1、 最专业的 K12教研交流平台 房山区 2015-2016 学年 第一学期 期末考试 高二 数学（理） 本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分 （选择题 共 50 分） 一、选择题 共 10 小题，每 小 题 5 分，共 50 分 。 在每小题 列 出的四个选项中， 选出 符合题目要求的一项。 （ 1） 已知抛物线的方程是 2 2yx，则它的 焦点坐标是 （ A） 1( ,0)2 （ B） 1( ,0)2 （ C） 1(0, )2 （ D） 1(0, )2 命题意图： 考查抛物线的定
2、义。基础题 （ 2） 已知平面 的法向量为 (2, 4, 2) ，平面 的法向量为 ( 1,2, ) k ，若 / ， 则 k A 2 （ B） 1 C 1 （ D 2 命题意图： 考查两个平行平面的法向量的关系。知道空间向量平行的条件就可得出答案。基础题 （ 3） 圆 224xy 与圆 22 4 3 0 x y y 的位置关系是 （ A）相离 （ B） 相交 （ C） 外切 （ D） 内切 命题意图： 考查圆的一般方 程与标准方程，圆与圆的位置关系。用画图或者两圆心间的距离判断可知答案。 （ 4） 如图，在 四面体 ABCD 中 ，设 G 是 CD 的中点 ， 则 1 ()2AB BD BC
3、等于 GDACB（ A） AD （ B） BG 最专业的 K12教研交流平台 （ C） CD （ D） AG 命题意图： 考查空间向量的加法。熟悉三角形法则平行四边形法则就可得出答案。 （ 5） “ 直线 l 与平面 无公共点 ”是“直线 l 与平面 平行 ” 的 （ A） 充分 而不必要条件 （ B） 必要 而不充分条件 （ C） 充分 必要条件 （ D） 既不 充分也不必要条件 命 题意图： 考查直线与平面平行的定义，充要条件。理解直线与平面平行的定义，理解充要条件才不会错选。 （ 6） 若方程 22 4yx m 表示 焦点在 x 轴上的椭圆 ， 则实数 m 的取值范围是 （ A） (01
4、), （ B） (02), （ C） (12), （ D） (1 ), 命题意图： 考查椭圆的定义，标准方程，性质。此题若学生没有关注到方程非标准方程，错误认为 10m,m 也能得出正确答案 。 因为此题考查的 重点是 焦点在 x 轴上的椭圆方程的特点 ，学生能犯这个错误而选 A也说明他知道这个知识点。初稿 的 方程 是224x my ，但担心学生因为 m 的粗心处理而错选答案 ， 所以改简单 了 。 （ 7）设 l 表示直线， , 表示两个不同的平面 ，下列 命题中正确的是 （ A）若 /l ， /l ， 则 / （ B）若 ， /l ， 则 l （ C）若 l ， /l ， 则 / （ D
5、） 若 l ， l ， 则 / 命题意图： 考查线面位置关系的判定。此题需要排除错误选项，对学生空间想象能力和对相关定理的熟练程度要求高。试卷讲评时错误选项举反例让学生体会 。答错的学生建议面谈纠正。 （ 8） 棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D中 ， 11AB BC 错误 !未找到引用源。 的值为 （ A） 1 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 命题意图： 考查学生 画图能力，考查空间向量的数量积。此题难度不大，方法有很多。 1 1 1 1 2 2 c o s 6 0 1 A B B C A B A D， 或 1 1 1 1 1 1() A B B C A B
6、 B B B C或建系做 。此题需要学生自己作图分析，所以题目虽难度不大，但位置靠后。 （ 9）设椭圆 2222 1( 0 ) xy abab的左 、 右焦点分别为 1F ， 2F ， P 是椭圆上的点 若 1 1 2PF FF ， 1260FPF ， 则椭圆的离心率为 （ A） 13 （ B） 33 最专业的 K12教研交流平台 （ C） 12（ D） 32命题意图： 考查椭圆定义，几何性质，考查学生的计算能力。利用 122PF PF a， 122FF c及直角三角 形 的三边关系是解决此题的关键 。 对学生能力要求高 ， 难度适中 。 （ 10）如图，在 四棱锥 S ABCD 中 ， SB
