1、 边坡稳定分析常用方法安全系数的讨论 摘要： 不同边坡稳定分析方法中定义安全系数各不相同。探讨了常用的四种边坡稳定分析方法的安全系数的定义，对比了极限平衡法、有限元强度折减法、矢量和法及有限元极限平衡法安全系数的物理意义及其表达式。认为采用强度折减法安全系数塑性区贯通判别准则可能出现结果的不稳定性，建议采用有限元极限平衡法计算边坡稳定安全系数。 关键字： 边坡稳定分析方法；安全系数；强度折减法；矢量和法；有限元极限平衡法 0 引言 边坡稳定分析作为土工结构稳定分析中的最重要的组成部分 ,常用的方法包括刚体 极限平衡法，有限元强度折减法、有限元极限平衡法等。这些方法最终都是通过计算各自定义的安全
2、系数，从而评价边坡的稳定性。虽然在某些条件下采用不同的定义得到安全系数的值很接近，但是在不同的分析问题与分析方法中人们定义安全系数的意义各不相同。 Duncan 在 1996年边坡稳定分析 25 年中总结了基于应力概念上安全系数的普遍定义 1。史恒通 2对 7种土坡安全系数定义进行了对比，指出土坡有限元分析宜采用积分形式的安全系数及强度折安全系数。郑宏 4讨论了极限平衡法与有限元法中 3 种安全系数之间的关系，建议有限元计算采用强 度折减安全系数进行分析。郑颖人 5在研究边坡工程设计中滑坡推力设计值的问题中详细分析了强度储备安全系数、超载储备安全系数、下滑力超载安全系数的定义。并且认为传统的计
3、算方法采用目前国际上使用的强度储备安全系数是较合理的，并提出大坝水位升高超载导致坝基失稳这类情况下采用超载储备安全系数更符合设计情况。葛修润等 6总结了基于实际超载安全系数与有限元分析的强度折减安全系数，并提出了矢量和法及其安全系数的定义。学者与工程师乐于在进行稳定分析时，根据设计规范、工程应用实例以及各自采用的不同方法来选取安全系数，未免造 成一些不必要的争议。本文对目前比较最常用的 4种形式的安全系数的定义进行了探讨，对各种安全系数的应用范围及差距进行对比研究。 1 边坡稳定分析及安全系数综述 1.1 刚体极限平衡法安全系数 刚体极限平衡法是土坡稳定分析最经典的一类方法。其中最常用的整体圆
4、弧滑动法是瑞典的彼得森在 1915 年提出。他 将滑动面以上的土里视为刚体，不考虑土体的应力应变关系， 通过对实际土坡滑坡案例的滑动面总结，发现滑动面基本为圆弧面。从而根据极限平衡条件下的受力情况，以整个滑动面上的平均抗剪强度与平均剪应力之比来定义安全系数 1, 3，即 Ks f （ 1） 并且，一般情况下采用摩尔 -库伦强度理论，抗剪强度表达式为： f c tan （ 2） 上述安全系数的基本表达式也在 1996 年 Duncan 关于边坡稳定分析 25 年的总结中出 1。这是极限平衡法的安全系数的基础定义，物理意义明确，反映了坡体滑动的物理本质。但是如果内摩擦角 不等于 0，由于法相应力
5、是沿着滑动面不断改变的，那么滑动面上的不同 点的抗剪强度就不是常量。因此，无法直接求出整个滑动面的平均抗剪 强度 f 。为了解决 整体圆弧法的一些缺陷，出现了各种形式极平衡条分法，这类方法将滑动面上的土体 成若干垂直或者倾斜土条，以摩尔 -库伦强度准则为基础，仅考虑析土体在破坏那一刻的平衡，建立土条的平衡方程，求解安全系数。由于在大多数情况下是静不定问题，因此需要引用条间力相关假 设，采用力或者力矩平衡方程，得到安全系数的表达式。表 2.1 中列举了常用的极限平衡条分法及部分安全系数表达式及特征。 表 1 常用极限平衡条分法及部分安全系数表达式与特征 极限平衡条分法 瑞典条分法 简化 Bish
6、op 法 严格 Junbu 法 陆军工程师团法 Lowe-Karafiath （罗厄）法 Spencer 法 Morgensten-Price 法 安全系数计算式 ( ci li FNi tan i )Ks i1 n FWi sinin i1 n 1 ci bi ( FWi ui b i ) tan i m K i1 i s n FWi sini i1 （总应力表达式） n 1 ci bi ( FWi FVi ) tan i m K i1 i s n ( FWi FVi ) sin i i1 （总应力表达式） 简化假定 方法特征 假定条间无任 圆弧滑动面 何作用 力 满足力矩平衡 假定条块间只
