1、- 1 - 第十一课时 数列应用题 教学目标 ： 将等比数列的通项公式和前 n 项求和公式应用到应用题的有关计算中去；增强学生的应用意识，提高学生的实际应用能力 . 教学重点 ： 等比数列通项公式和前 n 项和公式的应用 . 教学难点 ： 利用等比数列有关知识解决一些实际问题 . 教学过程 ： 例 1某人年初向银行贷款 10 万元用于购房 . （）如果他向建设银行贷款，年利率为 5%，且这笔款分 10 次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？ （）如果他向工商银行贷款，年利率为 4%，要按复利计算（即本年的利 息计入次年的本金生息），仍分 10 次等额归还
2、，每年一次，每年应还多少元？ 解：（）若向建设银行贷款，设每年还款 x 元， 则 105 (1 10 5%) x(1 9 5%) x(1 8 5%) x(1 7 5%) x 即： 105 1.5 10x 45 0.05 元，解得 x 1051.512.25 12245(元 ) （）若向工商银行贷款，每年需还 y 元，则： 105 (1 4%)10 y(1 4%)9 y(1 4%)8 y(1 4%) y 即 105 1.0410 1.0410 11.04 1 y 其中： 1.0410 1 10 0.04 45 0.042 120 0.043 210 0.044 1.4802. y 1051.48
3、020.041.4802 12330(元 ) 答：向建设银行贷款，每年应付 12245 元；若向工商银行贷款，每年应付 12330 元 . 例 2用分期付款的方式购买家电一件，价为 1150 元，购买当天先付 150 元，以后每月这一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率为 1%，若交付 150 元后的每一个月开始算分期付款的第一 个月，问分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？ 解：购买时付出 150 元后，余欠款 1000 元，按题意应分 20 次付清，由于每次都必须交50 元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列 设
4、每次交款数额依次为 a1， a2， ， a20 则： a1 50 1000 1% 60 元 ， a2 50 (1000 50) 1% 59.5 元 a10 50 (1000 9 50) 1% 55.5 元 即第 10 个月应付款 55.5 元 . 由于 an是以 60 为首项，以 0.5 为公 差的等差数列，所以有： S20 60（ 60 190.5）2 20 1105(元 ) - 2 - 即全部付清后实际付款（ 1105 150） 1255（元） . 例 3某职工年初向银行贷款 2 万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为 10%，按复利计算（即 将 本年的 本金与利润的
5、总 和 计 为 次年的本金），若这笔贷款要求 10 次等额还清，每年一次， 10 年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？ 分析：逐年分析，寻找规律，建立恰当数学模型 . 解：设贷款额为 a0 元，贷款年利率为 ， 次年 等额归还 x 元，第 n 年还清，则 一年后的欠款数为： a1 (1 )a0 x 二年后的欠款数为： a2 (1 )a1 x (1 )2a0 x（ 1 ） 1 三年后的欠款数为： a3 (1 )a2 x (1 )3a0 x（ 1 ） 2 (1 ) 1 n 年后的欠款数为： an (1 )an 1 x (1 )na0 x(1 )n 1 (1 )n 2 (1 )
6、1 由于 an 0，贷款还清， (1 )na0 x1 (1 )n1 (1 ) ， x(1 )na0(1 )n 1 将 0.1， a0 20000， n 10 代入，得 x 20000.11.1101.110 1 20002.59371.5937 3255 元 . 例 4某人于 1997 年 7 月 1 日在银行按一年定期储蓄的方式存入 a 元， 1998 年 7 月 1日，他将到期存款的本息取出后添上 a 元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年 7 月 1 日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利 率 r 不变，问到 2002 年 7 月1 日他的本息 共有多少？ 分析：逐年
7、分析，寻找规律，建立数学模型 . 解：由题意得： 1998 年本息总数为 a(1 r)， 1999 年本息总数为 a(1 r)2 a(1 r), 2002 年本息总数为： a(1 r)5 a(1 r)4 a(1 r)3 a(1 r)2 a(1 r) 即 a(1 r)1 (1 r)51 (1 r) ar (1 r)6 (1 r) 评述：解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点，仔细观察找规律，一般地，等比数列的特点是增加或减少的百分数相同，为了 分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查 . 例 5某地区荒山 2200 亩，从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树 100 亩
8、，以后每一年比上一年多植树 50 亩 . （ 1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化 ? （ 2）若每亩所植树苗、木材量为 2 立方米，每年树木木材量的自然增长率为 20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为 S，求 S 的表达式 . （ 3）若 1.28 4.3，计算 S (精确到 1 立方米 ). 分析：由题意可知，各年植树亩数为： 100， 150， 200，成等差数列 - 3 - 解： (1)设 植树 n 年可将荒山全部绿化，则： 100n n（ n 1）2 50 2200 解之得 n 8 或 n 11(舍去 ) (2)1995 年所植树，春季木材量为 200 m3
9、，到 2002 年底木材量则增为 200 1.28 m3. 1996 年所植树到 2002 年底木材量为 300 1.27 m3. 2002 年所植树到年底木材量为 900 1.2 m3，则：到 2002 年底木材总量为： S 200 1.28 300 1.27 400 1.26 900 1.2 (m3) (3)S 900 1.2 800 1.22 700 1.23 200 1.28 1.2S 900 1.22 800 1.23 300 1.28 200 1.29，两式相减得： 0.2S 200 1.29 100(1.22 1.23 1.28) 900 1.2 200 1.29 100 1.2
10、2（ 1.27 1）1.2 1 900 1.2 1812 S 9060( m3) - 4 - 数列应用题 例 1某人年初向银行贷款 10 万元用于购房 . （）如果他向建设银行贷款， 年利率为 5%，且这笔款分 10 次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？ （）如果他向工商银行贷款，年利率为 4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分 10 次等额归还，每年一次，每年应还多少元？ 例 2用分期付款的方式购买家电一件，价为 1150 元，购买当天先付 150 元，以后每月这一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率为 1%，若交付 150
11、 元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电 器实际花费多少钱？ 例 3某职工年初向银行贷款 2 万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为 10%，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金），若这笔贷款要求 10 次等额还清，每年一次， 10 年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？ - 5 - 例 4某人于 1997 年 7 月 1 日在银行按一年定期储蓄的方式存入 a 元， 1998 年 7 月 1日，他将到期存款的本息取出后添上 a 元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年 7 月 1 日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银 行定期储蓄的年利 率 r 不变，问到 2002 年 7 月1 日他的本息共有多少？ 例 5某地区荒山 2200 亩，从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树 100亩，以后每一年比上一年多植树 50 亩 . （ 1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化 ? （ 2）若每亩所植树苗、木材量为 2 立方米，每年树木木材量的自然增长率为 20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为 S，求 S 的表达式 . （ 3）若 1.28 4.3，计算 S (精确到 1 立方米 ).
