1、行测数学运算经典题型总结 1 公务员考试数学运算技巧汇总 一、容斥原理 容斥原理关键就两个公式： 1. 两个集合的容斥关系公式： A+B=A B+AB 2. 三个集合的容斥关系公式： A+B+C=A B C+AB+BC+CA -ABC 请看例题： 【例题 1】某大学某班学生总数是 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24 人及格，若两次考试中，都没及格的有 4 人，那么两次考试都及格的人数是 ( ) A.22 B.18 C.28 D.26 【解析】设 A=第一 次考试中及格的人数 (26 人 ),B=第二次考试中及格的人数 (24 人 ),显然 ,A+B=26+24=5
2、0； A B=32-4=28，则根据 AB=A+B -A B=50-28=22。答案为 A。 【例题 2】电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况，有 62 人看过 2 频道， 34 人看过 8 频道， 11 人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人？ 【解析】设 A=看过 2 频道的人 (62)， B=看过 8 频道的人 (34)，显然， A+B=62+34=96； AB= 两个频道都看过的人 (11)，则根据公式 A B= A+B-AB =96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为 100-85=15 人。 二、作对或做错题问题 【例题】某次考试由 30 到判断题，每作对一
3、道题得 4 分，做错一题倒扣 2 分，小周共得 96 分，问他做错了多少道题？ A.12 B.4 C.2 D.5 【解析】 方法一 假设某人在做题时前面 24 道题都做对了 ,这时他应该得到 96 分 ,后面还有 6 道题 ,如果让这最后 6道题的得分为 0,即可满足题意 .这 6道题的得分怎么才能为 0分呢 ?根据规则 ,只要作对 2道题 ,做错 4道题即可 ,据此我们可知做错的题为 4 道 ,作对的题为 26 道 . 方法二 作对一道可得 4 分 ,如果每作对反而扣 2 分 ,这一正一负差距就变成了 6 分 .30 道题全做对可得 120 分 ,而现在只得到 96 分 ,意味着差距为 24
4、 分 ,用 246=4 即可得到做错的题 ,所以可知选择 B 行测数学运算经典题型总结 2 三、 植树 问题 核心要点提示： 总路线长 间距 (棵距 )长 棵数。只要知道三个要素中的任意两个要素，就可以求出第三个。 【例题 1】李大爷在马路边散步，路边均匀的栽着一行树，李大爷从第一棵数走到底 15 棵树共用了 7 分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走 ，当他回到第 5 棵树是共用了 30 分钟。李大爷步行到第几棵数时就开始往回走？ A.第 32 棵 B.第 32 棵 C.第 32 棵 D.第 32 棵 解析：李大爷从第一棵数走到第 15 棵树共用了 7 分钟，也即走 14 个棵距用了 7 分
5、钟，所以走没个棵距用0.5 分钟。当他回到第 5 棵树时，共用了 30 分钟，计共走了 300.5=60 个棵距，所以答案为 B。第一棵到第33 棵共 32 个棵距，第 33 可回到第 5 棵共 28 个棵距， 32+28=60个棵距。 【例题 2】为了把 2008 年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环 保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的 (不相交 )两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多 6000 米，若每隔 4 米栽一棵，则少 2754 棵；若每隔 5米栽一棵，则多 396棵，则共有树苗： ( ） A.8500 棵 B.12500 棵
6、 C.12596 棵 D.13000 棵 解析：设两条路共有树苗 棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可根据路程相等列出方程： (+2754-4)4=( -396-4)5( 因为 2 条路共栽 4 排，所以要减 4) 解得 =13000，即选 择 D。 四、和差倍问题 核心要点提示：和、差、倍问题是已知大小两个数的和或差与它们的倍数关系，求大小两个数的值。 (和 +差 )2= 较大数； (和 差 )2= 较小数；较大数 差 =较小数。 【例题】甲班和乙班共有图书 160 本，甲班的图书是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 解析：设乙班的图书本数为 1 份，则甲班和乙班图书本书的合
