1、 经典例题透析 类型一：复数 的有关概念 例 1已知复数 2 2276 ( 5 6 ) ( )1aaz a a i a Ra ，试求实数 a 分别取什么值时，z 分别为： （ 1）实数；（ 2）虚数；（ 3）纯虚数 . 思路点拨 ： 根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念， 判断实部与虚部取值情况 .利用它们的充要条件可分别求出相应的 a 值 . 解析： （ 1）当 z 为实数时， 有 225 6 010aaa 16 61aa aa 或 ， 当 6a 时， z 为实 数 . （ 2）当 z 为虚数时， 有 225 6 010aaa 16 161aa aaa 且 且， 当 a（， 1）（ 1，
2、 1）（ 1， 6）（ 6， +）时， z 为虚数 . （ 3）当 z 为纯虚数时， 有2225 6 07601aaaaa 166aa aa 且 不存在实数 a 使 z 为纯虚数 . 总结升华： 由于 a R，所以复数 z 的实部与虚部分为 22761aaa与 2 56aa. 求解第（ 1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解； 求解第（ 2）小题时，同样要注意实部有意义的问题； 求解第（ 3）小题时，既要考虑实数为 0（当然也要考虑分母不为 0），还需虚部不为 0，两者缺一不可 . 举一反三： 【变式 1】 设复数 z=a+bi（ a、 b R）
3、，则 z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ） A a=0 B a=0 且 b 0 C a 0 且 b=0 D a 0 且 b 0 【答案】 A； 由纯虚数概念可知： a=0 且 b 0 是复数 z=a+bi（ a、 b R）为纯虚数的充要条件 .而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 A. 【变式 2】 若复数 2( 3 2 ) ( 1)a a a i 是纯虚数，则实数 a 的值为 （ ） A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 【答案】 B； 2( 3 2) ( 1)a a a i 是纯虚数， 2 3 2 0aa 且 10a ，即 2a . 【变式 3】 如果复数 2(
4、)(1 )m i mi是实数，则实数 m=（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【答案】 B； 【变式 4】 求当 实数 m 取何值时，复数 22( 2 ) ( 3 2 )z m m m m i 分别 是 ： （ 1）实数； （ 2）虚数； （ 3）纯虚数 . 【答案】 （ 1）当 2 3 2 0mm 即 1m 或 2m 时， 复数 z 为实数； （ 2）当 2 3 2 0mm 即 1m 且 2m 时， 复数 z 为虚数； （ 3）当 023 0222mm mm即 1m 时， 复数 z 为纯虚数 . 类型二 ：复数的代数形式的四则运算 例 2. 计算： （ 1） ()ni n N ； (2)
5、 8(1 )i (3)(1 2 ) (1 2 )ii ; (4) i iii 43 42)1)(41( 解析： (1) 2 1i ， 32i i i i ， 4 2 2 1i i i ， 同理可得： 当 4 1 ( )n k k N 时， 4 1 4 4()k k ki i i i i i 当 4 2 ( )n k k N 时， 4 2 4 2 1kki i i ， 当 4 3 ( )n k k N 时， 4 3 4 3kki i i i 当 4 4 ( )n k k N 时 ， 4 4 4 4( ) 1k k ki i i i ， 411 4 2431 4 4ni n k k Nn k k
6、Nii n k k Nn k k N （ ， ）（ ， ）（ ， ）（ ， ）()nN (2) 8(1 )i 2 4 4 4 4 (1 ) ( 2 ) 2 1 6i i i (3)(1 2 ) (1 2 )ii 1212ii 2222( 1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 2 ) 4 3 4 3 4( 1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 2 ) 5 5 5i i i i i ii i i (4) i iii 43 42)1)(41( 1 4 3 2 434iii 227 (7 )(3 4 )3 4 3 4i i ii 2 1 4 3 2 8 2 5 2 5 1.2 5 2 5i i i i 总
