1、 1 普通 物理 A （ 2）练习册 参考解答 第 12 章 真空中的静电场 一 、 选择 题 1(C)， 2(A)， 3(C)， 4(D)， 5(B)， 二 、 填空 题 (1). 0， / (20) ； (2). 0 ； (3). 2 103 V； (4). ba rrqq 11400 ； (5). 0， pE sin ； 三 、 计算 题 1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设 电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧 AB 的 半径为 R，试求圆心 O点的场强 解：在 O 点建立坐标系如图所示 半无限长直线 A在 O 点产生的场强： jiRE 01 4 半无限长直线 B在 O
2、点产生的场强： jiRE 02 4 四分之一圆弧段在 O 点产生的场强： jiRE 03 4 由场强叠加原理， O 点合场强为： jiREEEE 0321 4 2. 两根相同的均匀带电细棒，长为 l，电荷线密度为 ，沿同一条直线放置两细棒间最近距离也为 l，如图所示假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力 解：选左棒的左端为坐标原点 O， x 轴沿棒方向向右，在左棒上 x 处取线元 dx，其电荷为dq dx，它在右棒的 x 处产生的场强为： 204 dd xx xE 整个左棒在 x 处产生的场强为： OBAyx3E2E1El l l x 3 l d x x d x 2 l l
3、 O x O B A 2 l xx xE 0 204 d xlx 114 0 右棒 x 处的电荷元 dx 在电场中受力为： xxlxxEF d114dd 02整个右棒在电场中受力为： llxxlxF 3202 d114 34ln4 02，方向沿 x 轴正向 左棒受力 FF 另解： d d , d dq x q x 220ddd 4 ( )xxF xx 2 32020ddd 4 ( )lllxxFF xx 22320 2 000d d 1 1( ) d4 ( ) 4 2 3l l llxx xx x x l x l 204ln43 FF 3. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： = 0cos
4、， 式中 为半径 R 与 x 轴所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强 解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为 = 0cos Rd， 它在 O 点产生的场强为： dsco22d 000 RE它沿 x、 y 轴上的二个分量为： dEx= dEcos = dsco2 200dEy= dEsin = dscos in200 积分： 20 200 dsco2 xE002 O R z y x O x R y d d E x d E y d E 3 0)d ( s ins in220 00 yE iiEEx 0024. 如图所示，一厚为 b 的“无限大”带电平板
5、 ， 其电荷体密度分布为 kx (0 x b )，式中 k 为一正的常量求： (1) 平板外两侧任一点 P1 和 P2 处的电场强度大小； (2) 平板内任一点 P 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？ 解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、 方向垂直于平面且背离平面设场强大小为 E 作一柱形高斯面垂直于平面其底面大小为 S，如图所示 按高斯定理 0/d qSES ，即 020000 2dd12 k S bxxkSxSSE bb 得到 E = kb2 / (40) (板外两侧 ) (2) 过 P 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为 S设该处 场强为 E ，如图所示按高斯
6、定理有 0 200 2 k S bx d xkSSEE x 得到 22 220bxkE (0 x b) (3) E =0，必须是 0222 bx ， 可得 2/bx 5. 一“无限大”平面，中部 有一半径为 R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为 如图所示，试求通过小孔中心 O 并与平面垂直的直线上各点的场强和电势 (选 O 点的电势为零 ) 解：将题中的电荷分布看作为面密度为 的大平面和面密度为 的圆盘叠加的 结果选 x 轴垂直于平面，坐标原点在圆盘中心，大平面在 x 处产生的场强为 ixxE 01 2圆盘在该处的场强为 ixRxxE 2202112 x b P 1 P 2 P x O
7、x S P S E E S S E d x b E ORO xP4 ixR xEEE22021 2 该点电势为 2200220 2d2 xRRxR xxUx 6一真空二极管，其主要构件是一个半径 R1 5 10-4 m 的圆柱形阴极 A 和一个套在阴极外的半径 R2 4.5 10-3 m 的同轴圆筒形阳极 B，如图所示阳极电势比阴极高 300 V，忽略边缘效应 . 求电子刚从阴极射出时所受的电场力 (基本电荷 e 1.6 10-19 C) 解：与阴极同 轴作半径为 r (R1 r R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为按高斯定理有 2rE = / 0 得到 E= / (20r)
