1、大物上册第三章习题答案 习题 3-1 在下列几种情况中，机械能守恒的系统是： （ 1）当物体在空气中下落时，以物体和地球为系统 。 （ 2）当地球表面物体匀速上升时，以物体和地球为系统（不计空气阻力） 。 （ 3）子弹水平射入放在光滑水平桌面上的木块内，以子弹和木块为系统 。 （ 4）当一球沿光滑的固定斜面向下滑动时，以小球和地球为系统 。 答案： (1) 机械能 不守恒，因为并没有说忽略 空气 阻力 的作用， 而空气阻力 为非保守力 ; （ 2） 物体匀速上升，一定有合外力克服重力做功，所以 机械能 不 守恒 ; （ 3）机械能不守恒，子弹射入木块 时 ， 受到的摩擦力为非保守力 ; （ 4
2、）机械能守恒 . 3-2 质量为 2m kg 的物体沿 x 轴做直线运动，所受合外力210 6 ( )F x SI 。 如果在 00x 处时的速度 00v ，试求该物体运动到 0 4xm 处时速度的大小 。 解： 根据动能定理可 得 22 01122tA F d x m v m v 初始条件为 00x ， 00v ，代入求解得 4 42300 1 0 6 1 0 2 1 6 8x d x x x （ ）tv 2 1 6 8 / 2 1 2 .9 6 m /s 3-3 倔强系数为 k 、原长为 l 的弹簧，一端固定在圆周上的A 点，圆周的半径 Rl ，弹簧的另一端从距 A 点 2l 的 B 点沿
3、圆周移动 41 周长到 C 点，如附图所示 。 求弹性力在此过程中所做的功 。 解： 弹簧的弹性力为保守力，整个过程中，只有弹性力做功，所以机械能守恒。 222222A ( )112211222211 2 2 2 1221p C p B p B p CBCE E E Ek x k xk l l k l lklkl 弹3-4 在光滑的水平桌面上，平放有如附图所示 的固定半圆形屏障 。 质量为 m 的滑块以初速度 0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为 。 证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所做的功为 2201 ( 1 )2A m v e 。 分析：求解摩擦力做功的 定理 只有动能
4、 定理和 功能 原理，即 21kk21A E EA A E E 外外 非 保 内对运动过程进行 受力分析 可知， 滑块受重力 、桌面对其的 支v0 m 习题 3-4 图 持力， 这两个力在运动中不做功。滑块还受屏障对其支持力N（方向始终指向屏障的圆心）以及与屏障之间的摩擦力（摩擦力方向始终与速度 v 方向相反）。 根据 功能原理 ，在 滑块 和固定的屏障（相当于地球）构成系统中，该系统不受外力，而两者之间的摩擦力为 非保守内力 ，所以 22010 ( ) 02kpftA A E EA m v v 外 力 非 保 守 内 力或者根据 动能定理 可知，对于滑 块而言 只有摩擦力做功， 屏障对其支持
5、力 N 不做功 ，则 2201122ftA m v m v 即该题就是要 求 解 2v 和 1v 。 因为运动轨迹为半圆，考虑用自然坐标系及角量 。 摩擦力 方向始终与速度方向相反，为 td v d v d sf m a m md t d s d td v d s d vm m vR d d t R d 其中 为滑块在运动过程中的角位移。 支持力 N 为 2nvN m a mR ， 所以 2v d vf N m m vR R d 滑块刚进入屏障时角位移为 0，从另一端滑出屏障时的角位移为 ，则计算可知 00001tvvttd dvvvevv v e在整个过程中，只有摩擦力做功，则 )1(212
6、121A 220202 emvmvmv ff 3-5 设 (7 6 )F i j N合 。 1) 当一质点从原点 运动到( 3 4 1 6 )r i j k m 时，求 F 所做的功 。 (2)如果质点到 r 处时需 0.6s，试求平均功率 。 （ 3）如果质点的质量为 1kg，试求动能的变化 。 解： A 7 6 3 4 1621 24 45F r i j i j kJ 合 （ 2） WtAP 756.045 （ 3） JAE k 45 3-6 （ 1）试计算月球和地球对 质量为 m 的物体的 引力相抵消的一点 P，距月球表面的距离是多少？地球质量 5.982410 kg,地球中心到月球中心