7、 圆弧滑动面 有水平力作用 满足力矩平衡 假定条间作用 力的位置（在土 任意形状滑动面 条高度 1/3 处， 同时满足力与力 各土条则形成 矩平衡 作用线） 假定条间力倾 任意形状滑动面 角等于平均坝 满足力平衡 坡 假定条间力倾 角为土条顶部 任意形状滑动面 和底部倾角的 满足力平衡 平均值 假定条快间水 任意形状滑动面 平与垂直作用 同时满足力与力 力之比为常数 矩平衡 条间切向力和 法相力之比与 任 意形状滑动面 水平方向坐标 同时满足力与力 之间存在某一 矩平衡 函数关系 各类条分法中仅有瑞典条分法可以直接计算出安全系数，其他方法均需要通过迭代计算来实现。随着计算机技术的快速发展，我们
8、可以通过编 制计算程序来完成复杂的迭代过程。目前比较成熟的 加拿大 GEO-SLOPE 公司的边坡稳定分析软件 SLOPE/W 模块已经可以很好的解决了这些方法的计算问题。 1.2 强度折减法安全系数 有限元强度折减法最早是由 Zienkiewice6在 1975 年提出来的。 但是由于当时需要花费大 量的机时而在具体应用中受到限制，因此并没有受到重视。近年来，随着高速计算机以及通用有限元软件的发展，该方法得到了广泛应用。有限元强度折减法 7就是在弹塑性有限元分析中，逐步提高强度折减系数从而降低岩土体的抗剪强度，通过应力场、应变场或者位移场的某些特征（塑性应变和位移突变的地带）判断破坏滑动面，
9、同时得到最终的强度折减系数。其中，折减公式如下： c c / Kr ， tan tan / Kr （ 3） 所得的折减系数就是我们通常意义的是强度储备安全系数 Ks 。然而，强度储备安全系 数存在物理意义不明确 ，无法确定其他的潜在滑动面 8，需要反复迭代和计算量大的问题。并且，郑宏 9已经证明，在对强度参数进行折减的同时 ，内摩擦角 与泊松比 的取值还需满足 sin 1-2，才能得到合理的结果。 另外，在采用强度折减法进行边坡稳定分析过程中，通过不断增大折减系数 Kr 直至边坡发生破坏，因而需要判断边坡是否处于破坏状态。已有学者对各类破坏判据进行了研究总结 7,9-14，主要包括：（ 1）有
10、限元计算不收敛；（ 2）坡体或坡面位移突变；（ 3）潜在滑移面塑性区贯通；（ 4）综合判 据法 14（即先进行小变形有限元计算，以计算不收敛为边坡失稳判据，后进行大变形有限元计算，以位移突变为判据）。 1.3 矢量和法安全系数 “矢量和 ”的概念是由武汉岩土所葛修润 15,16院士提出来的。他认为，最经典抗滑稳定安全系数 K 的概念和定义应该是：坡体在受各种荷载 (包括自重 )作用条件下，潜在滑动面所能提供的极限抗滑力的 “总和 ”，与作用在潜在滑动面上滑动力的 “总和 ”之比。并提出了“矢量和法 ”安全系数计算法的的 5 项基础。由于总下滑力矢与总抗滑力矢均是都是矢量，无法通过代数除法得出比
11、值，必须进 行投影成为标量性质的代数和形式。因此，矢量和法安全系数定义为：总抗滑力矢和总下滑力矢在方向口上投影的比值 16。 Ks R( ) （ 4） T ( ) 式中，分别为条块抗滑力和下滑力在秒方向上的投影。 对于平面问题，葛修润院士还给出了 以及矢量和安全系数的表达式： arctan FYi arctan i li cosi （ 5） FXi i li sini (c i i f i ) cos( i ) i sin( i )lin K K ( ) i1 （ 6） s s n i cos( i ) i sin( i )li i1 如图 1 所示， FXi ， FYi 为潜在滑动面一点 i
12、 分别在 X， Y 轴上的分量； i 为点 i 处滑动面的切线与总体坐标系 x 轴正向的夹角，以与 x 轴逆时针方向旋转为正。（ 4）式中计算方向 为下滑力矢量和方向。但已有学者指出 可以考虑滑 合力矢方向、平均滑动方向、抗滑合力矢方向，但选择后两种方向更有利于滑动面搜索 17。 图 1 矢量和安全系数求解示意图 Fig 1 Chart for solving Ks 矢量和法及其安全系数的定义提出时间较短，但是以中科院武汉岩土所葛修润院士为主的国内学者进行了许多的工作 17-21，并且已经发展了三维边坡稳定分析矢量和法，说明了该方法的合理性和可靠性。矢量和法安全系数是以传统的极限平衡条分法为基