7、 底面 ABCD ， 底面 ABCD 为梯形 ， AB AD ，AB / CD ， 1AB ， 3AD ， 2CD 若点 E 是线段 AD 上的动点 ， 则满足 90SEC 的点 E 的个数是 SBAEC D（ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 命题意图： 考查直线与平面垂直性质，考查计算能力，是选择题里难度最大的题目。此题转化为在梯形 ABCD 中 ， 满足 BE CE 的点 E 的个数 ， 再利用直角三角形 中的勾股定理得出 。此题对学生能力要求高，转化为求 满足 BE CE 的点 E 是关键思维点 ，讲评时重点引导学生怎么思考。 第二部分 （非选择题 共 100 分）
8、二 、 填空题 共 6 小题，每 小 题 5 分，共 30 分 。 （ 11） 命题“ Rx ， e0x ”的否定是 命题意图： 考查含有全称量词的命题的否定。基础题 （ 12）已知向量 ( 2,3,1)a ， (1,0, 1)b ， 则 |ab 命题意图： 考查空间向量的运算。基础题 （ 13）已知 (5,0) 是双曲线 222 1( 0)16xy bb 的一个焦点，则 b ，该双曲线的 渐近线方程 为 命题意图： 考查双曲线的标准方程，几何性质。基础题 （ 14） 某 四棱锥的三视图如图所示，则该 四棱锥 最长的棱长为 最专业的 K12教研交流平台 命题意图： 考查简单空间几何图形的三视图
9、，考查空间想象能力。由三视图正确还原原几何体的解题的关键。 （ 15） 已知点 ( 1,3)A ， F 是抛物线 2 4xy 的焦点， M 是抛物线上任意一点，则 | | | |MF MA 的最小 值为 ； 点 M 到直线 20 xy 的距离的最小值为 命题意图： 考查抛物线的定义和性质，考查点到直线的距离，重点是把所求问题进行转化，得出答案。此类题目的通性通法需要学生掌握。 （ 16）在平面直角坐标系中，动点 P 到点 (1,0)F 的距离比它到 y 轴的距离多 1， 记点 P 的轨迹为曲线 C ， 给出下列三个结论 ： 曲线 C 过坐标 原点 ； 曲线 C 关于 x 轴对称 ； 曲线 C
10、的轨迹是抛物线 其中，所有正确结论的序号是 命题意图： 考查根据条件求曲线方程，根据方程研究曲线性质。根据几何条件写出代数关系式，就可以判断 正确 。曲线是由一条射线和抛物线组成的。 三 、 解答题 共 6 小题，共 70 分 。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 17）（本小题 10 分） 已知直线 l 过点 (1, 3)A ，且与直线 2 4 0xy 平行 （） 求 直线 l 的方程 ； （）若直线 m 与直线 l 垂直，且在 y 轴上的截距为 3 ， 求 直线 m 的方程 命题意图： 考查直线平行和垂直斜率的关系，直线方程的点斜式、斜截式和一般式。基础题。 （ 18）（本小题
11、 10 分） 已知 圆 C 的 圆心 为 点 C ( 2,1) ，且 经过点 (0,2)A 11 111俯视图 主视图 左视图 最专业的 K12教研交流平台 （） 求圆 C 的方程； （） 若 直线 1y kx 与圆 C 相 交于 ,MN两点，且 | | 2 3MN ，求 k 的值 命题意图： 考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，（两点间的距离公式，点到直线的距离公式），考查学生的计算能力。求圆的弦 长的方法要求学生熟练掌握，得分不理想的学生一定督促其巩固。 （ 19）（本小题 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 是菱形， PB PD ，过 AB 的平面分别交棱 PC