7、结升华： 熟练运用常见结论 ： 1） ni 的“周期性”（ nN ） 2） 2(1 ) 2ii 3） 22( )( )a bi a bi a b 举一反三： 【变式 1】 计算： （ 1） (5 6i)+( 2 i) (3+4i) （ 2） (1 2 )(3 4 )(2 )i i i （ 3） 2 3 100i i i i （ 4） 3322(1 ) (1 )(1 ) (1 )ii ； 【答案】 （ 1） (5 6i)+( 2 i) (3+4i) =(5 2)+( 6 1)i (3+4i) =(3 7i) (3+4i) =(3 3)+( 7 4)i= 11i. （ 2） ( 1 2 ) ( 3
8、 4 ) ( 2 ) ( 1 1 2 ) ( 2 ) 2 4 7i i i i i i （ 3） 2 3 1 0 0 1 2 1 0 0 5 0 5 0 4 1 2 6 2 2 2( ) 1i i i i i i i i i （ 4） 3 3 2 222( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2 ( 2 ) 4i i i i i i i i i ii i i i i 2214ii【变式 2】 复数 221ii( ) A. 4 B.4 C. 4i D.4i 【答案】 A； 2 22 1 2 1 2 1 2 2
9、4 4i i i i i i i 【变式 3】 复数 133-ii等于 ( ) A. i B. -i C. 3 i D. 3-i 【答案】 A； 1 3 1 3 1-3 - - (1 3 )ii iii i i ， 故选 A 【变式 4】 复数 31()i i 等 于 ( ) A.8 B. 8 C.8i D. 8i 【答案】 D； 3 3 3 311( ) ( ) ( 2 ) 8 8i i i i iii . 类型三： 复数相等 的充要条件 例 3、 已知 x 是实数， y 是纯虚数，且满足 (2x 1)+(3 y)i=y i，求 x、 y. 思路点拨 ： 因 x R， y 是纯虚数，所以可设
10、 y=bi（ b R且 b 0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果 . 解析： y 是纯虚数，可设 y=bi（ b R，且 b 0）， 则 (2x 1)+(3 y)i (2x 1)+(3 bi )i（ 2x 1+b） +3i， y i =bi i=（ b 1） i 由 (2x 1)+(3 y)i=y i 得（ 2x 1+b） +3i=（ b 1） i， 由复数相等的充要条件得 42 1 0 313 2bxbb x ， 32x ， 4yi . 总结升华： 1. 复数定义：“形如 z a bi （ ,ab R ）的数叫复数”就意味凡是复 数都能写成这一形式 ，求一个复数，
11、使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实 ，把复数问题转化为实数问题来研究 .这 是解决复数问题的常用方法 . 2复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数 a+bi 与 c+di（ a， b， c， d R）相等的充要条件是 a=c 且 b=d，可得到两个实数等式 . 3.注意左式中的 3 y 并非是 (2x 1)+(3 y)i 的虚部，同样，在右边的 y i 中 y 也并非是实部 . 举一反三： 【变式 1】 设 x、 y 为实数，且 5 _1 - 1 - 2 1 - 3xy xyi i i ， 则 【答案】 由 51 - 1 - 2 1 - 3xyi i i得 5(1 ) (1
12、2 ) (1 3 )2 5 1 0xyi i i 即 5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)， 即 (5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0， 故 5 2 - 5 0 - 15 4 - 1 5 0 5x y xx y y , 解 得 4xy 【变式 2】 若 z C 且 (3+z)i=1(i 为虚数单位 )， 则 z=_. 【答案】 设 z=a+bi(a,b R)，则 (3+z)i=-b+(3+a)i=1 由 复数相等的充要条件得 b=-1 且 a=-3， 即 z=-3-i. 【变式 3】 设复数 z 满足 1 2i iz ，则 z （ ） A 2i B 2i C 2i D 2
13、i 【答案】 1 2 (1 2 ) 2 211i i i izii ，故选 C. 类型 四 ： 共轭复数 例 4：求证：复数 z 为实数的充要条件是 zz 思路点拨 ： 需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念 解析： 设 z a bi （ a， b R），则 z a bi 充分性 ： - - 0 ;z z a b i a b i b b b z R 必要性 ： , 0 -z R b a b i a b i z z 综上，复数 z 为 实数的充要条件为 zz 举一反三： 【变式 1】 ,xy R ，复数 (3 2 ) 5x y xi与复数 ( 2) 18yi的 共轭复数相等，求 x，y.
