1、北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究277玻色-爱因斯坦凝聚的相关研究The related research on Bose-Einstein condensation化学与分子工程学院98级应用化学系刘睿摘要本文对玻色-爱因斯坦凝聚中的唯里关系及分子凝聚进行了研究。在综述里本文先阐明玻色-爱因斯坦凝聚的基本概念，介绍相关的实验进展。在第二章里我们对二维空间涡流状态束缚的零温玻色-爱因斯坦凝聚的 Gross Pitaevskii方程用唯里能量关系进行详细的分析并对其数值解进行讨论。第三章对分子态的玻色-爱因斯坦凝聚的形成及性质开展了探讨。AbstractThe
2、purpose of this dissertation is to deeply understand the virial-relationship in Bose-Einstein condensation and the molecular Bose-Einstein condensate. A comprehensive review of the basic concepts of Bose-Einstein condensation, including its theory, experiments and technical skills is presented. We t
3、est the result of the Gross Pitaevskii equation of the trapped zero temperature Bose Einstein condensed atomic gases with Virial theorem in the two dimensional space of the vortex state. The numerical solution of virial relationship of the system is analyzed in detail. We also discuss the formation
4、and properties of MBEC (molecular Bose-Einstein condensation).北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究278一、 BEC理论和实验概述（一） 、玻色-爱因斯坦凝聚的基本理论形成 BEC的条件是（1）其中 是热波长（chermal wavelength）, 它和粒子的德布罗意TMkhB2/波长同数量级，V是粒子所占体积， N是粒子数。形成 BEC的条件即是粒子的德布罗意波长超过粒子间的间距.理想玻色气体处于热平衡状态时服从玻色-爱因斯坦统计。如果以 代表热平衡状态时处于 能态的某一量子态的平均粒子数，则 可表
5、in i in示为1（2）1/)(TkiBen其中， 为粒子的化学势， 为玻耳兹曼常量。系统的总粒子数为u（3）iTki BienN1/)(用 N0 表示处于最低能级（ ）的粒子数，用 Ni表示处于较高能级中的粒子0数，则总粒子数为N=N0+Ni （4）令 dN 为能量在 的粒子数，对只考虑移动的玻色子来说：d(5)1)2(/)(2/1/33 TkBedmhV则(6)0/)(212/3)(TkBeN当温度 T逐渐降低， 的能级上还没有粒子时， N应该保持为常数，即（6）式保持为常数。当 T变小时， 必须变小， （注意 是负的） ，设)(时， 即达到了最小值。即到了 时，温度若再降低， （6）式
6、就无c)(ccT法满足右边 N是常数了， 是适用的最低温度，则c北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究2790/21/3)(2cBTkedmhVN（7）12/33/ncBk（8）6./)2(3hTVc其中12/3.n从式（8）可计算出凝聚温度 cT3/22)61.(VNmkhTBc（9）临界密度（10）2/32/361.2ThMkVBcNi=N(T/Tc)3/2 （11）N0=N1-(T/Tc)3/2 （12）当体系的温度低于临界温度 Tc时，N0 与 Ni在数量上可以比拟。如果T=0，则 N0=Ni,这时全部粒子都转移到最低能级，如图一所示。这个现象就是玻色-爱因
7、斯坦凝聚。北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究280图 1 粒子数布局与温度的关系要实现玻色爱因斯坦凝聚，在粒子密度一定时，就必须降低体系的温度，使得粒子的德布罗意波长足够长。玻色-爱因斯坦凝聚是动量空间的凝聚，这里的玻色子是指具有总自旋为 整数倍的粒子，或者是包含的电子、中子和质子的总数目是偶数的原子。这种复合粒子的分布遵从玻色-爱因斯坦统计分布. 粒子本身的复合性质体现在内部激发, 当内部激发能远大于 , 描述这样温TkB度下的热动力学时, 复合粒子内部自由度就变的不重要了2. 实验中的玻色凝聚是在稀薄气体中实现的, 这里稀薄气体的条件 保证了101653na