12、 ，PD 于点 E ， F . （） 求证： / EF AB ； （） 求证： BD 平面 PAC F EPCDBA命题意图： 考查线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理，考查空间想象能力。此题证明过程要求表述清晰，书写规范。 评分的标准制定考虑了定理中的每个条件，有缺失的要扣分，力求让学生意识到书写规范的重要性。 （ 20）（本小题 13 分） 已知抛物线 C ： 2 8yx， 过点 (0, 2) 且斜率为 k 的直线 l 与 抛物线 C 交于不同的 两点 ,AB （ ）求抛物线 C 的 准线 方程 ； （）求实数 k 的取值范围 ； （ ）若线段 AB 中点 的 横坐标为 2 ，求 AB
13、的 长度 命题意图： 考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力。直线与圆锥曲线位置关系的判定及相交弦弦长的求法都是常考知识点，要求学生掌握并能准确解答。根据第三问的条件得出两个 k 值 ，根据条件需要舍去一个，粗心的学生可能忽略，即使不影响弦长的计算，未说明舍去的也扣 1分。 （ 21）（本小题 13 分） 如图，正方形 ABCD 与梯形 AMPD 所在的 平面互相 垂直 ， AD PD ， MA / PD ， 1 12 M A A D P D （）求证： MB / 平面 PDC ； （）求二面角 M PC D 的余弦值； 最专业的 K12教研交流平台 （ ） E 为线
14、段 PC 上一点 ，若直线 DE 与 直线 PM 所成的角为 60 ，求 PE 的 长 PMD CBA命题意图： 考查线面平行的判定，面面垂直的性质，用向量求面面角，线线角，考查空间想象能力和计算能力。第一问大部分学生会想到构造平行四边形证明，利用面面平行来证明更简洁明了，讲评时要复习这一部分的整体知识网络。第二问和第三题利用向量解决角的度量问题，常规角度，难度不大。 （ 22）（ 本小题 12 分 ） 椭圆 C 的中心在坐标原点，右焦点为 ( 3,0)F ，点 F 到 短轴 的一个端点的距离 等于 焦距 （） 求椭圆 C 的方程； （） 设椭圆 C 与曲线 | | ( 0)y kx k的交点
15、为 ,AB， 求 OAB 面积的最大 值 命题意图： 考查椭圆的标准方程和简单性质，第一问求椭圆方程需根据椭圆的性质得出2ac。第二问思路不复杂，分析清楚可以得出答案。最后一题不想太难为学生，希望一部分学生能得满分。此题虽叙述简洁，但有一定的思维含量，第一问命题时的想法就是条件不能“白”，也要考查学生的分析问题的能力。第二问的难点主要是求23634k k的最大值 ， 需要运用以前的知识 。最后一题也鼓励学生做，不仅仅是只做第一问。 房山区 2015-2016 学年度第一学 期终结性检测试卷 高二 数学（理）参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 3
16、0 分，有两空的第一空 3 分，第二空 2 分） （ 11） Rx ， 0xe 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C A D B B C 最专业的 K12教研交流平台 （ 12） 10 （ 13） 3 ； 34yx （ 14） 5 （ 15） 4 ； 22 （ 16） （只 写一个正确的得 3 分，有错的不得分） 三、 解答题（共 6 小题，共 70 分） （ 17） （本小题 10 分） 解： （）由直线 l 与直线 2 4 0xy 平行可知 l 的斜率为 2 ， -2 分 又 直线 l 过点 (1, 3)A ， 则直线 l 的方程为 3 2( 1) yx
17、即 2 5 0 xy -3 分 （ ）由 直线 m 与直线 l 垂直可知 m 的斜率为 12 ， -2 分 又直线 m 在 y 轴上的截距为 3 ， 则 直线 m 的方程为 1 32 yx即 2 6 0 xy -3 分 （ 18）（本小题 10 分） 解： （）圆 C 的半径 22( 0 2) ( 2 1 ) 5 r -2 分 由 圆心为 点 C ( 2,1) ， 所以圆 C 的方程为 22( 2 ) ( 1) 5 xy -3 分 （） 圆心为 点 C ( 2,1) ， 半径为 5 ， | | 2 3MN ， 所以圆心 C 到直线 1y kx 的距离为 2d ， -2 分 即2| 2 1 1
