1、三垂线定理及其逆定理的练习课教案 教学目标 1进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理； 2理解公式 cos 1 cos 2 cos的证明及其初步应用；（课本第 122 页第 3 题） 3理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用； 4了解课本第 33 页第 11 题 教学重点和难点 教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学的难点是在讲公式 cos 1 cos 2 cos应用时比较 2与的大小 教学设计过程 师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步 应用了这两个定理来解一些有关的题今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例 1
2、例 1 如图 1， AB 和平面所成的角是 1； AC 在平面内， BB平面于 B， AC 和 AB 的射影 AB成角 2，设 BAC求证： cos 1 cos 2 cos 师：这是要证明三个 角 1， 2和的余弦的关系， 1已经在直角 ABB中，我们能否先作出两个直角三角形分别使 2和是这两个直角三角形中的锐角 生：作 B D AC 于 D，连 BD，则 BD AC 于 D这时 2是直角 B DA 中的一个锐角，是直角 ABD 中的一个锐角 师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用现在已经知道 1、 2和分别在三个直角三角形中，根据三角函
3、数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式 师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理当然也可用它的逆定理 这个公式是在课本第 121 页总复习参考题中的第 3 题我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式那我们要问在什么条件下可用这个公式 ？ 生：因为 1是斜线 AB 与平面所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式 师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定 1表示斜线与平面所成的角， 2是平面内过斜足的一条射
4、线与斜线射影所成的角，是这条射线与斜线所成的角下面我们来研究一下这个公式的应用 应用这个公式可解决两类问题 第一是求值即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值 例如： 60，这时 2； 当 1 45， 2 135时， cos cos45 cos135 第二是比较 2与的大小因为我们已经规定 1是斜线与平面所成的角，一定有 0 1 90，它的大小不变，为了比较 2与的大小，下面分三种情况进行讨论 （ 1） 2 90，因为 2 90，所以 cos 2 0，因此 cos cos 1 cos 2 0，故 90当 90时，我们也可以证明 2 90 一条直线如果和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂
5、直这就是三垂线定理 一条直线如果和斜线垂直，那么 它就和斜线的射影垂直这就是三垂线定理的逆定理 所以，我们可以这样说，这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般情况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特殊情况 现在我们来研究在 2 是锐角时， 2与的大小 （ 2） 0 2 90 师：在这个条件下，我们怎样来比较 2与的大小？ 生：因为 0 1 90，所以 0 cos 1 1，又因为 0 2 90，所以 0 cos 2 1又因为 cos cos 1 cos 2，所以 0 cos 1 1，而且 cos cos 1 cos 2 cos 2，在锐角条件下 ，余弦函数值大的它所对应的角小所以 2 师：现在我们来
6、讨论当 2是钝角时， 2与的大小 （ 3） 90 2 180 在这个条件下，我们不再用公式 cos 1 cos 2 cos做理论上的证明来比较 2 与的大小，而是一起来看模型（或图形） 我们假设 2的邻补角为 2，的邻补角为，即 2 2 180， 180在模型（或图形）中我们可以看出当 2是钝角时，也是钝角，所以它们的两个邻补角 2和都是锐角，由对第二种情况的讨论我们知道 2由等量减不等量减去 小的大于减去大的，所以由 2 180 2， 180，可得 2 根据以上讨论现在小结如下： 当 2 90时， 2 90，它们都是直角 当 0 2 90时， 2，它们都是锐角； 当 90 2 180时， 2
7、，它们都是钝角 关于公式 cos 1 cos 2 cos的应用，今后还要随着课程的进展而反复提到现在我们来看例 2 例 2 如图 2，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证： （ 1） A1C平面 C1DB 于 G； （ 2）垂足 G 为正 C1DB 的中心； （ 3） A1G 2GC 师：我们先来证明第（ 1）问要证直线与平面垂直即要证什么？ 生：要证 A1C 与平面 C1DB 内两条相交的直线垂直 师：我们先证 A1C 为什么与 DB 垂直？ 生：连 AC，对平面 ABCD 来说， A1A 是垂线， A1C 是斜线， AC 是 A1C 在平面 ABCD上的射影，因为 AC DB（正方
8、形的性 质），所以 A1C DB（三垂线定理） 同理可证 A1C BC1 因为 A1C平面 C1DB（直线与平面垂直的判定理） （在证 A1C BC1时，根据情况可详、可略，如果学生对应用三垂线定理还不太熟悉，则可让学生把这证明过程再叙述一遍，因为这时是对平面 B1BCC1来说，A1B1 是垂线， A1C 是斜线， B1C 是 A1C 在平面 B1BCC1上的射影，由 B1C BC1，得 A1C BC1） 师：现在来证第（ 2）问，垂足 G 为什么是正 C1DB 的中心？ 生：因为 A1B A1C1 A1D，所以 BG GC1 DG，故 G 是正 C1DB 的外心，正三角形四心合一，所以 G
9、是正 C1DB 的中心 师：现在来证第（ 3）问，我们注意看正方体的对角面 A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？ 生：在正方体的对角面 A1ACC1内，由平面几何可知 A1GC1 OGC，且 A1C1OC A1G GC，所以 A1G GC 2 1，因此 A1G 2GC 师：例 2 是在正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直引申而来，而例 2 也是一个基本的题型，对于以后证有关综合题型时很有用所以对例 2 的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记住现在我们来看例 3 例 3 如图 3，已知： Rt ABC 在平面内， PC平面于 C， D 为斜边 AB的中点， CA 6， CB 8，