8、( 为相变温度), 比符合粒子内部激发能小的多。这里 是原子间 波的cBTk s散射长度, 用来表征原子间的距离, 是原子密度。n由于碱金属原子价电子轨道角动量和原子核磁矩耦合, 当它被磁场捕陷时就会分裂产生几个超精细基态. 在磁阱中, 原子通常只被捕获在其中一个超精细能级上, 而对于全光阱, 就不存在这样的问题。 能否形成玻色-爱因斯坦凝聚, 还与粒子的 波散射性质有关。正散射长度的粒子可以形成稳定的玻色-爱s因斯坦凝聚, 而负散射长度的粒子由于容易发生三体碰撞而使凝聚体崩解, 形成玻色-爱因斯坦凝聚的条件较为苛刻3。对于 的理想气体, 理论计算的 值为 3.14 K. 在 2.17 K以下
9、成He4 cTHe4为超流体, 发生相变。这个温度与 很接近, 因而超流态的 成为进行玻色-爱因斯坦凝聚实验的首选体系。碱金属原子的 值在 的量级, 激c7610光冷却与囚禁原子技术的发展, 使得实现低温条件成为可能。 原子量大的碱金属原子除了容易进行激光冷却与囚禁外, 还具有其它一些适于形成玻色-爱因斯坦凝聚的性质 4:通过有选择的共振激发, 可使原子云的密度和能量成为空间和时间的函数, 便于获取样品的有关信息; 包括氢原子在内, 碱金属原子之间的相互作用力很弱, 可通过选择自旋态、密度、同位素类别及外加势场等手段来改变。因有这些有利因素, 玻色-爱因斯坦凝聚的实验首先在碱金属原子体系中取得
10、了成功。当 时, 理想玻色气体的性质近似服从玻耳兹曼分布, 趋近于Tc vC。 在温度为 时,理想玻色气体发生相变 , 如图 2所示。2/BNkcT北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究281图 2 理想玻色气体热容曲线理论研究表明 5, 处于外场中的玻色体系, 其粒子的基态波函数的特定形式使得粒子数密度形成一定的空间分布, 因而波函数的形式也会在坐标空间中宏观地表现出来。 形成凝聚时大部分粒子处于基态, 基态粒子分布最集中的地方就是凝聚显现的区域。 实验得到的玻色-爱因斯坦凝聚的照片如图 3所示。图 3中上面一组是 87Rb原子玻色-爱因斯坦凝聚的照片，(a)为
11、87Rb原子形成玻色-爱因斯坦凝聚前的吸收成像图。形成凝聚前，原子布局于各个能态，速度分布呈各向同性。图中原子云的对称形状，反映了热平衡状态原子的各向同性的速度分布。(b)为 87Rb原子刚刚形成玻色-爱因斯坦凝聚的临界状态。形成凝聚时，原子处于最低量子态，在不对称势阱中的速度分布呈各向异性。图中椭圆形的原子云反映了各向异性的速度分布。(c)为 87Rb原子几乎完全形成玻色-爱因斯坦凝聚时的图像，速度分布的各向异性更加明显。下一组是 23Na原子的玻色-爱因斯坦凝聚的照片，各阶段的图像与 87Rb原子的很类似。北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究282图 3 玻色
12、-爱因斯坦凝聚的实验照片玻色-爱因斯坦凝聚是一个热力学的动态平衡过程。 凝聚体和非凝聚体之间通过不断进行着能量交换, 凝聚的原子会成为非凝聚原子, 非凝聚原子也会变为凝聚原子。同时凝聚原子和背景气体的碰撞会大大降低凝聚体的寿命, 对于碱金属原子, 要得到一分钟以上的凝聚体, 要求阱的真空度达到 毫巴 106（二）激光冷却和磁光阱技术1、多普勒冷却考虑一种对激光冷却原子最为重要的情况, 即原子共振吸收与其运动方向相对的光子, 然后自发辐射的过程(参见图 4)。图 4 多普勒冷却原理原子静止时的吸收频率为 , 则由于多普勒效应, 当它以速度 相对光波0 v运动时, 被共振吸收的光波的频率应该是（1
13、4）)/1(0cv吸收后原子以自发辐射的方式发出光子回到基态, 然后再吸收光子, 再自发辐射, 每次吸收一个光子, 原子都得到与其运动方向相反的动量, 而每次.自发辐射, 发射光子的方向却是随机的(自发辐射是各向同性的)。 因此多次重复下来, 吸收时得到的动量随吸收次数增加, 而自发辐射损失的动量平均为北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究283零,原子因之被减速。 平均每次吸收-自发辐射循环降低的速度为(15)mchv0其中 为原子质量。 这就是 1975年汉斯和肖洛提出激光冷却原子的主要m思想7, 也是所谓“多普勒冷却(Dopplor Cooling)”的基本机
14、制,它是激光冷却技术中最重要的原理。更复杂的情况或更细致的分析可采用经典的或量子力学的方法来进行。 结论是:主要存在两类辐射力影响原子的运动, 一类被称之为散射力, 或自发辐射力; 另一类被称之为偶极梯度力, 或感应辐射力。 计算这两类辐射力的一种典型方法是: 首先求出原子在光场中的感应电偶极矩的期待值 , 然后d再由经典电动力学求出辐射力,(16)其中 E表示光场的电场强度，平均值是对广场周期求平均。由此得到： F=F1+F2 ,(17)21 )/(2vkGkF(18)22 )/(I表示光波的波矢, 表示原子的自发辐射率, ,k 2)/(dEG,I表示光波的光强, 表示光强的梯度。 自发辐射