7、的距离 3.84 810 m,月球质量7.35 2210 kg,月球半径 1.74 610 m。 （ 2） 如果一个 1kg 的物体在距地球和月球均为无限远处的 是能为零，那么它在 P 点的势能为多少？ 解： （ 1） 设 p 点距离 月球表面 为 xm，则 22rG m M G m Mdx x 地 球 月 球月 球， 解得 mx 7106 7 5 7.3 （ 2） 622 1 . 2 8 1 0rpMME G G Jdx x 地 球 月 球月 球（ 本题书后答案 少一个负号 ） 3-7 一物体在介质中按规律 3ctx 做直线运动， c 为一常量 .设介质对物体的阻力正比于速度的平方 。 试求
8、物体由 00x 运动到 lx 时，阻力所做的功（已知阻力系数为 k ） 。 解： 200llfA f d x k v d x , 3 2() 3d x d c tv c td t d t 1 2 4 2 72 2 2 23 3 3 3 30 0 027( 3 ) ( 3 ( ( ) ) ) 9 7l l lfxA k c t d x k c d x k c x d x k c lc 3-8 以质量为 m 的地球卫星，沿半径 为 ER3 的圆轨道运动，ER 为地球的半径 。 已知地球的质量为 Em 。 求： （ 1）卫星的动能； （ 2）卫星的引力势能； （ 3）卫星的机械能 。 解：卫星与地球
9、之间的万有引力提供卫星做圆周运动，则 （ 1） 22G 33EEEmm vmRR 2126 EEG m mE m vR （ 2）取卫星与地球相距无限远时 为 0 势能 点，则 卫星的引力势能为 E 3 EpEG m mR（ 3）卫星的机械能为 EEmG6 3 6 REEkpG m m G m m mE E ERR 3-9 质量为 002.0m kg 的弹丸，其出口速率为 300m/s，设弹丸在枪筒中 前进所受到的合力 9/8 0 04 0 0 xF 。 开枪时，子弹在 0x 处，试求枪筒的长度。 解：设枪筒长为 L，在子弹运动出枪筒的过程中只有合力 F做功。 由动能定理可知： 2201122t
10、A m v m v 201F 0 . 0 0 2 3 0 0 02L dx 2 002208 0 0 14 0 0 8 0 0 / 9 4 0 0 |928 0 0 1 4 0 04 0 0 | 4 0 0 9 09 2 9L LLx d x x xx x L L 212400 360 81 00.45LLL L m 3-10 一质量为 1m 与另一质量为 2m 的质点间有万有引力作用 。 试求使两质点间的距离由 1x 增加到 dxx 1 时所需要做的功 。 解：万有引力使两物体相互吸引，若两物体之间距离增加，则万有引力做负功，外力做正功。 11122xdxG m mA A F d r d x
11、x 外 力 万 有 引 力 1 2 1 21 1 1 111 G dGm m m mx d x x x d 3-11 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2rkf ， k 为常数 .若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为 r 时的势能 。 解：排斥力只与两粒子之间的相对位置有关，所以为保守力。 则 2 |0Prrrk k k kE f d r d rr r r r （ 本题书后答案错误 ） 3-12 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近 似写成612)( xbxaxE P ，式中 a 、 b 为常数， x 为原子间距，两原子的势能曲线如附图所示 . （ 1） x 为何值时
12、0)( xEP ？ x 为何值时 )(xEP 为极小值？ （ 2）试确定两原子间的作用力 . 解：（ 1） 1 2 6 0pabEx xx ，解得 1612axxb pEx 为极小值时 ， 13 71 2 6 0pd E x abd x x x 解得 1x 或 1 3 7 622bbx x xaa 161 3 7 6 622222b b a ax x x x xa a b b (2) 设两原子之间的作用力为 fx 1 3 71 2 6pp d E x abf x E x d x x x 3-13 一 个质子在一个大原子核附近的势能曲线如附图所示 . 若在 0rr 处释放质子，问： （ 1）在离大原子核很远的地方，质子的速率为多大？ （ 2）如果在 02rr 处释放 质子呢？ 解 ：（ 1） 由图可见， 当 0r 时， pE ， 当 r 时， 0pE 。将质子和原子核看作一个系统（忽略二者的重力 ）。在原子