13、础，建立在应力分析和整体滑动趋势方向上的安全系数。由于不需要迭代计算 ，相较于传统的极限平衡法安全系数的各类公式有着明显的优势。因此，采用有限元计算边坡应力场结合矢量和法安全系数往往能得到比较可靠的结果。 1.4 有限元极限平衡法安全系数 有限元极限平衡法是基于弹塑性有限元分析，采用极限平衡条件进行稳定分析的方法。 Brown 和 King22早在 1966 年就采用了类似方法进行非线性弹性模型的边坡稳定分析。而后在 Nalyor23， Kulhawy， Fredlund24等人的总结和归纳下命名为 “enhanced limit strength method”， 即为本节介绍的边坡稳定的有
14、限元极限平衡法。它的基本思路是定义安全系数为沿整个滑裂面的抗剪强度与实际剪应力之比，假定初始滑裂面用优化方法搜索得到最危险滑裂面和最小抗滑稳定安全系数。 对于二维问题，安全系数定义 26为： n f il i dl K i 1 l f （ 7） n s l i li dl i1 其中， fi 为潜在滑动面上一点的抗剪强度； i 为潜在滑动面上的剪应力。 对于式（ 7）定义 的安全系数，不少学者认为其物理意义模糊不清： 它既非力在空间上的矢量和又非力在某一固定方向上的投影的代数和。然而，邵龙潭 25已经证明， 土体沿任意滑动面上达到极限平衡的充分必要条件为： l f dl 1 （ 8） l dl
15、 并且说明了对于正常工作的土工结构，在其任意一个曲面上的土体都不会达到极限平衡状态，因此在进行稳定分析时，可以计算土体沿最危险滑动面整体达到极限平衡状态的强度折减系数。若 Rl 为任意潜在滑动面上的任意一点的强度折减系数，那么土体沿曲面 l 整体 达到极限平衡充要条件是： l f dl l dl （ 9） R l 若 f 沿着滑动面不变号，根据积分中值定理，令 1 f l l l K R f dl dl dl （ 10） s l 则有如式（ 7）是给出的 Ks 表达式。 上述推导过程可以看出， Ks 是土体沿滑动面各点安全系数（函数）的中值，也是使土 体沿滑动面达到极限平衡的强度折减系数（函数
16、）的中值。所以可以认为 Ks 是整个滑动面 安全系数的一个均值，是沿滑动面土体整体达到极限平衡时的平均强度折减系数。但是在采用上述安全系数定义求解时，由于要求切向应力必须是 “同向 ”的，对于剪应力方向发生突变的情况该定义则是不适用，为此，文献 26中提出了分段法评价边坡的稳定性。 有限元极限平衡法以其安全系数充分发挥了有限元计算的优势，在国内外已经有广泛的应用。并且在文 25中已经指出定义安全系数时，并没有要求分析的问题是边坡或者必须是圆弧滑动面等一些限制， 因此可以推广到各种土工结构稳定分析中去。目前，邵龙潭、赵杰、刘士乙等25-29已将有限元极限平衡法及其安全系数的定义用于地基承载力验算
17、，土石坝体、 重力式挡土墙稳定分析，并且推广了三维有限元极限平衡法 30，证明了该方法的合理性和实用性。 2 算例 本节采用不同的分析方法及安全系数定义进行了稳定分析。其中，极限平衡法安全系数采用 Geo-slope 软件计算，分别选取了简化毕肖普法、严格 Junbu 法、 Morgensten-Price 法；有限元强度折减系数通过大型通用有限元软件 ABAQUS 实 现，分别采用有限元计算不收敛形式 31及塑性区贯通判别方式 32进行求解安全系数。矢量和法安全系数直接引用文献 17计算结果；有限元极限平衡法安全系数采用 ABAQUS 做有限元应力应变分析，采用自主研发的后处理软件程序计算安