14、【答案】 ( 2 ) 1 8 1 8 ( 2 )y i y i 3 2 1 8 - 21 8 - ( - 2 ) ( 3 2 ) 5 2 - 5 1 2x y xy i x y x i y x y 【变式 2】 若复数 z 同时满足 2z z i ， z iz （ i 为虚数单位），则 z=_. 【答案】 1+i 【变式 3】 已知复数 z=1+i，求实数 a、 b 使 22 ( 2 )az bz a z . 【答案】 z=1+i， 2 ( 2 ) ( 2 )a z b z a b a b i ， 22( 2 ) ( 2 ) 4 4 ( 2 )a z a a i 2( 4 ) 4 ( 2 )a
15、 a a i a、 b 都是实数，由 22 ( 2 )az bz a z 得 22 4 ,2 4( 2).a b a aa b a 两式相加，整理得 a2+6a+8=0 解得 a1= 2， a2= 4， 对应得 b1= 1， b2=2. 所求实数为 a= 2， b= 1 或 a= 4， b=2. 类型 五 ： 复数 的模的概念 例 5、 已知数 z 满足 z+|z|=2+8i，求复数 z. 法一： 设 z=a+bi（ a， b R），则 22|z a b， 代入方程得 22 28a bi a b i . 22 28a a bb ，解得 158ab z= 15+8i 法 二： 原式可化为： z=
16、2 |z|+8i， |z| R， 2 |z|是 z 的实部 . 于是 22| | (2 | |) 8zz ，即 |z|2=68 4|z|+|z|2， |z|=17，代入 z=2-|z|+8i 得 z= 15+8i. 举一反三： 【变式】 已知 z=1+i， a， b 为实数 . （ 1）若 2 34zz ，求 | ； （ 2）若 22 11z az b izz，求 a， b 的值 . 【答案】 （ 1） 2(1 ) 3 (1 ) 4ii 2 3 4 1i i i | | 2 （ 2） 22(1 ) (1 )1 (1 ) (1 ) 1z a z b i i a bz z i i ( 2 ) (
17、2 ) ( )a i b a a b a ii ( 2 ) ( ) 1a a b i i 2 1 112aaa b b 类型 六 ： 复数的几何意义 例 6、已知 复数 22( 2 3 ) ( 4 3 )z m m m m i （ m R）在复 平面上对应的点 为 Z，求实数 m 取什么值时 ，点 Z（ 1）在实轴上 ；（ 2） 在 虚轴上 ；（ 3） 在 第一象限 . 思路点拨 ： 根据 点 Z的位置确定复数 z实部与虚部取值情况 . 解析： （ 1）点 Z 在实轴上，即 复数 z 为实数， 由 2 - 4 3 0 3 1m m m m 或 当 31mm或 时，点 Z 在实轴上 . （ 2）
18、点 Z 在虚轴上，即 复数 z 为纯虚数或 0， 故 2 2 3 0mm -1 3mm 或 当 -1 3mm或 时，点 Z 在虚轴上 . 3）点 Z 在第一象限，即 复数 z 的 实部虚部均大于 0 由 222 3 04 3 0mmmm ， 解得 m 1 或 m 3 当 m 1 或 m 3 时， 点 Z 在第一象限 . 终结升华 ： 复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征 . 举一反三： 【变式 1】 在 复 平面内， 复数 sin 2 cos 2zi 对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 22 ， sin2 0 ， c
19、os2 0 ，故相应的点在 第四象限 ，选 D. 【变式 2】 已知复数 2( 3 5 2 ) ( 1 )z m m m i (mR )，若 z 所对应的点在第四象限，求 m 的取值范围 . 【答案】 2( 3 5 2 ) ( 1 )z m m m i 0)1( 0253 2m mm ， 解得 1m . m 的取值范围为 (1, )m . 【变式 3】 已知 z 是复数， 2zi 和izz均为实数，且复数 2()z ai 对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围 . 【答案】 设 z x yi ( ,xy R )， 2 ( 2 )z i z x y i ， 由题意得 2y ， 2 1 1 1
20、( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 4 )2 2 5 5 5z x i x i i x x iii ， 由题意得 4x ， 42zi 22( ) (1 2 4 ) 8 ( 2 )z a i a a a i ， 根据已知条件有 212 4 08( 2) 0aaa ，解得 26a， 实数 a 的取值范围是 (2,6)a . 【变式 4】 已知复数 z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数 1z z 在复平面上对应的点的轨迹方程 . 【答案】 设 z=a+ai（ a 0） 则 1 1 1 1( ) ( )22z a a i a a iz a a i a a 令1212xaayaa ，消 a 得 x2 y2=2（ 2x ） .