8、 (R1 r R2) 方向沿半径指向轴线两极之间电势差 21 d2d 0 RRBABA r rrEUU 120 ln2 RR得到 120 /ln2 RRUU AB ， 所以 rRR UUE AB 1/ln12 在阴极表面处电子受电场力的大小为 11211/c RRR UUeReEF AB 4.37 10-14 N 方向沿半径指向阳极 7. 如图所示，半径为 R 的均匀带电球面，带有电荷 q沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为 ， 长度为 l，细线左端离球心距离为 r0设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 (设无穷远处的电势为零 )
9、 解：设 x 轴沿细线方向，原点在球心处，在 x 处取线元 dx，其上电荷为 xq dd ，该线元在带电球面的电场中所受电场力为： dF = qdx / (40 x2) 整个细线所受电场力为： lrr lqx xqF lrr 00020 4d4 00 方向沿 x 正方向 电荷元在球面电荷电场中具有电势能： A B R 2 R 1 r 0 l q R O O R x r 0 r 0 + l d x x 5 dW = (qdx) / (40 x) 整个线电荷在电场中具有电势能： 0000ln4d4 00 r lrqx xqW lrr 四 研讨题 1. 真空中点电荷 q 的静电场场强大小为 204
10、1 rqE 式中 r 为场点离点电荷的距离当 r 0 时， E，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？ 参考解答： 点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当 r 0 时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用 若仍用此式求场强 E，其结论必然是错误的当 r 0 时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的 E 就有确定值 2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场 参考解答： 证：在电场中作如图所示的扇形环路 abcda在 ab 和 cd 段场强方向与路径方向垂直在 bc 和 da 段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等因而 0ddd cbad
11、 lElElE 按静电场环路定理应有 0d lE ， 此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场 3. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境，影响到作物的生长和人类的健康。静电除尘是被人们公认的高效可靠的除尘技术。先在实验室内模拟一下 管式静电除尘器 除尘的全过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从“烟囱”上飘出。加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。 如果撤去电源，烟尘又出现在我们眼前。 请考虑如何计算出实验室 管式静电除 尘器 的工作电压，即当工作电压达到什么数量级时，可以实现良好的静电除尘效果。 6 参考解答： 先来看看静电除尘装置的结构：在烟囱的轴线上，悬置了
12、一根导线，称之谓电晕线；在烟囱的四周设置了一个金属线圈，我们称它为集电极。直流高压电源的正极接在线圈上，负极接在电晕线上，如右上图所示。可以看出，接通电源以后，集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。 改变直流高压电源的电压值，就可以改变电晕线周围的电场强度。 当实际电场强度与空气的击穿电场 13 Vmm103 相近时空气 发生电离，形成大量的正离子和自由电子。 自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电子以后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负电。 在电场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动，并最后附着
13、在集电极上。 （集电极可以是金属线圈，也可以是金属圆桶壁）当尘埃积聚到一定程度时，通过振动装置，尘埃颗粒就落入灰斗中。 这种结构也称管式静电除尘器。 如 右中 图所示。 对管式静电除尘器中的电压设置，我们可以等价于同轴电缆来计算。如右下图所示， ra 与 rb 分别表示 电晕极与集电极的半径，L及 D分别表示圆筒高度及直径。一般 L为 3-5m， D为 200-300mm，故 LD，此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电场。 设单位长度的圆柱面带电荷为 。 用静电场高斯定理求出距轴线任意距离 r 处点 P 的场强为： )1(2 0 rrE 式中 r 为沿径矢的单位矢量。 内外两极间电
