1、北京市东城区 2015-2016 学年第一学期期末考试高二数学（理科）本试卷共 100 分，考试时长 120 分钟。一、选 择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知 ，则直线 AB 的斜率为（ ） 来源:学*科*网 Z*X*X*K)5,3(,1(BAA. 2 B. 1 C. D. 不存在212. 圆心为 且过点 的圆的方程是（ ）),(),(A. B. 5232yx 5)2()3(2yxC. D. )()(3. 已知直线 与直线 互相垂直，则 （ ）006mmA. 1 B. C. 1 D. 4414. 已知 表示两
2、条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）nm, A. 若 ，n ，则 mn B. 若 m ， ，则 mnC. 若 m ，m n，则 n D. 若 m ，mn，则 n5. 双曲线 的实轴长是（ ）822yxA. 2 B. C. 4 D. 246. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 在平面直角坐标系 中，M 为不等式组 ，所表示的区域上一动点，则直线xOy08312yxOM 斜率的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 231218. 已知抛物线 的焦点为 F， 是 C 上一点， ，则 （ ）xyC: ),(0
3、yxA045|xAFA. 1 B. 2 C. 4 D. 89. 过点 的直线 与圆 有公共 点，则直线 的倾斜角的取值范围是（ P)1,3(l12l）A. B. C. D. 6,0(,0(6,03,010. 点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到 图形 C 的距离，那么平面内到定圆 C的距离 与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 直线二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11. 双曲线 的两条渐近线的方程为_。192yx12. 以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，
4、若等腰直角三角形的直角边长为 1，则所得圆锥的侧面积等于_。13. 已知 ，则 _。)2,0(),(ba|ba14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水l面宽_米。15. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P 为直线 上一点，)0(1:2bayxC1F2ax23 是底角为 30的等腰三角 形，则 C 的离心率为_。12PF16. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 E、F 分别 是棱 BC， 的中点，P1DBA1C是侧面 内一点，若 平面 AEF，则线段 长度的取值范围是_。1BPP来源:学+科+ 网 Z+X+X+K三、解答题（本大题共
5、 5 小题，共 52 分。解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是菱形，PA PB ，且侧面 PAB平面 ABCD，ABCDP点 E 是 AB 的中点。（ ）求证：CD 平面 PAB；（）求证：PEAD。18 .（本小题满分 10 分）已知圆 C 经过 两点，且圆心在直线 上。)1,(3,BAxy（）求圆 C 的方程；（）设直线 经过点（2， 2），且 与圆 C 相交所得弦长为 ，求直线 的方程。l l 32l19.（本小题满分 10 分）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为 ，且它的对角线04,01yxyx的交点为
6、 ，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程。)3,(M20.（本小题满分 11 分）如图，PA平面 ABC，AB BC， 为 PB 的中点。MBCPA,2（）求证：AM平面 PBC；（）求二面角 的余弦值；BPCA（）证明：在线段 PC 上存在点 D，使得 BDAC ，并求 的值。PD21.（本小题满分 11 分）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，短轴长为 2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 交椭圆于 P，Q 两点。l（）求椭圆的方程；（）当直线 的斜率为 1 时，求 POQ 的面积；l（）在线段 OF 上是否存在点 ，使得以
7、 MP，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若)0,(mM存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。【试题答案】一、选择题1. A 2. D 3. C 4. B 5. C6. B 7. A 8. A 9. D 10. D二、填空题11. 12. 13. xy4321714. 15. 16. 624325,43三、解答题17. 解：（）因为底面 ABCD 是菱形，所以 CDAB 。 2 分又因为 平面 PAB， 4 分CD且 平面 PAB，AB所以 CD平面 PAB。 5 分（）因为 PAPB，点 E 是 AB 的中点，来源:学科网所以 PEAB 。 6 分因为平面 PAB平面 ABCD，平
8、面 平面 ABCDAB，PAB平面 PAB， 8 分E所以 PE平面 ABCD。 9 分因为 平面 ABCD，D所以 PEAD。 10 分18. 解：（）设圆 C 的圆心坐标为 ，),(a依题意，有 ，2222 )1()3()1( a即 ，解得 ， 2 分962所以 ， 4 分4)13()(222r所以圆 C 的方程为 。 5 分)(2yx（）依 题意，圆 C 的圆心到直线 的距离为 1，l所以直线 符合题意。 6 分2设直线 方程为 ，即 ，l )2(xky 02kyx则 ，解得 ，1|3|2k34所以直线 的方程为 ，即 。 9 分l )2(xy 0234yx综上，直线 的方程为 或 。
9、10 分019. 解：联立两条直线的方程，得到方程组.043,1yx解此方程组，得 .47,3yx如图，平行四边形 ABCD 的一个顶点是 。 2 分)47,3(A设 ，由题意，点 M（3，3）是线段 AC 的中点，),(0yxC所以 ， 4 分247,30解得 。 5 分1,00yx由已知，直线 AD 的斜率 ，3ADk因为直线 BCAD ，所以，直线 BC 的方程为 ，)427(1xy即 。 7 分0163yx由已知，直线 AB 的斜率为 。ABk因为直线 CDAB，所以，直线 CD 的方程为 ，)427(1xy即 。 9 分01yx因此，其他两边所在直线的方程是 。 10 分01,016
10、3yxy20. 解：（）因为 PA平面 ABC， 平面 ABC，BC所以 PABC，因为 BCAB ， ，AP所以 BC平面 PAB，又 平面 PAB，AM所以 AMBC ，因为 PAAB ， M 为 PB 的中点，所以 AMPB，又 ，BCP所以 AM平面 PBC。 3 分（）如图，在平面 ABC 内，作 AZBC ，则 两两互相垂直，建立空间直角坐AZBP,标系 ，xyzA则 ， 。)1,20(),()0,2(),(CBPA)0,(M，来源:学科网 ZXXK来源:Zxxk.ComA设平面 APC 的法向量为 ，则),(zyxn即,0ACnP.02,zyx令 ，则 ，1y所以 。 5 分),
11、(由（）可知 为平面 BPC 的法向量，)0,1(M设 的夹角为 ，则 ，An,cos因为二面角 为锐角，BPC所以二面角 的余弦值为 。 7 分10（）设 是线段 PC 上一点，且 ，),(wvuD)10(PCD即 ，,2,2所以 ，,所以 ，),(B由 ，得 。 9 分0ACD54因为 ，所以在线段 PC 上存在点 D，使得 BDAC，1,54此时， 。 11 分P21. 解：（）由已知，椭圆方程可设为 。 1 分)0(12bayx因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴 长为 2，所以 。2,1acb所求椭圆方程为 。 3 分1yx（）因为直线 过椭圆右焦点 ，且斜率为 1，
12、所以直线 的方程为 。l)0,(Fl1xy4 分设 。),(),(21yxQP由 得 ，解得 ，,2y01331,21y所以 。 6 分32|21|211 yyOFSPQ（）假设在线段 OF 上存在点 ，使得以 MP，MQ 为邻边的平行四边形)10)(,mM是菱形。因为直线 与 x 轴不垂直，所以设直线 的方程为 。l l )0(1kx由 可得 ，),1(22kyx 024)(22kxk因为 ，)1(846所以 。 8 分22121,kxkx设 的中点为PQyP)(),( ),(0yxN所以 ，20201,1kkx因为以 MP，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以 MNPQ ， ，MN所以 ，121kmkN整理得 ，kk。221m所以 ， 10 分)0(k所以 。 11 分20
