1、 第 1 页 共 20 页 三角函数的图象与性质 一、知识网络 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （ 1）基本函数的奇偶性 奇函数： y sinx， y tanx； 偶函数： y cosx. （ 2） 型三角函数的奇偶性 （ ） g（ x） （ x R） g（ x）为偶函数 由此得 ； 同理， 为奇函数 . （ ） 为偶函数 ； 为奇函数第 2 页 共 20 页 . 3、周期性 （ 1）基本公式 （ ）基本三角函数的周期 y sinx， y cosx 的周期为 ； y tanx， ycotx 的周期为 . （ ） 型三角函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . （
2、 2）认知 （ ） 型函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . （ ） 的周期 的周期为 ； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 y 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变 .注意这一点与（ ）的区别 . （ ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于 “ 最小公倍数法 ”. （ ）探求其它 “ 杂 ” 三角函数的周期，基本策略是试验 猜想 证明 . （ 3）特殊情形研究 （ ） y tanx cotx 的最小正周期为 ； （ ） 的最小正周期为 ； 第 3 页 共 20 页 （ ） y sin4x cos4x 的最小正周期为 . 由此领悟 “ 最小公倍数法 ” 的适用类型，以防
3、施错对象 . 4、单调性 （ 1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证 “ 三部曲 ” ： 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减 区间）； 获通解：在 中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述 “ 三部曲 ” 也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 . （ 2） y 型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求 “ 三部曲 ” 为 换元、分解：令
4、u ，将所给函数分解为内、外两层： y f（ u）， u ； 套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f（ u）的单调性，而后利用（ 1）中公式写出关于 u 的不等式； 还原、结论：将 u 代入 中 u 的不等式，解出 x 的取值范围，并用集合或区间形成结论 . （二）三角函数的图象 1、对称轴与对称中心 （ 1）基本三角函数图象的对称性 （ ） 正弦曲线 y sinx 的对称轴为 ； 正弦曲线 y sinx 的对称中心为（ ， 0） . （ ） 余弦曲线 y cosx 的对称轴为 ； 余弦曲线 y cosx 的对称中心 （ ）正切曲线 y tanx 的对称中心为 ； 正切曲线 y ta
5、nx 无对称轴 . 认知： 两弦函数的共性 ： x 为两弦函数 f（ x）对称轴 为最大值或最小值；（ ， 0）为两弦函数 f（ x）第 4 页 共 20 页 对称中心 0. 正切函数的个性： （ ， 0）为正切函数 f（ x）的对称中心 0 或 不存在 . （ 2） 型三角函数的对称性（服从上述认知） （ ）对于 g（ x） 或 g（ x） 的图象 x 为 g（ x）对称轴 为最值（最大值或最小值）；（ ， 0）为两弦函数 g（ x）对称中心 0. （ ）对于 g（ x） 的图象（ ， 0）为两弦函数 g（ x）的对称中心 0 或 不存在 . 2、基本 变换 （ 1）对称变换 （ 2）振幅变
6、换（纵向伸缩）（ 3）周期变换（横向伸缩）（ 4）相位变换（左右平移）（ 5）上、下平移 3、 y 的图象 （ 1）五点作图法 （ 2）对于 A， T， ， 的认知与寻求： A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离； 2A：图像上最高点与最低点在 y 轴上投影 间的距离 . ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离 . ： 由 T 得出 . ： 解法一：运用 “ 代点法 ” 求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与 x 轴交点坐标代入函数式求 ，则须注意检验，以防所得 值为增根； 解法二：逆用 “ 五点作图法 ” 的过程（参见经典例
7、题） . 四、经典例题 例 1、 求下列函数的值域： （ 1） （ 2） （ 3） 第 5 页 共 20 页 （ 4） （ 5） （ 6） 分析： 对于形如（ 1）（ 2）（ 3）的函数求值域，基本策略是（ ）化归为 的值域；（ ）转化为 sinx（或 cosx） 的二次函数；对于（ 4）（ 5）（ 6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ ）在适当的条件下考察 y2；（ ）转化为分段函数来处理；（ ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化 . 解： （ 1） ， 即所求函数的值域为 . （ 2）由 注意到这里 x R， ， 所求函数的值域为 1， 1. （ 3）这里 令 sinx c
8、osx t 则有且由 于是有 第 6 页 共 20 页 因此，所求函数的值域为 . （ 4）注意到这里 y0，且 即所求函数的值域为 . （ 5）注意到所给函数为偶函数，又当 此时 同理，当 亦有 . 所求函数的值域为 . （ 6）令 则易见 f（ x）为偶函数，且 是 f（ x）的一个正周期 . 只需求出 f（ x）在一个周期上的取值范围 . 当 x 0， 时， 又注意到 ， x 为 f（ x）图象的一条对称轴 只需求出 f（ x）在 0， 上的最大值 . 而在 0， 上， 递增 . 亦递增 由 得 f（ x）在 0， 上单调递增 . 即 于是由 、 、 得所求函数的值域为 . 点评： 解（
9、 1）（ 2）运用的是基本化归方法；解（ 3）运用的是求解关于 sinx cosx与 sinxcosx 的函数值域的特定方法；解（ 4）借助平方转化；解（ 5）（ 6）则是利用函数性第 7 页 共 20 页 质化繁为简，化暗为明 .这一点在解（ 6）时表现得淋漓尽致 . 例 2、 求下列函数的周期： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） 分析： 与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 k 的 形式，而后运用已知公式 .对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理 . 解： （ 1） 所求最小正周期 . （ 2）
10、所求周期 . （ 3） .注意到 的最小正周期为 ，故所求函数的周期为 . （ 4） 注意到 3sinx 及 -sinx 的周期为 2 ，又 sinx0（或 sinx0）个单位，所得的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值为 。 （ 5）对于函数 ，给出四个论断： 它的图象关于直线 x 对称； 它的图象关于点（ ,0）对称； 它的周期为 ； 它在区间 ， 0上单调递增 . 第 10 页 共 20 页 以其中的两个论断作为条件 ,余下的两个论断作为结论 ,写出你认为正确的命题 ,它是 。 分析： （ 1）这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 应填 （ 2）由 f（ x）递增得 易见， 由 f（ x）递减得 当 k 0 时， 注意到 而不会属于其它减区间， 故知这里 a 的最大值为 . （ 3）（ ）令 所给函数图象的对称中心为（ ， 0） ； （ ） 解法一（直接寻求） 在 中令 则有
