1、 圆的方程 一、选择题 1已知点 A(1， 1)， B( 1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是 ( ) A x2 y2 2 B x2 y2 2 C x2 y2 1 D x2 y2 4 解析 AB 的中点坐标为： (0,0)， |AB| 1 2 1 2 2 2， 圆的方程为： x2 y2 2. 答案 A 2以抛物线 y2 4x 的焦点为圆心，半径为 2 的圆的方程为 ( ) A x2 y2 2x 1 0 B x2 y2 2x 3 0 C x2 y2 2x 1 0 D x2 y2 2x 3 0 解析 抛物线 y2 4x 的焦点是 (1,0)， 圆的标准方程是 (x 1)2 y2 4.展开得
2、 x2 y2 2x 3 0. 答案 B 3已知圆 C1： (x 1)2 (y 1)2 1，圆 C2与圆 C1关于直线 x y 1 0 对称，则圆 C2的方程为 ( ) A (x 2)2 (y 2)2 1 B (x 2)2 (y 2)2 1 C (x 2)2 (y 2)2 1 D (x 2)2 (y 2)2 1 解析 只要求 出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变设圆 C2的圆心为 (a， b)，则依题意，有 a 12 b 12 1 0，b 1a 1 1，解得 a 2，b 2， 对称圆的半径不变，为 1. 答案 B 4直线 y x 1 上的点到圆 x2 y2 4x 2y 4
3、0 的最近距离为 ( ) A 2 2 B. 2 1 C 2 2 1 D 1 解析 圆心 ( 2,1)到已知直线的距离为 d 2 2，圆的半径为 r 1， 故所求距离 dmin 2 2 1. 答案 C 5点 P(4， 2)与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A (x 2)2 (y 1)2 1 B (x 2)2 (y 1)2 4 C (x 4)2 (y 2)2 4 D (x 2)2 (y 1)2 1 解析 设圆上任一点为 Q(x0， y0)， PQ 的中点为 M(x， y)，则 x 4 x02 ，y 2 y02 ，解得 x0 2x 4，y0 2y 2.因为点 Q 在圆 x
4、2 y2 4 上，所以 x20 y20 4，即 (2x 4)2(2y 2)2 4，即 (x 2)2 (y 1)2 1. 答案 A 6若圆 (x 3)2 (y 5)2 r2上有且只有两个点到直线 4x 3y 2 0 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是 ( ) A (4,6) B 4,6) C (4,6 D 4,6 解析 因为圆心 (3， 5)到直线 4x 3y 2 0 的距离为 5，所以当半径 r 4 时，圆上有 1 个点到直线 4x 3y 2 0 的距离等于 1，当半径 r 6 时，圆上有 3 个点到直线 4x 3y 2 0 的距离等于 1，所以圆上有且只有两个点到直线 4x 3y 2
5、0 的距离等于 1 时， 4 r 6. 答案 A 7如右图，一个直径为 1 的小圆沿着 直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动， M 和 N 是 z 小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点 M， N 在大圆内所绘出的 图形大致是 ( ) 解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1总与大圆 O 相内切，且小圆 O1总经过大圆的圆心 O.设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点M ，则大圆圆弧 的长与小圆圆弧 的长之差为 0 或 2. 切点 A 在三、四象限的差为 0，在一、二象限的差为 2. 以切点 A 在第三象限为例，记直线 OM 与此时小圆
6、O1的交点为 M1，记 AOM ，则 OM1O1 M1OO1 ，故 M1O1A M1OO1 OM1O1 2 .大圆圆弧 的长为l1 2 2 ，小圆圆弧 的长为 l2 2 1 2 ，则 l1 l2，即小圆的两段圆弧 与 的长相等，故点 M1与点 M 重合即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动点 A 在其他象限类似可得，故 M，N 的轨迹为相互垂直的线段 观察各选项知，只有选项 A 符合故选 A. 答案 A 二、填空题 8已知圆 C 经过 A(5,1)， B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 _ 解析 线段 AB 的中垂线方程为 2x y 4
7、0，与 x 轴的交点 (2,0)即为圆心 C 的坐标，所以半径为 |CB| 10，所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 10. 答案 (x 2)2 y2 10 9过两点 A(0,4)， B(4,6)，且圆心在直线 x 2y 2 0 上的圆的标准方程是_ 解析 设圆心坐标 为 (a， b)，圆半径为 r，则圆方程为 (x a)2 (y b)2 r2， 圆心在直线 x 2y 2 0 上， a 2b 2 0， 又 圆过两点 A(0,4)， B(4,6)， (0 a)2 (4 b)2 r2， 且 (4 a)2 (6 b)2 r2， 由 得： a 4， b 1， r 5， 圆的方程为 (x 4)2
8、(y 1)2 25. 答案 (x 4)2 (y 1)2 25 10已知圆 C： (x 3)2 (y 4)2 1，点 A(0， 1)， B(0,1) P 是圆 C 上的动点，当 |PA|2 |PB|2取最大值时，点 P 的 坐标是 _ 解析 设 P(x0， y0)，则 |PA|2 |PB|2 x20 (y0 1)2 x20 (y0 1)2 2(x20 y20) 2， 显然 x20 y20的最大值为 (5 1)2， dmax 74，此时 OP 6PC ，结合点 P 在圆上，解得点 P 的坐标为 185 ， 245 . 答案 185 ， 245 11已知两点 A( 2,0)， B(0,2)，点 C