7、相当于乙班图书本数的 4 倍。乙班 160（ 3+1)=40(本 )，甲班 403=120( 本 )。 行测数学运算经典题型总结 3 五 浓度问题 【例 1】 (2008 年北京市应届第 14 题 ) 甲杯中有 浓度为 17%的溶液 400 克，乙杯中有浓度为 23%的溶液 600 克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。问现在两倍溶液的浓度是多少 ( ) A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4% 【答案】 B。 【解析】这道题要解决两个问题： (1)浓度问题的计算方法 浓度问题在国考、京考
8、当中出现次数很少，但是在浙江省的考试中，每年都会遇到浓度问题。这类问题的计算需要掌握的最基本公式是 (2)本题的陷阱条件 “ 现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两倍溶液的浓度相同。 ” 这句话描述了一个非常复杂的过程，令很多人望而却步。然而，只要抓住了整个过程最为核心的结果 “ 甲、乙两杯溶液的浓度相同 ” 这个条件，问题就变得很简单了。 因为两杯溶液最终浓度相 同，因此整个过程可以等效为 将甲、乙两杯溶液混合均匀之后，再分开成为400 克的一杯和 600 克的一杯。因此这道题就简单的变成了 “ 甲、乙两杯溶液混合之后的浓度是
9、多少 ” 这个问题了。 根据浓度计算公式可得，所求浓度为： 如果本题采用题设条件所述的过程来进行计算，将相当繁琐。 行测数学运算经典题型总结 4 六 行程问题 【例 1】 (2006 年北京市社招第 21 题 ) 2 某单位围墙外面的公路围成了边长为 300 米的正方形，甲乙两人分别从两个对角沿逆时针同时出发，如果甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 70 米，那么经过 ( )甲才能看到乙 A.16 分 40 秒 B.16 分 C.15 分 D.14 分 40 秒 【答案】 A。 【解析】这道题是一道较难的行程问题，其难点在于 “ 甲看到乙 ” 这个条件。有一种错误的理解就是 “ 甲看到乙 ” 则
10、是甲与乙在同一边上的时候甲就能看到乙，也就是甲、乙之间的距离小于 300 米时候甲就能看到乙了，其实不然。考虑一种特殊情况，就是甲 、乙都来到了这个正方形的某个角旁边，但是不在同一条边上，这个时候虽然甲、乙之间距离很短，但是这时候甲还是不能看到乙。由此看出这道题的难度 甲看到乙的时候两人之间的距离是无法确定的。 有两种方法来 “ 避开 ” 这个难点 解法一：借助一张图来求解 虽然甲、乙两人沿正方形路线行走，但是行进过程完全可以等效的视为两人沿着直线行走，甲、乙的初始状态如图所示。 图中的每一个 “ 格档 ” 长为 300 米，如此可以将题目化为这样的问题 “ 经过多长时间，甲、乙能走入同一格档
11、？ ” 观察题目选项，发现有 15 分钟、 16 分钟两个整数时间，比较方便计算。因此代入 15 分钟值试探一下经过 15 分钟甲、乙的位置关系。经过 15 分钟之后，甲、乙分别前进了 9015 1350 米 (4300 150)米 7015 1050 米 (3300 150)米 也就是说，甲向前行进了 4 个半格档，乙向前行进了 3 个半格档，此时两人所在的地点如图 所示。 甲、乙两人恰好分别在两个相邻的格档的中点处。这时甲、乙两人相距 300 米，但是很明显甲还看不到乙，正如解析开始处所说，如果单纯的认为甲、乙距离差为 300 米时，甲就能看到乙的话就会出错。 行测数学运算经典题型总结 5
12、 考虑由于甲行走的比乙快，因此当甲再行走 150 米，来到拐弯处的时候，乙行走的路程还不到 150 米。此时甲只要拐过弯就能看 到乙。因此再过 150/90 1 分 40 秒之后，甲恰好拐过弯看到乙。所以甲从出发到看到乙，总共需要 16 分 40 秒，甲就能看到乙。 这种解法不是常规解法，数学基础较为薄弱的考生可能很难想到。 解法二：考虑实际情况 由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此实际情况下，甲能够看到乙恰好是当甲经过了正方形的一个顶点之后就能看到乙了。也就是说甲从一个顶点出发，在到某个顶点时，甲就能看到乙了。 题目要求的是甲运动的时间，根据上面的分析可知，经过这段时间之后，甲正好走了整数个
