1、 直接证明与间接证明 一、选择题 1.“ 所有 9 的倍数都是 3 的倍数，某奇数是 9 的倍数，故该奇数是 3 的倍数 .”上述推理 ( ) A 小前提错 B 结论错 C 正确 D 大前提错 解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选 C. 答案 C 2在用反证法证明命题 “ 已知 a、 b、 c (0,2)，求证 a(2 b)、 b(2 c)、 c(2 a)不可能都大于 1” 时，反证时假设正确的是 ( ) A假设 a(2 b)、 b(2 c)、 c(2 a)都小于 1 B假设 a(2 b)、 b(2 c)、 c(2 a)都大于 1 C假设 a(2 b)、 b(2 c)、 c(2 a)都不
2、大于 1 D以上都不对 解析 “ 不可能都大于 1” 的否定是 “ 都大于 1” ，故选 B. 答案 B 3下列命题中的假命题是 ( ) A三角形中至少有一个内角不小于 60 B四面体的三组对棱都是异面直线 C闭区间 a， b上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D设 a， b Z，若 a b 是奇数，则 a， b 中至少有一个为奇数 解析 a b 为奇数 a， b 中有一个为奇数 ，另一个为偶数，故 D 错误 答案 D 4命题 “ 如果数列 an的前 n 项和 Sn 2n2 3n，那么数列 an一定是等差数列 ”是否成立 ( ) A不成立 B成立 C不能断定 D能断定 解析 Sn 2n2 3
3、n， Sn 1 2(n 1)2 3(n 1)(n2) ， an Sn Sn 1 4n 5(n 1 时 ， a1 S1 1 符合上式 ) 又 an 1 an 4(n1) ， an是等差数列 答案 B 5设 a、 b、 c 均为正实数，则三个数 a 1b、 b 1c、 c 1a( ) A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2 解析 a 0， b 0， c 0， a 1b b 1c c 1a a 1a b 1b c 1c 6 ， 当且仅当 a b c 1 时， “ ” 成立，故三者不能都小于 2，即至少有一个不小于 2. 答案 D 6设 a lg 2 lg 5， b
4、 ex(x 0)，则 a 与 b 大小关系为 ( ) A a b B a b C a b D a b 解析 a lg 2 lg 5 lg 10 1， 而 b ex e0 1，故 a b. 答案 A 7定义一种运算 “*” ：对于自然数 n 满足以下运算性质： (n 1)*1 n*1 1，则 n*1 ( ) A n B n 1 C n 1 D n2 解析 由 (n 1)*1 n*1 1，得 n*1 (n 1)*1 1 (n 2)*1 2 n. 答案 A 二、填空题 8.用反证法证明命题 “ 若 a， bN ， ab 能被 3 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 3 整除 ” 时，假设应为 .
5、 解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“ a， b 中至少有一个能被 3 整除”的否定是“ a， b 都不能被 3 整除” . 答案 a、 b 都不能被 3 整除 9要证明 “ 3 7 2 5” 可选择的方法有以下几种，其中最合理的是_(填序号 ) 反证法， 分析法， 综合法 答案 10设 a， b 是 两个实数，给出下列条件： a b1； a b 2； a b2； a2 b22； ab1. 其中能推出： “ a， b 中至少有一个大于 1” 的条件是 _ (填序号 ) 解析 若 a 12， b 23，则 a b1， 但 a2，故 推不出； 若 a 2， b 3，则 ab1，故 推不出； 对
6、于 ，即 a b2，则 a， b 中至少有一个大于 1， 反证法：假设 a1 且 b1 ， 则 a b2 与 a b 2 矛盾， 因此假设不成立，故 a， b 中至少有一个大于 1. 答案 11如果 a a b b a b b a，则 a、 b 应满足的条件是 _ 解析 首先 a0 ， b0 且 a 与 b 不同为 0. 要使 a a b b a b b a，只需 (a a b b)2 (a b b a)2， 即 a3 b3 a2b ab2，只需 (a b)(a2 ab b2) ab(a b)，只需 a2 ab b2 ab， 即 (a b)2 0，只需 a b.故 a， b 应满足 a0 ，
7、b0 且 a b. 答案 a0 ， b0 且 a b 12若 a， b， c 是不全相等的正数，给出下列判断： (a b)2 (b c)2 (c a)20 ； ab 与 ab 及 a b 中至少有一个成立； a c， b c， a b 不能同时成立 其中判断正确的是 _ 解析 正确； 中 a c， b c， a b 可能同时成立， 如 a 1， b 2， c 3.选 C. 答案 三、解答题 13在 ABC 中，三个内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 1a b 1b c 3a b c，试问 A， B， C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由若成等差数列，请给出证明 解
8、析 A、 B、 C 成等差数列 证明如下： 1a b 1b c 3a b c， a b ca b a b cb c 3. ca b ab c 1， c(b c) a(a b) (a b)(b c)， b2 a2 c2 ac. 在 ABC 中，由余弦定理，得 cosB a2 c2 b22ac ac2ac12， 0 B180 ， B 60. A C 2B 120. A、 B、 C 成等差数列 14已知非零向量 a， b，且 a b，求证： |a| |b|a b| 2. 证明 a b a b 0， 要证 |a| |b|a b| 2. 只需证 |a| |b| 2|a b|， 只需证 |a|2 2|a|
9、b| |b|22( a2 2a b b2)， 只需证 |a|2 2|a|b| |b|22 a2 2b2， 只需证 |a|2 |b|2 2|a|b|0 ， 即 (|a| |b|)20 ， 上式显然成立，故原不等式得证 15若 a、 b、 c 是不全相等的正数，求证： lga b2 lgb c2 lgc a2 lg a lg b lg c. 证明 a， b， c (0， ) ， a b2 ab 0， b c2 bc 0， a c2 ab 0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立 a b2 b c2 c a2 abc 成立 上式两边同时取常用对数， 得 lg a b2 b c2 c a2 lg(ab
10、c)， lga b2 lgb c2 lgc a2 lg a lg b lg c. 16 (12 分 )已知二次函数 f(x) ax2 bx c(a 0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c) 0，且 0 x c 时， f(x) 0. (1)证明： 1a是 f(x) 0 的一个根； (2)试比较 1a与 c 的大小； (3)证明： 2 b 1. 解析 (1)证明 f(x)的图象 与 x 轴有两个不同的交点， f(x) 0 有两个不等实根 x1， x2， f(c) 0， x1 c 是 f(x) 0 的根， 又 x1x2 ca， x2 1a 1a c ， 1a是 f(x) 0 的一个根 (2)假设 1a c，又 1a 0， 由 0 x c 时， f(x) 0， 知 f 1a 0 与 f 1a 0 矛盾， 1a c， 又 1a c， 1a c. (3)证明 由 f(c) 0，得 ac b 1 0， b 1 ac. 又 a 0， c 0， b 1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x b2a x1 x22 x2 x22 x2 1a， 即 b2a 1a.又 a 0， b 2， 2 b 1.
