，x0 ，1 x2 2x0 x 2 1. 1 x2 0，x 0
6、 1 x 0. 综上可知： 1 x 2 1. 答案 ( 1， 2 1) 10若关于 x 的不等式 x2 12x (12)n0 对任意 n N*在 x ( ， 上恒成立，则实常数 的取值范围是 _ 解析 由题意得 x2 12x( 12)nmax 12， x 12或 x 1. 又 x ( ， ， ( ， 1 答案 ( ， 1 11已知 f(x) 1x 2 x ， x2 x x ，则不等式 f(x)2 的解集是_ 解析 依题意得 1x 22 ，x2，或 x2 x 42 ，x2. 解得 x ( ， 21,2 52， . 答案 ( ， 2 1,2 52， 12若不等式 2x 1 m(x2 1)对满足 2
7、 m2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围为 _ 解析 (等价转化法 )将原不等式化为： m(x2 1) (2x 1) 0.令 f(m) m(x21) (2x 1)，则原问题转化为 当 2 m2 时， f(m) 0 恒成立，只需 f 0，f 0 即可，即 x2 x 0，x2 x 0， 解得 1 72 x 1 32 . 答案 1 72 ， 1 32 【点 评】 本题用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即 “ 反客为主 ” 法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决 . 三、解答题 13已知 f(x) 2x2 4x 7，求不等式 f x x2 2x 1 1 的解集 解析 原不等式可化
8、为 2x2 4x 7 x2 2x 1 1， 等价于 2x2 4x 7x2 2x 1 1 ， 即 2x2 4x 7x2 2x 1 10 ， 即 x2 2x 8x2 2x 10. 由于 x2 2x 1 (x 1)20. 所以原不等式等价于 x2 2x 80 ，x2 2x 10. 即 2 x4 ，x1. 所以原不等式的解集为 x| 2 x1 或 1x4 14已知函数 f(x) mx2 mx 1. (1)若对于 x R， f(x) 0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若对于 x 1,3， f(x) 5 m 恒成立，求实数 m 的取值范围 思路分析 第 (2)问将不等 式 f(x) 5 m， x
9、 1,3恒成立转化为 m g(x)， x 1,3上恒成立，再求 g(x)的最小值即可 解析 (1)由题意可得 m 0 或 m 0， m2 4m 0 m 0 或 4 m 0 4 m0. 故 m 的取值范围为 ( 4,0 (2) f(x) m 5m(x2 x 1) 6， x2 x 1 0， m 6x2 x 1对于 x 1,3恒成立， 记 g(x) 6x2 x 1， x 1,3， 记 h(x) x2 x 1， h(x)在 x 1,3上为增函数 则 g(x)在 1,3上为减函数， g(x)min g(3) 67， m 67. 所以 m 的取值范围为 ， 67 . 【点评】 本题体现了转化与化归思想，解
10、这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围 . 15一个服装厂生产风衣，月销售量 x(件 )与售价 p(元 /件 )之间的关系为 p 160 2x，生产 x 件的成本 R 500 30x(元 ) (1)该厂月产量多大时，月利润不少于 1 300 元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解析 (1)由题意知，月利润 y px R， 即 y (160 2x)x (500 30x) 2x2 130x 500， 由月利润不少于 1 300(元 )，得 2x2 130x 5001 300 ， 即 x2 65x 9000 ，解得 20 x4
11、5. 故该厂月产量 20 45 件时，月利润不少于 1 300 元 (2)由 (1)得， y 2x2 130x 500 2 x 652 2 3 2252 ， 由题意知， x 为正整数 故当 x 32 或 33 时， y 最大为 1 612. 所以当月产量为 32 或 33 件时，可获最大利润，最大利润为 1 612 元 16解关于 x 的不等式 ax2 22 x ax(a R) 解析 原不等式可化为 ax2 (a 2)x 20 (ax 2)(x 1)0. (1)当 a 0 时，原不等式化为 x 10 x 1； (2)当 a 0 时， 原不等式化为 x 2a (x 1)0 x 2a或 x 1； (3)当 a 0 时，原不等式化为 x 2a (x 1)0. 当 2a 1，即 a 2 时，原不等式等价于 1 x 2a； 当 2a 1，即 a 2 时，原不等式等价于 x 1； 当 2a 1，即 2 a 0 时，原不 等式等价于 2a x 1. 综上所述：当 a 2 时，原不等式的解集为 1， 2a ； 当 a 2 时，原不等式的解集为 1； 当 2 a 0 时，原不等式的解集为 2a， 1 ； 当 a 0 时，原不等式的解集为 ( ， 1； 当 a 0 时，原不等式的解集为 ( ， 1 2a， .