18、| 21 kk -2 分 （注：未得出 2 ，但有 点到直线的距离公式得 1 分 ） 解得 2 1k ， 1k -1 分 最专业的 K12教研交流平台 （ 19）（本小题 12 分） （） 底面 ABCD 为菱形 /AB CD -2 分 又 AB 平面 PCD ， CD 平面 PCD -1 分 /AB 平面 PCD -1 分 又 AB 平面 ABEF ， 平面 ABEF 平面 PCD EF -1 分 /EF AB -1 分 （） 底面 ABCD 为菱形 BD AC -2 分 设 AC 交 BD 于点 O ，连接 PO PB PD ， O 为 BD 的中点 PO BD -2 分 AC PO O
19、， AC 平面 PAC ， PO 平面 PAC -1 分 BD 平面 PAC -1 分 （ 20）（本小题 13 分） 解： （）由 抛物线 C 的方程 2 8yx，得 4p ， 所以 抛物线 C 的准线方程为 2x -3 分 （） 直线 l 方程 与 抛物 线 C 的 方程联立 ， 得方程组 228 y kxyx -1 分 消 y ， 整理得 22 ( 4 8 ) 4 0 k x k x， -2 分 由直线 l 与 抛物 线 C 交于不同的 两点 ,AB，则有 22( 4 8 ) 1 6 0 kk -1 分 解得 1k 当 0k 时 ， 直线 l 与 抛物 线 C 只有 一个 交 点 ，所以
20、 k 的取值范围是 1k 且 0k -1 分 （ ） 若线段 AB 中点 的 横坐标为 2 ， 设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，由 （）中的 式 得 12 248 4 kxx k， -2 分 解得 2k 或 1k （ 舍 ） -1 分 221 2 1 2| | ( 1 ) ( ) 4 2 1 5 A B k x x x x -2 分 （结果不对，但弦长公式对得 1 分，没有“舍去 1k ”扣 1 分；求出 ,AB坐标用两 点间距离公式依照此标准得分 ） （ 21）（ 本小题 13 分 ） 解 ： （）法一： 四边形 ABCD 是正方形， AB / CD -1 分 又
21、MA / PD -1 分 AB MA A ， CD PD D 最专业的 K12教研交流平台 AB 平面 ABM ， MA 平面 ABM CD 平面 PDC ， PD 平面 PDC 平面 ABM / 平面 PDC -1 分 MB 平面 ABM ， -1 分 MB / 平面 PDC -1 分 法二： 取 PD 的中点 E ，连接 CE ， ME MA / PD ， 12MA PD DE 四边形 MADE 是平行四边形 AD / ME -1 分 四边形 ABCD 是正方形， AD / BC -1 分 ME / BC -1 分 四边形 MBCE 是平行四边形 MB / CE -1 分 MB 平面 PD
22、C ， CE 平面 PDC MB / 平面 PDC -1 分 EPMDCBA（ 第一问的评分标准是采点给分，出现了分值对应的结论就对应给分， 非采分点的 地方有缺失不扣分 ） （） 正方形 ABCD 与梯形 AMPD 所在的 平面互相 垂直 ， 平面 ABCD 平面 AMPD AD 在 正方形 ABCD ， CD AD CD 平面 AMPD CD PD （ 没有的内容，只有最后结论不得分 ） -1 分 又 AD PD ， AD DC ， 以 DA 为 x 轴 ， DC 为 y 轴 ， DP 为 z 轴建立空间直角坐标系 ， -1 分 最专业的 K12教研交流平台 zyxPMDCBA（ 建系 1
23、 分，文字说明或者图上标注都可以 ） 则 (1,0,1)M ， (0,0,2)P ， (0,1,0)C ， (1,0,0)DA 是平面 PCD 的一个法向量 设平面 MPC 的法向量为 ( , , )n x y z ， 则 00 n PMn CM-1 分 即 00 xzx y z令 1z ， 得 (1,2,1)n -1 分 则 c o s , | | | | D A nD A n D A n-1 分 1666 设 二面角 M PC D 为 ， 由图可知 为锐角 ， 所以 二面角 M PC D 的余弦值为 66 -1 分 （ ）设 (0 , , 2 ) P E P C （ 0,1 ） -1 分 ( 0 , , 2 2 ) D E D P P E 又 (1,0 1)PM
