1、 重大 &西华大学 测试技术与信号分析 习题与题解 适用专业 : 机械类、自动化 课程代码 : 学 时 : 42-48 编写单位 :机械工程与自动化学院 编 写 人 : 余愚 审 核 人 : 审 批 人 : 第二章 习题解答 2-1什么是信号？信号处理的目的是 什么？ 2-2信号分类的方法有哪些？ 2-3求正弦信号 tAtx sin 的均方值 2x 。 解： 24s i n4222c o s12s i n2s i n11222022022022022ATTATdttATt d tATdttATdttxTTTTTx 也可先求概率密度函数：221)( xAtp 则： 2)( 222 Adxxpxx
2、 。 2-4求正弦信号 )s in( tAtx 的概率密度函数 p(x)。 解： 2221)(111,a r c s i nxAAxAdxdtAxt 代入概率密度函数公式得： 22222200122221lim1lim)(xAxAxATTdtdxTtxxpxx 2-5求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱 解 在 x(t)的一个周期中可表示为 201)(11TtT Tttx 该信号基本周期为 T，基频 0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于 x(t)关于 t=0 对称，我们可以方便地选取 -T/2 t T/2 作为计算区间。计算各傅里叶序列系数 cn 当 n=0 时，常值分量
3、 c0： t x T1 -T1 T -T TTdtTac TT 100 21 1 1 当 n0 时， 110110011 TTtjnTT tjnn eTjndteTc 最后可得 jeeTnc tjntjnn 22 000 注意上式中的括号中的项即 sin (n0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数 cn 可表示为 0)(s in2)s in (2 100 10 nTncTTn Tnc n ， 其幅值谱为： )(s in211 TncTTc on ，相位谱为： ,0n 。频谱图如下： 2-6设 cn 为周期信号 x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性 。 即：若有 nFS
4、 ctx 则 ntjFS cettx 000 证明：若 x(t)发生时移 t0（周期 T 保持不变），即信号 x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为 T tjn dtetxTc 01 令 0tt ，代入上式可得 ntjTjtjTtjncedexTedexTc000000011 )(因此有 ntTjntjFS cecettx 000 )/2(0 同理可证 ntTjntjFS cecettx 000 )/2(0 证毕！ nCTT/211/T 00nC TT/211/T0 0n02-7求周期性方波的（题图 2-5）的幅值谱密度 解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数 )(s in21 1011 0 Tn
5、cTTdteTC T T tjnn 则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有 )()(s in22)( 0101 nTncTTX n 此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频 0 以及所有谐频处，其脉冲强度为 01/4 TT 被 )(sin tc 的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。 2-8求符号函数的频谱。 解：符号函数为 000101)(ttttx 可将符号函数看为下列指数函数当 a0 时的极限情况 解 00)s g n ()( te tettxatat fjfj
6、fjafjadteedteedtetxfXaftjatftjataftj12121lim.lim00 20202 2-9求单位阶跃函数的频谱： 解：单位阶跃函数可分解为常数 1 与符号函数的叠加，即 0002/101)(tttt )sgn(121)( tt 所以： 2-10求指数衰减振荡信号 tetx at 0sin 的频谱。 解： )(2s ins in21s in21)(0000)(000tjtjtjatjateejttdedteteX fjff 1)(21)( 202000)()(0)(21)(1)(1)2(21)2(21)( 00 jajjajjajdteejX tjjatjja2-1
7、1设 X(f)为周期信号 x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 fXtx FT 则 02 0 ffXetx FTtfj 证明：因为 )( 02 0 ffeF tfi 又因为 * 00 202 tfiFTtfj eFfXetx 0002 )(*0 ffXfffXetx FTtfj 证毕！ 2-12设 X(f)为周期信号 x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性 即：若 fXtx FT 则 fXtx FT * 式中 x*(t)为 x(t)的共轭。 证明： dfefXtx ftj 2)(由于 dtetxdtetxfXftjftj2*2*)()( 上式两端用 -f 替代 f 得
8、dtetxfX ftj 2* )( 上式右端即为 x*(t)的傅里叶变换 ，证毕！ 特别地，当 x(t)为实信号时，代入 x*(t)= x(t)，可得 X(f)共轭对称，即 fXfX * 2-13设 X(f)为周期信号 x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 fXtx FT 则 fxtX FT 证明： 由于 dfefXtx ftj 2)()(以 -t 替换 t 得 dfefXtx ftj 2)( 上式 t 与 f 互换即可得 dtetXfx ftj 2)( 即 fxtX 证毕。 特殊情况 ,当 xt 为偶函数时 ， fxtX FT 2-14用傅里叶变换的互易特性求信号 g(t)的傅里叶
