1、 第 1 页 共 4 页 格致中学 2016 学年度第一学期期中考试高三数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 道小题，每 小 题 4 分，满分 48 分。把 答案直接 填写在答题纸 的相应位置上 ） 1、 设 xR ，则不等式 2 1 3x 的解集为 . 2、 设 3413iz i ，其中 i 是虚数单位，则 z . 3、 圆锥的 底面半径为 1，母线与底面所成角为，则此圆锥的全面积等于 . 4、 已知关于 x 的方程 1a x x 有两个不相等的实根，则实数 a 的取值范围为 . 5、 无穷数列 na 由 k 个不同的正数组成， nT 为数列 na 的前 n 项的积，即 12nnT a a
2、 a ，若对于任意的 *, 2,3nn N T，则 k 的最大值为 . 6、 已知圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限且与 x 轴和直线 3 4 0xy都相切，则圆 C 的方程为 . 7、 设 18 2 1 80 1 2 1 812x a a x a x a x ，从 0 1 2 18, , , ,a a a a 中任取两数 ,ija a i j则 0ijaa的概率等于 （用数值作答） 8、 函数 2 sin 1, ,2f x x x 的反函数 1fx . 9、 已知点 MN、 是区域 10505 5 0xyxyxy 内的任意点， 2,0P ， 则 PMPN 的取值范围为 . 10、 如图，
3、ABC 中， 45CAD ， D 是边 AB 上一点，若 CDB 是边长为 2 的正三角形，则 AC AB . 11、 如图，等腰直角三角形 ABC 的斜边 4BC ， PQ、 分别 是边 AB AC、 上的动点，且 /PQ BC ， D 是 BC 的中点， AD 与 PQ 交点为 E ，将三角形 APQ 沿 PQ 折起，使 AE ED ，若 折起后 AB 的长为 d ，则 d 的最小值等于 . 12、 我 们知 道， n 个 正 数 的 算术 平均 数 不小 于 它们 的几 何 平均 数 ，即 若 *12, , , na a a R ，则 *12 12 ,2n na a a a a a n
4、N nn ，当且仅 2 na a a 当时等号成立，我们可以利用此定理来求相关函数成代数式的最值问题。例如，求函数 2 2 , 0,f x x x x 的最小值，就可以这样来解：因为 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 1f x x x x x x x ，当 2 1x ，即 1x 时等号成立，所以此函数的最小值为 -1，仿此方法，函数 22 3 , 0,g x x x x 的最小值为 AB CDP QEA BDC第 2 页 共 4 页 二、选择题（本大题共 6 小 题， 每小题 4 分， 满分 24 分），每 小 题 所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位
5、置上。 13、 已知 AB、 是非空集合，且 AB ，则“ xA ”是“ xB ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 14、 函数 3sin 23f x x 的图像可以看作是函数 3sin2g x x 的图像 A. 向左平移3而得 B. 向右平移3而得 C. 向左平移6而得 D. 向右平移6而得 15、 对于函数 2 1f x ax ax ，若存在 12,x x R 使得 120f x f x成立，则实数 a 的取值范围为 A. 4a 或 0a B.04a C. 0a 或 4a D. 40a 16、 参数方程 2234032xt ty
6、t 所表示的曲线是， A. 双曲线一支 B. 一段圆弧 C. 一条线段 D. 一条直线 17、如图所示电路中，开关 A B C、 、 断开的概率分 别是 0.3、 0.2、 0.1，且开关 A B C、 、 断开是互相独 立的，则此电路 的概率为 A. 0.49 B. 0.68 C. 0.504 D. 0.686 18、已知数列 na 是首项为 a ，公差为 0d ad 的等差数列，则前 n 项和为 nS ；数列 nb 满足11nnnb aa ，nb 的前 n 项和为 nT ，则下列条件中可能使得 2lim lim2n nnnS Tnn 成立的条件为 A. 2016,0 1ad B. 2016
7、,1 2ad C. 0, 2016ad D. 0, 2016ad 三、解答题（本大题满分 78 分） 本大题 共 有 5 题， 解答下列各题必须写出必要的步骤，每题解题过程写在该题的答题框内，否则 不计分 . 19、（本题 有两小题，第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 7 分，满分 14 分 ） 如图：三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 2AB AC AA , 11A A B A A C C A B （ 1） 当 90时，求异面直线 1AB 与 1BC 所成角大小； （ 2） 当 60时，求三棱柱 1 1 1ABC ABC 的体积 . 20、（本题 有两小题，第（ 1）小题 6 分
8、，第（ 2）小题 8 分，满分 14 分 ） 复数 z a bi （ ,ab R ， i 是虚数单位）称为复数的代数形式，令 0z r r，则复数 z 又可以表示为A BC1C1B1A第 3 页 共 4 页 cos sinz r i，其中 cos ,sinabrr，结合三角比的定义可以看出 是以是实轴为始边，终边过复数 z 对应点的角，我们把称 之为复数 z 的辅角，当 0,2 时， 称为复数 z 的辅角主值（如图）， cos sinz r i称为复数的三角形式，根据上面描述，解答下列问题： （ 1） 若 1 1 1 1 2 2 2 2c o s s in , c o s s inz r i
9、z r i ，求证： 1 2 1 2 1 2 1 2c o s s inz z r r i （ 2） 若 1 cot2zi ，求复数 z 的辅角主值（用含 的式子表示） 21、（本题 有两小题，第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 7 分，满分 14 分 ） 有一块铁皮零件，它是由边长为 80cm 的正方形截去一个三角形 ABF 后所得的五边形 ABCDE ，其中24 , 20AF cm BE cm，（如图所示），现 在需要在这块铁皮上截取一块矩形 DMPN ，使得矩形相邻 两边分别在 CD 与 DE 上， 另一顶点 P 在边 CB （ P 与 C 点 不重合）或 BA 上，设 DM x c
10、m ，矩形 DMPN 的，面积 为 2ycm （ 1） 写出 y 关于 x 的函数关系式； （ 2） 试问如何截取（即 x 为何值时），可使矩形 DMPN 的面积最大？最大面积是多少？ 22、 （本题 有 3 小题，第（ 1）小题 5 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 7分，满分 18分 ） 椭圆 2 22 11x yaa 的左、右焦点分别为 12FF、 ，直线 l 过 1F 与椭圆交于 AB、 两点 （ 1） 若 l 的倾斜角为2， 2ABF 是正三角形，求 a 的值； （ 2） 设 2a ，且 1ABF 的面积等于 43，求直线 l 的方程； （ 3） 若对于任意的直线 l ，坐
11、标原点 O 始终在以 AB 为直径的圆内，求 2a 的取值范围 BACD EFMPN第 4 页 共 4 页 23、 （本 大 题 有 3 小题，第（ 1）题 4 分，第（ 2）题 8 分，第（ 3）题 6分，满分 18分 ） 设函数 *0 , , ,nn bf x x c x n N b c Rx 、（ 1） 当 1b 时，对于一切 *nN ，函数 nfx在区间 1,12内总存在唯一零点，求 c 的取值范围； （ 2） 当 0c 时，数列 na 的前 n 项和 2nS f n ，若 na 是单调递增数列，求 b 的取值范围 （ 3） 当 1, 1bc 时，函数 nfx在区间 1,12内的零点为 nx ，判断数 列 12, , , ,nx x x 的增减性，并说明理由
