1、 直线的方程 一、选择题 1已知直线 l 的倾斜角 满足条件 sin cos 15，则 l 的斜率为 ( ) A.43 B.34 C 43 D 34 解析 必为钝角，且 sin 的绝对值大，故选 C. 答案 C 2经过两点 A(4,2y 1)， B(2， 3)的直线的倾斜角为 34 ，则 y ( ) A 1 B 3 C 0 D 2 解析 由 2y 1 4 2 2y 42 y 2， 得： y 2 tan 34 1. y 3. 答案 B 3. 若 PQ 是圆 22x9y的弦， PQ 的中点是（ 1,2） ,则直线 PQ 的方程是 （ ） A 2 3 0xy B 2 5 0xy C 2 4 0xy
2、D 20xy 答案 B 4若直线 (2m2 m 3)x (m2 m)y 4m 1 在 x 轴上的截距为 1，则实数 m 是( ) A 1 B 2 C 12 D 2 或 12 解析 令 y 0 则 (2m2 m 3)x 4m 1， x 4m 12m2 m 3 1. m 2 或 12. 答案 D 5设直线 l 的方程为 x ycos 3 0( R)，则直线 l 的倾斜角 的范围是 ( ) A 0， ) B. 4 ， 2 C. 4 ， 34 D. 4 ， 2 2 ， 34 解析 (直接法或筛选法 )当 cos 0 时，方程变为 x 3 0，其倾斜角为 2 ； 当 cos 0 时，由直线方程可得斜率
3、k 1cos . cos 1,1且 cos 0 ， k ( ， 1 1， ) tan ( ， 1 1， ) ， 又 0， ) ， 4 ， 2 2 ， 34 . 综上知，倾斜角的范围是 4 ， 34 . 答案 C 【点评】 本题也可以用筛选法取 2 ，即 cos 0 成立，排除 B、 D，再取 0，斜率 tan 1cos 0 不成立，排除 A. 6若直线 ax by c 0 经过第一、二、三象限，则有 ( ) A ab 0， bc 0 B ab 0， bc 0 C ab 0， bc 0 D ab 0， bc 0 解析 数形结合可知 ab 0， cb 0，即 ab 0， bc 0. 答案 D 7已
4、知点 A(1,3)， B( 2， 1)若直线 l： y k(x 2) 1 与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是 ( ) A k 12 B k 2 C k 12或 k 2 D 2 k 12 解析 (数形结合法 )由已知直线 l 恒过定点 P(2,1)，如右图 若 l 与线 AB 相交， 则 kPA k kPB， kPA 2， kPB 12， 2 k 12. 答案 D 【点评】 本题采用数形结合法，即通过图形观察过点 P 的直线 l 的斜率与直线PA、 PB 的斜率大小 . 二、填空题 8若 A( 2,3)， B(3， 2)， C(12， m)三点共线，则 m 的值为 _ 解析 由 kAB k
5、BC，即 2 33 2 m 212 3，得 m 12. 答案 12 9直线过点 (2， 3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是 _ 解析 设直线 方程为为 xa ya 1 或 y kx 的形式后，代入点的坐标求得 a 5 和 k 32. 答案 y 32x 或 x5 y5 1 10. 若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 _ （结果用反三角函数值表示） . 解析 设直线的倾斜角为 ，则 21arc tan,21tan . 答案 11不论 m 取何值，直线 (m 1)x y 2m 1 0，恒过定点 _ 解析 (回顾检验法 )把直线方程 (m 1)x y 2m 1 0
6、， 整理得： (x 2)m (x y 1) 0， 则 x 2 0，x y 1 0， 得 x 2，y 3. 答案 ( 2,3) 12若 A(a,0)， B(0， b)， C( 2， 2)， (ab0) 三点共线，则 1a 1b的值为 _ 解析 由题意知： b a 2 2 a，整理得： 2a 2b ab. 1a 1b 12. 答案 12 三、解答题 13已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： (1)过定点 A( 3,4)； (2)斜率为 16. 解析 ： (1)设直线 l 的方程是 y k(x 3) 4，它在 x 轴， y 轴上的截距分别是 4k
7、3,3k 4， 由已知，得 (3k 4)(4k 3) 6 ， 解得 k1 23或 k2 83. 故直线 l 的方程为 2x 3y 6 0 或 8x 3y 12 0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程是 y 16x b， 它在 x 轴上的截距是 6b， 由已知，得 | 6b b| 6， b 1. 直线 l 的方程为 x 6y 6 0 或 x 6y 6 0. 14设直线 l 的方程为 (a 1)x y 2 a 0(a R) (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围 解析 (1)当直线过原点时，该直线在
8、 x 轴和 y 轴上的截距为零，当然相等 a 2，方程即为 3x y 0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为 0， 得 a 2a 1 a 2，即 a 1 1， a 0，方程即为 x y 2 0. 综上， l 的方程为 3x y 0 或 x y 2 0. (2)将 l 的方程化为 y (a 1)x a 2， a 0，a 20 或 a 0，a 20. a 1. 综上可知 a 的取值范围是 a 1. 15已知 ABC 中， A(1， 4)， B(6,6)， C( 2,0)求： (1) ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，
9、并化为截距式方程 解析 (1)平行于 BC 边的中位线就是 AB、 AC 中点的连线 因为线段 AB、 AC 中点坐标为 72， 1 ， 12， 2 ， 所以这条直线的方程为 y 21 2x 127212， 整理得， 6x 8y 13 0，化为截距式方程为 x136 y138 1. (2)因为 BC 边上的中点为 (2,3)， 所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 y 43 4 x 12 1，即 7x y 11 0， 化为截距式方程为 x117 y11 1. 16已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与 x 轴、 y 轴的正半轴交于 A、 B 两点， O为原点，是否存在使 ABO 面积最小的直线 l？若存在，求出；若不存在，请说明理由 解析 存在理由如下 设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2)(k 0)，则 A 2 1k， 0 ， B(0,1 2k)， AOB 的面积 S 12(1 2k) 2 1k 12 4 4k 1k 12(4 4) 4. 当且仅当 4k 1k，即 k 12时，等号成立， 故直线 l 的方程为 y 1 12(x 2)，即 x 2y 4 0.