14、压 U 与电场强度 E 之关系为 barr lEU )2(d ，将式 (1)代入式 (2)， 积分后得 : abrrUln2 0 , 故 abrrrUEln. 由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到空气电离的最大电场强度 mE 时，就可获得高压电源必须具备的电压 abam rrrEU ln 代入 空气的击穿电场 ，并取一组实测参数如下： m15.0m,105.0,mV103 216 bam rrrE ,计算结果 V101.5 4U . 若施加电压 U 低于临界值，则没有击穿电流， 实现不了除尘的目的。 也就是说，在这样 尺寸的除尘器中，通常当电压达到 105V 的数量级时，就可以实现良好的静电
15、除尘效果。静电除尘器除了上述的管式结构外还有其它的结构形式，如板式结构等。可以参阅有关资料，仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。 第 13 章 静电场中的导体和电解质 一、选择题 1(D)， 2(A)， 3(C)， 4(B)， 5(C) 7 二、填空题 (1). (x， y， z)/0，与导体表面垂直朝外 ( 0) 或 与导体表面垂直朝里 ( b，可以忽略边缘效应，求： (1) 圆柱形电容器的电容； (2) 电容器贮存的能量 解：由题给条件 ( aab ) 和 bL ，忽略边缘效应 , 应用高斯定理可求出两 筒之间的场强为： )2/( 0 LrQE r 两筒间的电势差 rdr
16、LQUba r 02 abLQr ln2 0OR 1R 2R r 2 r 1Lb a9 电容器的电容 )/ ln ()2(/ 0 abLUQC r 电容器贮存的能量 221CUW )/ln ()4/( 02 abLQ r 5. 一平行板电容器，其极板面积为 S，两板间距离为 d (d S )，中间充有两种各向同性的均匀电介质，其界面与极板平行，相对介电常量分别为r1 和 r2，厚度分别为 d1和 d2，且 d1 d2 d，如图所示设两极板上所带电荷分别为 Q 和 Q，求： (1) 电容器的电容 (2) 电容器储存的能量 解： (1) 两极板间电位移的大小为 D Q / S 在介质中的场强大小分
17、别为 E1 = D / (0r1) = Q / (0r1S) E2 = D / (0r2) = Q / (0r2S) 两板间电势差 22110221112 rrddSQdEdEU SddQrrrr2101221 电容 C = Q / U121221210rrrr dd S (2) 电场能量 21221CUW S Qdd rr rr 210212212 6. 图示一半径为 R 的导体球，带有电荷 Q，在它外面同心地包一层各向同性的均匀电介质球壳，其内外半径分别为 a 和 b，相对介电常量为 r求电介质中的电极化强度 P 和介质表 面上的束缚电荷面密度 解：由 D 的高斯定理求出导体球外的电位移为
18、 D = Q / (4r2) (r R) 介质内的场强 E = D / (0r)=Q / (40r r2) (a r b) 电极化强度 P = 0eE 24 1rQrr (a r b) 介质内外表面上的束缚电荷面密度分别是 cosaa P 180 241 aQrrd 1d 2 d r 1 r 2RRQbar10 cosbb P 0 24 1bQrr 7. 如图所示，一平板电容器，极板面积为 S，两极板之间距 离为 d，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为 1 和 2当电容器带电荷Q 时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为 1 的介质板抽出，试求外力所作的功 解：可将上下两
19、部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为 dSC 11 2， dSC 22 2串联后的等效电容为 21212 d SC 带电荷 Q 时，电容器的电场能量为 SdQCQW 21 212242 将 1 的介质板抽去后，电容器的能量为 SdQW 20 2024 外力作功等于电势能增加，即 102 114 SdQWWWA8. 如图所示，将两极板间距离为 d 的平行板电容器垂直地插入到密度为 、相对介电常量为 r 的液体电介质中如维持两极板之间的电势差 U 不变，试求液体上升的高度 h 解：设极板宽度为 L，液体未上升时的电容为 C0 = 0HL / d 液体上升到 h 高度时的电容为 dhLd LhHCr 00 011 CH hr 在 U 不变下，液体上升后极板上增加的电荷为 dh L UUCCUQ r /100 电源作功 dh L UQUA r /1 20 液体上升后增加的电能 2021 2121 UCCUW dh L Ur /121 20 液体上升后增加的重力势能 22 21 gdhLW 因 A = W1+W2，可解出 220 1gd Uh r + Q-Qd12Hdh