9、变换 G(f)， g(t)定义如下： 21 2ttg 且已知 22 22)()( fa afXetx FTta 解：当 a=2，不难看出 g(t)与 X(f)非常相似。代入 a=2，根据傅里叶变逆换有 dfefdfefe ftjftjt 222222 1 22 122 22 等式两端同时乘以 2，并用 -t替代变量 t得 dtefe ftjt 222 1 22 交换变量 t和 f得 dtete ftjf 222 1 22 上式正是 g(t)的傅立叶变换式，所以 fFT efGttg 22 2)(1 2)( 2-15所示信号的频谱 )5.2()5.2(21)( 21 txtxtx 式中 x1(t
10、), x2(t)是如图 2-31b），图 2-31c）所示矩形脉 冲。 解：根据前面例 2-15求得 x1(t), x2(t)的频谱分别为 f ffX sin)(1 和f ffX 3sin)(2 根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得： ffefX fj 3s ins in)( 215 )(tx)(1txttt)(2tx图 2-31 2-16求信号 x(t)的傅里叶变换 0)( aetx ta 解：由例 2-16已知 fjatue FTat 21)( 注意到 x(t)为 实偶函数， t 0 时 )()( tuetx at ， t1.0)会导致其频谱频带变宽 ,且向高频端 扩展 ,这种情况为我们
11、提高信号分析速度提供了可能。 1111 4sin45.02sin25.0 1)5.0( fTcTTfcTtxF 1111 sin22sin221)2( fTcTTfcTtx x ( t / 2 )t-T T2T- 1 / 2 T 1 / 2 Tfa=0.5x ( t / 2 )t-T/2 T/2T- 1 / T 1 / Tfa=1.0x ( t / 2 )t-T/4 T/4T/2- 2 / T 2 / Tfa=2.0111题图 2-17 时间尺度展缩特性示意图 2-18求同周期的方波和正弦波的互相关函数 解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函
12、数定义，将方波前移秒后计算： s i n2s i n42123c o s12c o s23c o s12c o s21c o sc o sc o s1s i n1s i n1s i n11)(43434404343440TTTTTTTTTTxytttTt d tt d tt d tTR2-19求信号 )()( tuetx at 的自相关函数。 解：由定义 dttutueedttuetuedttxtxRatataatx)()()()()()()(2)(其中积分的被积函数的非零区间为 00 tt 与 的交集，即 ),0max( t 。因此，当 0时，上式为 atatatatax eaeaedtee
13、R 21)21()( 020 2 当 0 时，则有 aaaataatax eaeaeeaedteeR 2 1)210()21()( 222 综合有 ax eaR 21)( 1 1 2-20下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。 （ 1） tbtatf3c o s5s in)( （ 30） （ 2） tbttatf3c o s6s in)( （ 12 ） （ 3） )343s in()( tatf（ 38） （ 4） )54c o s ()( tatf（ 8） 2-21如图所示，有 12 nN 个脉宽为 的单位矩形脉冲 等间隔（间隔为 T ）地分布在原点两侧，设这个信号为 )(tx ，求其
14、FT。 解：由题意， n nm mTtxtx )()( 0 其中 )()(0 tGtx ，其 FT为 )2(s in)(0 cX 。根据 FT的时移特性，可以求得 )2s i n ()2s i n ()()()()()()()(1)()()(02/2/2/2/02/2/2/2/2/2/0)1(00TTNXeeeeXeeeeeeXeeeXeXXTjTjTjNTjNTjTjTjTjNTjNTjTjTnjTjmnnmTjm下面分析一下所求的结果。 当Tm 2时，由罗彼塔法则可以求得 NTTN)2sin()2sin(，因此 )()(0 NXX ，是单个矩形脉冲频谱 )(0X的 N倍，这是 N个矩形脉冲
15、的谱相互叠加的结果；而当NTm 2（ m不是 N的倍数）时， 0)2sin()2sin(TTN，这是 N个谱相互抵消的结果。见图（ b）。 可以看出，如果 N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点Tm 2处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当 N 时，时域信号变成了周期矩形脉冲信号，而频域则变成了只在离散点Tm 2处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在 FT。 2-22“时域相关性定理”可描述如下 )()()( fYfXRF xy 试证明。 下面给出两种证明方法。 证明 1： )()()()()()
16、()()()()()()()(*)(2*22)(2*2*2*fYfXtdetydtetxedttdetytxdtdetytxdedttytxRFtfjfjftjtfjfjfjxy 这里利用式： )()( * fYtyF ，是 FT的“反褶共轭”性质。 证明 2： 根据相关运算与卷积运算之间的关系 )()()( tytxR xy 利用 FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。 在式中，令 yx ，则可得 自相关的傅里叶变换 2* )()()()( fXfXfXRF x 式中说明，“函数相关的 FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。 利用 FT的奇偶虚实性，若 )(ty 是实偶函数，那么 )(fY 也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论， )()()()()( * fYfXfYfXRF xy 即当 )(ty 是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。 2-24帕斯瓦尔定理 dffXdttx 22 )()( 证明： dffXFTdffXfXdfdtetxfXdtdfefXtxI F TdtdfefXtxdttxtxdttfftjftjftj2*2*2*2*2)()()()()()()()()()()()()()()(定义交换积分次序定义