13、正方形的边长，转化成数学运算式就是 90t 300n 其中， t 是甲运动的时间， n 是一个整数。带入题目四个选项，经过检验可知，只有 A 选项 16 分 40 秒过后，甲运动的距离为 90 （ 1660 40)/60 1500 3005 符合 “ 甲正好走了整数个正方形的边长 ” 这个要求，它是正确答案。 行测数学运算经典题型总结 6 七 抽屉问题 三个例子： （ 1） 3 个苹果放到 2 个抽屉里，那么一定有 1 个抽屉里至少有 2 个苹果。 （ 2） 5 块手帕分给 4 个小朋友，那么一定有 1 个小朋友至少拿了 2 块手帕。 （ 3） 6 只鸽子飞进 5 个鸽笼，那么一定有 1 个鸽
14、笼至少 飞进 2 只鸽子。 我们用列表法来证明例题（ 1）： 放 法 抽 屉 种 种 种 种 第 1 个抽屉 3 个 2 个 1 个 0 个 第 2 个抽屉 0 个 1 个 2 个 3 个 从上表可以看出，将 3 个苹果放在 2 个抽屉里，共有 4 种不同的放法。 第 、 两种放法使得在第 1 个抽屉里，至少有 2 个苹果；第 、 两种放法使得在第 2 个抽屉里，至少有 2 个苹果。 即：可以肯定地说， 3 个苹果放到 2 个抽屉里，一定有 1 个抽屉里至少有 2 个苹果。 由上可以得出： 题 号 物 体 数 量 抽屉数 结 果 （ 1） 苹 果 3 个 放入 2 个抽屉 有一个抽屉至少有 2
15、 个苹果 （ 2） 手 帕 5 块 分给 4 个人 有一人至少拿了 2 块手帕 （ 3） 鸽 子 6 只 飞进 5 个笼子 有一个笼子至少飞进 2 只鸽 上面三个例子的共同特点是：物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有 2 个这样的物体。从而得出： 抽屉原理 1：把多于 n 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 2 个或 2 个以上的物体。 再看下面的两个例子： （ 4）把 30 个苹果放到 6 个抽屉中，问：是否存在这 样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于 5？ （ 5）把 30 个以上的苹果放到 6 个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等
16、于 5？ 解答 :（ 4）存在这样的放法。即：每个抽屉中都放 5 个苹果；（ 5）不存在这样的放法。即：无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有 6 个苹果。 行测数学运算经典题型总结 7 从上述两例中我们还可以得到如下规律： 抽屉原理 2：把多于 mn 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 m 1 个或多于 m l 个的物体。 可以看出， “ 原理 1” 和 “ 原理 2” 的区别是： “ 原理 1” 物体多，抽屉少，数量比较 接近； “ 原理 2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。 以上两个原理，就是我们解决抽屉问题的重要依据。抽屉问题
17、可以简单归结为一句话：有多少个苹果，多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。解此类问题的重点就是要找准 “ 抽屉 ” ，只有 “ 抽屉 ” 找准了， “ 苹果 ”才好放。 我们先从简单的问题入手： （ 1） 3 只鸽子飞进了 2 个鸟巢，则总有 1 个鸟巢中至少有几只鸽子？（答案： 2 只） （ 2）把 3 本书放进 2 个书架，则总有 1 个书架上至少放着几本书？（答案： 2 本） （ 3）把 3 封信投进 2 个邮筒，则总 有 1 个邮筒投进了不止几封信？（答案： 1 封） （ 4） 1000 只鸽子飞进 50 个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有几只鸽子？（答案：