18、全系数。 取通用 ACADS 考题中的 EXl(b)：土体容重 =20KN/m3，弹性模量 E=10MPa，泊松比=0.25， 土体采用理想弹塑性本构模型，基于非关联流动准则的 Mohr-Coulomb 匹配园 DP5 准则，粘聚力 c=32KPa，内摩擦角=10， 剪胀角 =0分析的模型左右 边界均用水平向约束，底面采用固定位移边界。裁判答案为 1.65 到 1.70 之间。 图 2 ACADS 考题 EX1(b)模型 Fig 2 Model of test problem EXI(b) of ACDAS(unit： m) 3 计算结果分析 各类方法计算所得到的安全系数如表 2 所示。根据裁
19、判答案评价误差：安全系数在 1.60 到 1.70 之间，认为误差为 0，小于 1.60 视为负误差，大于 1.70 视为正误差。从表中可以看出，本例，极限平衡 法安全系数虽然条间力假设及计算方式的不同，但是所得安全系数波动不大，偏差最大值在 0.05。矢量和法与有限元极限平衡法计算安全系数在裁判答案范围内，相对而言较准确。 根据塑性区贯通的失稳判据 , 经过不断地调整折减系数值所得到的临界强度折减系数为 F = 1. 708。如图 3 所示 此时边坡内坡角附近广义塑性应变随迭代步增加增长很快 , 而塑性区已贯通到坡顶 , 且塑性应变和位移都呈现急剧增长趋势 ,表明边坡已到失稳的临界状态。采用
20、计算不收敛判据时，所得的折减系数会相对较大。由于有限元计算不收敛可能是由于模型中 某些数值计算不收敛或者边坡处于不稳定状态，因此无确定此时的折减系数的真实性。 表 2 考题 EXl(b)稳定性分析结果 分析方法 计算方法 安全系数 与裁判答案误差 瑞典圆弧法 1.693 0 简化毕肖普法 1.736 3.6 极限平衡法 严格 Junbu 法 1.587 -1.3 Morgensten-Price 法 1.734（力矩） 3.4 1.727（力） 2.7 强度折减法 1 1.716 2.1 （有限元计算不收敛） 有 限元强度折减法 强度折减法 2 1.708 0.8 （塑性区贯通） 矢量和法 矢
21、量和法 1.658 0 有限元极限平衡法 1.688 0 图 3 塑性应变分布图 Fig 3 Distribution of plastic strain 4 结论 （ 1）传统的极限平衡法计算获得的安全系数简单明了。对于大多数简单土坡，采用刚体极限平衡法的安全系数定义足以满足工程需求，误差往往不到 10%，具有很强的 实用性。但是，由于土体视为刚体，需要假定滑动面，因而无法反映滑动面变化规律。 （ 2）有限元强度折减法考虑了土体的本构关系，能够获得比较真实的土体内部的应力应变场，确定潜在滑动面的大致位置，因而不需要事先假定破坏面的形状或位置，同时可以通过有限元计算直接得到强度储备安全系数。但
22、是由于没有统一的失稳判断准则，采用哪一个指标更合适，折减过程中内摩擦角目前尚无定论。如本文算例中采用塑性区贯通作为判别标准，安全系数难以精确确定。另外，将 c 和 按照等比例强度折减的合理性尚不完全清 楚。 （ 3）矢量和法是一种 比较新的边坡稳定分析方法，其安全系数基于力的矢量求和定义，相较于极限平衡法与有限元强度折减法物理意义更加明确。但是需要先求出切线角与下滑方向角，相对复杂，计算量大。 （ 4）有限元极限平衡法与强度折减法均考虑了土体的本构关系，其安全系数具有明确的物理意义，它表征着当边坡沿某一潜在滑动面整体达到极限平衡状态时土体抗剪强度折减系数的平均值，并且适用于任意滑动面。并且可以
23、解决有限元强度折减法无法搜索 “潜在滑动面 ”的缺陷。因此，建议采用有限元极限平衡法计算边坡稳定安全系数。 参考文献 1 Duncan， state of the art: Limit equilibrium and Finite Element analysis of slopesJ. Journal of Geotechnical Engineering， 1996， 122(7)： 557-595 2史恒通，王成华土坡有限元稳定 分析若干问题探讨 J.岩土力学， 2000,21（ 2）： 252-155 3赵成刚，白冰土力学原理（修订本） M.北京：清华大学出版社，北京交通大学 出版社，
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