10、PC 12求： （ 1） P， D 两点间的距离； （ 2） P 点到斜边 AB 的距离 师：现在先来解第（ 1）问，求 P， D 两点间的距离 师：现在我们来解第（ 2）问，求 P 点到 AB 边的距离 生：作 PE AB 于 E，连 CE 则 CE AB（三垂线定理的逆定理） PE 就是 P点到 AB 边的距离 师：要求 PE 就要先求 CE， CE 是直角三角形 ABC 斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？ 生：可用等积式 CE AB AC CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积 师：这个等积式是怎样证明的？ 生：有两种证法因 CE AB 是 Rt ABC 面
11、积的二倍，而 AC CB 也是 RtABC 面积的二倍，所以它们相等；也可用 BCE ABC，对应边成比例推出这个等积式 师：这个等积式很有用，根据这个等积式，我们可以由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式以后在求有关距 离问题时会常常用到，所以要理解、记住、会用现在就利用这等积式先求 CE，再求 PE 师：通过这一题我们要区分两种不同的距离概念及求法；在求点到直线距离时，经常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高现在我们来看例 4 例 4 如图 4，已知： BAC 在平面内， PO ， PO平面于 O如果 PAB PAC 求证： BAO
12、CAO （这个例题就是课本第 32 页习题四中的第 11 题这个题也可以放在讲完课本第 30 页例 1 以后讲不论在讲课本第 30 页例 1，还是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在观察模型后，得出相关的结论，然后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得 具体、实在，因而效果也较好） 师：当我们观察了模型后，很容易就猜想到了结论即斜线 PA 在平面上的射线是 BAC 的角平分线所在的直线，现在想一想可以有几种证法？ 生：作 OD AB 于 D，作 OE AC 于 E，连 PD， PE，则 PD AB， PE AC 所以 Rt PAD Rt PAE，因此 PD PE，故 OD OE，所以
13、 BAO CAO 师：今天我们讲了公式 cos 1 cos 2 cos能否用这公式来证明这题 （利用这公式来证明这个题，完全是由学生想到的，当然如果有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必要的提 示） 生：因为 PAO 是斜线与平面所成的角，所以可以考虑用公式 cos 1 cos 2 cos PAO 相当于 1； PAB PAC 它们都相当于，由公式可得 2 2，即 BAO CAO 师：今天我们是应用三垂线定理及其逆定理来解这四个例题例 1、例 2、例 4 是三个基本题对这三个题一定要会证、记住、会用关于这三个题的应用，以后还会在讲课过程中反复出现在高考题中也曾用到 作业 课本第 33 页第
14、13 题 补充题 1已知： BSC 90，直线 SA平面 BSC S ASB ASC 60，求 ：SA 和平面 BSC 所成角的大小 45 2已知： AB 是平面的一斜线， B 为斜足， AB a直线 AB 与平面所成的角等于， AB 在平面内的射影 A1B 与平面内过 B 3已知： P 为 Rt ABC 所在平面外一点， ACB 90， P 到直角顶点 C 的距离等于 24， P 到平面 ABC 的距离等于 12， P 到 AC 4已知： BAC 在平面内， PA 是平面的斜线， BAC 60， PAB PAC 45 PA a， PO平面于 O PD AC 于 D， PE AB 于 E求：
15、（ 1） PD 的长； 课堂教学设计说明 1如前所述，在学习过三垂线定理及其逆定理以后，教学要达到第二个“高潮”也就是说要学生在这一学科的学习上攀登上第二个高峰攀登第二个高峰要比攀登第一个高峰（求异面直线所成的角）要困难得多因为题型较杂，知识面较广，思路较活这都给学习造成很大的困难但是，也正是这种困难才能激发起学生的学习兴趣和积极性所以我不论是在北京师大二附中还是在北京九十二中教 学时都安排了一节新课，三节到四节练习课，采用精讲多练的方法，使学生见到的题型更多，解题的思路更活使他们比较容易地登上新的高峰，从而使以后的学习较为顺利 2在解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理是我们讲课
16、的重点，也是时刻要把握住的中心环节特别是一个空间图形有多个平面时，首先要找出“基准平面”，也就是说对于哪一个平面来用三垂线定理或其逆定理，在“基准平面”找出后，再找出“第一垂线”，也就是垂直“基准平面”的直线，然后斜线、射影也就迎刃而解了 3在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下 述四个基本题： （ 1） ABC 是直角三角形， ACB 90， PA平面 ABC求证： BC平面PAC （ 2）课本第 122 页第 3 题 （ 3）课本第 33 页第 11 题 （ 4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直 因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合题和与之对应的综合图形之
17、中，并且往往起着决定性作用因此，在我们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解这是在解立体几何题时又一重要的化归思想 “综合图形基本化”（请 参看数学通报 1998 年第 2 期化归方法与立体几何教学） 这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型对这四个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记住这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是向上攀登必不可缺的台阶 4为了利用公式 cos 1 cos 2 cos来比较 2与的大小，特选三题供老师们选用 （ 1）二面角 -AB-的平面角是锐角，
18、C 是内一点（它不在棱上），点 D是 C 在内的射影，点 E 是棱 AB 上任一点， CEB 为锐角，求证： BEC DEB （提示： CED 相当于 1， DEB 相当于 2， CEB 相当于， 2） （ 2）在 ABC 中， B， C 是两个锐角， BC 在平面内， AA平面于A， A BC 上，求证： BAC BA C （提示： ABA相当于 1， A BC 相当于 2， ABC 相当于，因为ABC 为锐角，所以 A BC 也为锐角，故 2） AC 15， A1B 5， A1C 9试比较这两个三角形的内角 A 和 A1的大小 （提示：由 cos BAC cos BA1C，得 BAC BA1C，又因为 ABC 是钝角， ABC A1BC，而 ACB 是锐角， ACB A1CB， 所以才有可能得出 BACBA1C）