18、 100050 20，所以答案为 20 只） （ 5）从 8 个抽屉中拿出 17 个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？（答案： 178 21 ， 2 1 3，所以答案为 3） （ 6）从几个抽屉中（填最大数）拿出 25 个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了 7个苹果？（答案： 25 6 ，可见除数为 4， 余数为 1，抽屉数为 4，所以答案为 4 个） 抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。如上面（ 1）、（ 2）、（ 3）题，讲的就是这些原理。上面（ 4）、（ 5）、（ 6）题的规律是：物体数比抽屉数的几倍还多几的情况，可
19、用 “ 苹果数 ” 除以 “ 抽屉数 ” ，若余数不为零，则 “ 答案 ” 为商加 1；若余数为零，则 “ 答案 ” 为商。其中第（ 6）题是已知 “ 苹果数 ” 和 “ 答案 ” 来求 “ 抽屉数 ” 。 抽屉问题的用处很广，如果能灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手，实际上却是相当有趣的数学问题。 例 1：某班共有 13 个同学，那么至少有几人 是同月出生？（ ） A. 13 B. 12 C. 6 D. 2 解 1：找准题中两个量，一个是人数，一个是月份，把人数当作 “ 苹果 ” ，把月份当作 “ 抽屉 ” ，那么问题就变成： 13 个苹果放 12 个抽屉里，那么至少有一个抽
20、屉里放两个苹果。【已知苹果和抽屉，用 “ 抽屉原理 1” 】 例 2：某班参加一次数学竞赛，试卷满分是 30 分。为保证有 2 人的得分一样，该班至少得有几人参赛？（ ） 行测数学运算经典题型总结 8 A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 解 2：毫无疑问，参赛总人数可作 “ 苹果 ” ，这里需要找 “ 抽屉 ” ，使找到的 “ 抽屉 ” 满足：总人数放进 去之后，保证有 1 个 “ 抽屉 ” 里，有 2 人。仔细分析题目， “ 抽屉 ” 当然是得分，满分是 30 分，则一个人可能的得分有 31 种情况（从 0 分到 30 分），所以 “ 苹果 ” 数应该是 31 1 32。【已知苹
21、果和抽屉，用 “ 抽屉原理 2” 】 例 3. 在某校数学乐园中，五年级学生共有 400 人，年龄最大的与年龄最小的相差不到 1 岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这 400 个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？ 解 3：因为年龄最大的与年龄最小的相差不到 1 岁，所以这 400 名学生出生的日期总数不会超过 366 天，把 400 名 学生看作 400 个苹果， 366 天看作是 366 个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由 “ 抽屉原则 2” 知 “ 无论怎么放这 400 个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有
22、2（ 400366 11 ， 1 1 2）个苹果 ” 。即：一定能找到 2 个学生，他们是同年同月同日出生的。 例 4：有红色、白色、黑色的筷子各 10 根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸，（ 1）你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？（ 2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？ 解 4：把 3 种颜色 的筷子当作 3 个抽屉。则： （ 1）根据 “ 抽屉原理 1” ，至少拿 4 根筷子，才能保证有 2 根同色筷子；（ 2）从最特殊的情况想起，假定 3 种颜色的筷子各拿了 3 根，也就是在 3 个 “ 抽屉 ” 里各拿了 3根筷子，不管在哪个 “ 抽屉 ” 里再拿
23、1根筷子，就有 4 根筷子是同色的，所以一次至少应拿出 33 1 10（根）筷子，就能保证有 4 根筷子同色。 例 5. 证明在任意的 37 人中，至少有 4 人的属相相同。 解 5：将 37 人看作 37 个苹果， 12 个属相看作是 12 个抽屉，由 “ 抽屉原理 2” 知， “ 无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有 4 个苹果 ” 。即在 任意的 37 人中，至少有 4（ 3712 31 ， 3 1 4）人属相相同。 例 6：某班有个小书架， 40 个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有 1个同学能借到 2 本或 2 本以上的书？ 分析：从问题 “ 有 1