9、是圆 x2 y2 2x 0 上任意一点，则 ABC面积的最小值为 _ 解析 lAB： x y 2 0，圆心 (1,0)到 lAB的距离 d |3|2 32， AB 边上的高的最小值为 32 1. Smin 12(2 2) 32 1 3 2. 答案 3 2 12设圆 C 同时满足三个条件： 过原点； 圆心在直线 y x 上； 截 y 轴所得的弦长为 4，则圆 C 的方程是 _ 解析 由题意可设圆心 A(a， a)，如图，则 22 22 2a2，解得 a2 ， r2 2a2 8.所以圆 C 的方程是 (x 2)2 (y 2)2 8 或 (x2)2 (y 2)2 8. 答案 (x 2)2 (y 2)
10、2 8 或 (x 2)2 (y 2)2 8. 三、解答题 13经过三点 A(1,12)， B(7,10)， C( 9,2)的圆的标准方程 解 法一 设圆的一般方程为： x2 y2 Dx Ey F 0， 则 1 144 D 12E F 0，49 100 7D 10E F 0，81 4 9D 2E F 0，解得 D 2， E 4， F 95， 所求圆的方程为 x2 y2 2x 4y 95 0， 即圆的标准方程为： (x 1)2 (y 2)2 100. 法二 由 A(1,12)， B(7,10)，得 A、 B 的中点坐标为 (4,11)， kAB 13，则 AB 的中垂线方程为： 3x y 1 0.
11、 同理得 AC 的中垂线方程为 x y 3 0， 联立 3x y 1 0，x y 3 0 得 x 1，y 2. 即圆心坐标为 (1,2)，半径 r 2 2 10. 所求圆的标准方程为： (x 1)2 (y 2)2 100. 14已知圆 C 的方程为 x2 y2 (m 2)x (m 1)y m 2 0，根据下列条件确定实数 m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径 (1)圆的面积最小； (2)圆心距离坐标原点最近 解析 (1)因为 (m 2)2 (m 1)2 4(m 2) 2m2 6m 13 2 m 32 2 172 0 恒成立，无论 m 为何值，方程总表示圆 圆心坐标 2 m2 ， m 12 ，
12、圆的半径为 r 122m2 6m 13. 圆的半径最小时，面积最小， r 12 2m2 6m 13 12 2 m 32 2 172 344 ， 当且仅当 m 32时，等 号成立，此时面积最小 所以当圆的面积最小时，圆心坐标为 14， 54 ，半径 r 344 . (2)圆心到坐标原点的距离 d 12 2 m 12 2 92 3 24 .当且仅当 m 12时，距离最近此时，圆心坐标为 34， 34 ，半径 r 424 . 15求与 x 轴相切，圆心在直线 3x y 0 上，且被直线 x y 0 截得的弦长为2 7的圆的方程 解析 法一 设所求的圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2， 则圆
13、心 (a， b)到直线 x y 0 的距离为 |a b|2， r2 |a b|2 2 ( 7)2， 即 2r2 (a b)2 14， 由于所求的圆与 x 轴相切， r2 b2. 又因为所求圆心在直线 3x y 0 上， 3a b 0. 联立 ，解得 a 1， b 3， r2 9 或 a 1， b 3， r2 9. 故所求的圆的方程是 (x 1)2 (y 3)2 9 或 (x 1)2 (y 3)2 9. 法二 设所求的圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0， 圆心为 D2， E2 ，半径为 12 D2 E2 4F. 令 y 0，得 x2 Dx F 0， 由圆与 x 轴相切，得 0，即 D2
14、4F. 又圆心 D2， E2 到直线 x y 0 的距离为 D2 E22. 由已知，得 D2 E222 ( 7)2 r2， 即 (D E)2 56 2(D2 E2 4F) 又圆心 D2， E2 在直线 3x y 0 上， 3D E 0. 联立 ，解得 D 2， E 6， F 1 或 D 2， E 6， F 1. 故所求圆的方程是 x2 y2 2x 6y 1 0，或 x2 y2 2x 6y 1 0. 16已知点 A( 3,0)， B(3,0)，动点 P 满足 |PA| 2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程； (2)若点 Q 在直线 l1： x y 3 0 上，直线 l2
15、经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M，求 |QM|的最小值 思路分析 第 (2)问画出曲线 C 及 l1的图象，结合条件断定 |QM|取最小值的情况 解析 (1)设点 P 的坐标为 (x， y)， 则 x 2 y2 2 x 2 y2. 化简可得 (x 5)2 y2 16，此即为所求 (2)曲线 C 是以点 (5,0)为圆心， 4 为半径的圆，如图， 由直线 l2是此圆的切线，连接 CQ， 则 |QM| |CQ|2 |CM|2 |CQ|2 16， 当 CQ l1时， |CQ|取最小值， |CQ| |5 3|2 4 2， 此时 |QM|的最小值为 32 16 4. 【点评】 解决有关圆的最值问题一般要 “ 数 ” 与 “ 形 ” 结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面： (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (2)研究图形的形状、位置关系、性质等
