1、 1 数学分析期末考试题 一、 叙述题 ： (每小题 5 分，共 15 分） 1、 微积分基本公式 2、 无穷项反常积分 3、 紧集 二、 计算题 ： (每小题 7 分，共 35 分） 1、 11 21 40 42 xdxtdtdxd x2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 22xy xy3、求 1 )2(nnxnn 的收敛半径和收敛域 4、设 yexeu zyz ，求偏导数和全微分 5、xyxyyx11lim00三、 讨论与验证题 ： (每小题 10分，共 30分） 1、 讨论22222)(),( yxyx yxyxf 的二重极限和二次极限 2、 讨论 ep xxdx10 ln的敛散性
2、3、讨论函数项 )10()( 1 xxxxf nnn 的一致收敛性。 四、 证明题 ： (每小题 10 分，共 20 分） 1、 设 f（ x）连续，证明 dudxxfduuxuf x ux 0 00 )()(2、 证明 )( 22 yxyu 满足 uyxyuxxuy 2 参考答案 一、 1、设 )(xf 在 , ba 连续， )(xF 是 )(xf 在 , ba 上的一个原函数，则成立)()()( aFbFdxxfba 。 2、设函数 )(xf 在 ), a 有定义，且在任意有限区间 , Aa 上可积。若极限 AaA dxxf )(lim 存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散 3、如果
3、 S的任意一个开覆盖 U 中总存在一个有限子覆盖，即存在 U 中的有限个开集 kiiU 1，满足 SUiki 1，则称 S为紧集 二、 1、 11 21 40 42 xdxtdtdxd x=80 4 1212 xxtdtdxd x （ 7 分） 2、解：两曲线的交点为（ -2， 4），（ 1， 1），（ 2 分） 所求的面积为： 29)2(12 2 dxxx（ 5 分） 3、 ： 1)2(lim nn nn，收敛半径为 1（ 4 分），由于 1x 时，级数不收敛，所以级数的收敛域为（ -1， 1）（ 3 分） 4、： xu = yzeyu= 1yzxze zu = zyz exye （ 4 分
4、）dzexyedyx z edxedu zyzyzyz )()1( （ 3 分） 5、解：21)11()11)(11(lim11lim0000 xyxyxyxyxyxyyxyx（ 7 分） 三、 1、解、由于沿 kxy 趋于（ 0， 0）时， 11 10)(lim 22222)0,0(),( kkyxyx yxkxx，所以重极限不存在（ 5 分） 0)(limlim,0)(limlim 222 2200222 2200 yxyx yxyxyx yx xyyx ，（ 5 分） 2、 ： 10 p ，由于 )0(0ln121 xxxxpp 故 ep xxdx10 ln收敛（ 4 分）； 1p ，3
5、 由于 )(ln121 xxxx pp （ 4 分）故 ep xxdx10 ln收敛， 1p ，e xxdx10 ln ，发散（ 2 分）。 3、 )(0)(lim xfxfnn （ 3 分），0)11()1(lims u plim)()(s u plim 1 n nn nxxxfxf nnnnxnnn ，所以函数列一致收敛（ 7 分） 四、 证明题 （每小题 10分，共 20分） 1、 证明： dudxxfx u 0 0 )( = xxxxu duuufduufxduuufdxxfu 00000 )()()()( = x duuxuf0 )( （ 10 分） 2、证明： )(2 22 yxxyxu ， )(2)( 22222 yxyyxyu （ 6 分）uyxyxxyuxxuy )( 22（ 4 分）