24、 个同学能借到 2 本或 2 本以上的书 ” 我们想到，此话对应于 “ 有一个抽屉里面有 2个或 2 个以上的苹果 ” 。所以我们应将 40 个同学看作 40 个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。 解 6：将 40 个同学看作 40 个抽屉，书看作是苹果，由 “ 抽屉原理 1” 知：要保证有一个抽 屉中至少有 2个苹果，苹果数应至少为 40 1 41（个）。即：小书架上至少要有 41 本书。 下面我们来看两道国考真题： 例 7：（国家公务员考试 2004 年 B 类第 48 题的珠子问题）： 有红、黄、蓝、白珠子各 10 粒，装在一个袋子里，为了保证
25、摸出的珠子有两颗颜色 相同，应至少摸出几粒？（ ） 行测数学运算经典题型总结 9 A 3 B 4 C 5 D 6 解 7：把珠子当成 “ 苹果 ” ，一共有 10 个，则珠子的颜色可以当作 “ 抽屉 ” ，为保证 摸出的珠子有 2 颗颜色一样，我们假设每次摸出的分别都放在不同的 “ 抽屉 ” 里，摸了 4 个颜色不同的珠子之后，所 有 “ 抽屉 ” 里都各有一个，这时候再任意摸 1 个，则一定有 一个 “ 抽屉 ” 有 2 颗，也就是有 2 颗珠子颜色一样。答案选 C。 例 8：（国家公务员考试 2007 年第 49 题的扑克牌问题）： 从一副完整的扑克牌中，至少抽出（ ）张牌，才能保证至少
26、6 张牌的花色相同？ A 21 B 22 C 23 D 24 解 8：完整的扑克牌有 54 张，看成 54 个 “ 苹果 ” ，抽屉就是 6 个（黑桃、红桃、梅花、方块、大王、小王），为保证有 6 张花色一样，我们假设现在前 4 个 “ 抽屉 ” 里各放了 5 张，后两个 “ 抽屉 ” 里各放了 1张，这时候再任意抽取 1 张牌，那么 前 4 个 “ 抽屉 ” 里必然有 1 个 “ 抽屉 ” 里有 6张花色一样。答案选 C。 归纳小结：解抽屉问题，最关键的是要找到谁为 “ 苹果 ” ，谁为 “ 抽屉 ” ，再结合两个原理进行相应分析。可以看出来，并不是每一个类似问题的 “ 抽屉 ” 都很明显，
27、有时候 “ 抽屉 ” 需要我们构造，这个 “ 抽屉 ”可以是日期、扑克牌、考试分数、年龄、书架等等变化的量，但是整体的出题模式不会超出这个范围。 行测数学运算经典题型总结 10 八 “牛吃草”问题 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃 的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 这类问题的基本数量关系是： 1（牛的头数 吃草较多的天数牛头数 吃草较少的天数） （吃的较多的天数吃的较少的天数） =草地每天新长草的
28、量。 2牛的头数 吃草天数每天新长量 吃草天数 =草地原有的草。 下面来看几道典型试题： 例 1 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或供16 头牛吃 6 天。那么可供 11 头牛吃几天？（ ） A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】 C。 解析：设每头牛每天吃 1 份草，则牧场上的草每天减少（ 205 166 ） （ 6 5） =4 份草，原来牧场上有 205+54=120 份草，故可供 11 头牛吃 120 （ 11+4） =8 天。 例 2 有一片牧场， 24 头牛 6 天可以将草吃完； 21 头牛 8 天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】 C。 解析：设每头牛每天吃 1 份草，则牧场上 的草每天生长出（ 218 246 ） （ 8 6） =12 份，如果放牧12 头牛正好可吃完每天长出的草，故至多可以放牧 12 头牛。 例 3 有一个水池，池底有一个打开的出水口。用 5 台抽水机 20 小时可将水抽完，用 8 台抽水机 15 小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？（ ） A.25 B.30 C.40 D.45