15、力)(200 IF1具有共振性质(共振条件 ),光强强时有饱和现象; 偶极梯度力 F2不具vk有饱和现象, 它只出现在非均匀的光场中。 这两类力反映了光与原子相互作用的不同侧面, 本质上都与原子散射光子的反冲相联系。由式(17)可见, 要使 F1成为阻碍原子运动的力, 光波传播方向 应与原k子运动方向 方向相反, 对于给定的光波, F1是 的洛伦兹线型函数(见图 5)。v v北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究284图 5 F1的函数线形在满足共振条件 时 F1取最大值,此时光波频率 相对静止原子的跃vk迁频率 “红移”,移动量满足式(14)表示的多普勒频移公式,
16、 这就是图 5的0情况。图 6 驻波场中的原子另一个重要的情况是运动的原子处于两个频率相同而传播方向相反的光波场中(见图 6), 原子受两光波的作用力仍可用式(16)分别计算,总的作用力为两者之和。 图 7表示 时的作用力, 图中的虚线分别表示两光波的作用力, 而实0线表示总的作用力 FOM 。 显然, 不论原子的速度是负(对着光波 1)或正(对着光波 2), 所受的力都是与其速度方向相反的阻滞力,并且在满足共振条件时, 阻滞力 FOM最大;在 较小的区域, 阻滞力 FOM具有线性特征。 在vkv光强较弱的情况,很易得到 OM这里的阻滞系数为北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦
17、凝聚的相关研究285（19）22/14Gk图 7 驻波场中的原子受的散射力原子在这样的光场中就象进入了粘稠的胶状物一样被减速,这种情况称形成了一维的“光学粘胶“ (Optical Molasses)“ 8。在激光冷却技术中, 当原子运动速度低到一定程度后, 常用“光学粘胶“来进一步冷却。2、多普勒冷却的极限和不同冷却区的划分上述冷却机制称之为多普勒冷却(Doppler cooling)。原则上可以使用这种冷却方式使原子的热速度从室温下的几百 m/s降至很低。但是却不能无限低下去，存在着一个极限 vD。当原子的速度被降低之后，上述共振条件不再能满足，减速的效果就会弱下去，甚至停止。必须设计一些特
18、殊的技术来保证共振条件的持续满足，以使速度持续减下去。当速度很低时，共振条件意味着光波的频率 非常靠近原子的跃迁频率 0。由于原子的跃迁谱线宽度最窄是原子能级寿命决定的自然宽度，因之多普勒冷却方式不能最终移走对应自然半宽度的热运动能量，即（20）由此得到多普勒冷却的极限速度（21）和多普勒冷却的极限温度（22）其中 kB是玻耳兹曼常量。将原子冷却至比 TD更低的温度靠的是另外的冷却机制，其中最重要的是偏振梯度冷却(polarization gradient cooling)。下一个有意义的冷却极限是反冲极限(recoil limit)。这是考虑到原子和光子相互作用时不可避免的单光子反冲。单光子
19、对原子的反冲能（23）所以北京大学 政学者论文集（2001 年） 玻色爱因斯坦凝聚的相关研究286（24）由此得反冲极限速度（25）和反冲极限温度（26）我们可用图 8来表示由两个极限点划分开的不同的冷却区域。从原子在室温下的热运动速度 v0v D为()区，v Dv R为()区，v R0 为()区。不同的区冷却的机制不同：在()区是多普勒冷却，冷却到()区和()区要靠新的冷却机制。在()、()区原子的德布罗意波长 d小于光波的波长 ，可使用半经典理论描述，即原子的内部运动遵循量子力学，而外部的运动可用经典力学表示；但在()区， d，则原子的内部和外部的运动都必须用量子力学描述。图 8 不同冷却
20、区的划分而低于多普勒极限温度的冷却，基本都是在形成“光学粘胶”中依靠其它机制实现的。在这些机制中，必须考虑到原子的多能级结构，不再能简单地看成二能级系统。最典型的一种机制是偏振梯度冷却(polarization gradient cooling)。在这种机制中，包括激光偏振梯度、光泵和光感应能级位移几种效应，综合起来使原子可冷至多普勒极限之下。其次讨论原子能级的光感应位移(light-induced shift)。以基态 Jg=1/2而激发态 Je=3/2的跃迁为例。在近共振的激光场作用下，基态磁量子数 mg 不同的能级将产生不同的光感应位移，当激光频率相对原子跃迁频率“红移”(0时，光感应能级的位移 E g是负的。位移量的大小还取决于激光场的偏振态。 由于线偏振光只能产生 m=0 的跃迁， +和 -偏振的光只能分别产生 m=1 和 m=-1 的跃迁。因之在偏振梯度存在的不同位置处，基态的两个磁能级将有不同的光感应位。光泵效应(optical pumping)。由于 +和 -偏振光的选择激发，原子会在某个特定能级聚集，这就是光泵效应。
