1、原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页 1 第一章 1.1 若卢瑟福散射用的 粒子是放射性物质镭 C 放射的，其动能为 67.68 10 电子伏特。散射物质是原子序数 79Z 的金箔。试问散射角 150 所对应的瞄准距离 b 多大？ 解：根据卢瑟福散射公式： 2002 22442 KMvc tg b bZ e Z e 得到： 2 1 9 2 150 15221 2 6 1 907 9 ( 1 .6 0 1 0 ) 3 .9 7 1 04 ( 4 8 .8 5 1 0 ) ( 7 .6 8 1 0 1 0 )Z e c tg c tgb K 米 式中 212K Mv 是 粒子的功能。
2、1.3 钋放射的一种 粒子的速度为 71.597 10 米 /秒，正面垂直入射于厚度为 710 米、密度为 41.932 10 3/公 斤 米 的金箔。试求所有散射在 90 的 粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为 197 。 解：散射角在 d 之间的 粒子数 dn 与入射到箔上的总粒子数 n 的比是： dn Ntdn 其中单位体积中的金原子数： 0/A u A uN m N A 而散射角大于 090 的粒子数为：2dn dn nN t d 所以有：2dn N t dn 22 2 1 8 002 90 30c o s12 2( ) ( )4 s in2AuN ZetdA M u 等式
3、右边的积分： 1 8 0 1 8 09 0 9 033c o s s in2221s in s indId 故 原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页 2 2 2202012( ) ( )4AuNdn Z etn A M u 64 0 08 . 5 1 0 8 . 5 1 0 即速度为 71.597 10 / 米 秒的 粒子在金箔上散射，散射角大于 90 以上的粒子数大约是4 008.5 10 。 1.4 能量为 3.5 兆电子伏特的细 粒子束射到单位面积上质量为 22 /1005.1 米公斤 的银箔上， 粒子与银箔表面成 60 角。在离 L=0.12 米处放一窗口面积为 25100
4、.6 米 的计数器。测得散射进此窗口的 粒子是全部入射 粒子的百万分之 29。若已知银的原子量为107.9。试求银的核电荷数 Z。 解：设靶厚度为 t 。非垂直入射时引起 粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度 t ，而是 60sin/tt ，如图 1-1 所示。 因为散射到 与 d 之间 d 立体 角内的粒子数 dn 与总入射粒子数 n 的比为： dn Ntdn (1) 而 d 为： 2s in)()4 1(422220 dMvzed （ 2） 把（ 2）式代入（ 1）式，得： 2s in)()4 1(422220 dMvzeNtndn （ 3） 式中立体角元 002 20,3/260s
5、 in/,/ tttLdsd N 为原子密度。 Nt 为单位面上的原子数， 10 )/(/ NAmNt AgAg ，其中 是单位面积式上的质量； Agm 是银原子的质量； AgA 是银原子的原子量； 0N 是阿佛加德罗常数。 将各量代入（ 3）式，得： 2s in)()4 1(32 4222200 dMvzeANndnAg60 t, t 20 60 图 1.1 原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页 3 由此，得： Z=47 1.5 动能为 40MeV 的粒子和静止的铅核 (Z=82)作对心碰撞时的最小距离是多少 ? 解：由公式 : )2/s in ( 1124 1 2020 MvZ
6、erm , 当对心碰撞时 , , 1)2/sin( ,则 m)(109.5106.11040 )106.1(82210924 1 15196 219920 EZer m 1.6 动能为 0.87MeV 的质子接近静止的汞核 (Z=80),当散射角 2/ 时 ,它们之间的最小距离是多少 ? 解：最小距离为 : )2/s i n ( 1124 1)2/s i n ( 114 1 202020 ppm EZevmZer m)(1060.145s i n 11106.11087.02 106.180109 13196 2199 ）（ 1.7 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速
7、度。 解：电子在第一玻尔轨道上即年 n=1。根据量子化条件， 2hnmv rp 可得：频率 21211 222 mahmanhav 赫兹151058.6 速度： 611 101 8 8.2/2 mahav 米 /秒 加速度： 222122 /100 4 6.9/ 秒米 avrvw 1.9 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。 解：电离能为 1EEEi ，把氢原子的能级公式 2/nRhcEn 代入，得： R h chcRE Hi )111( 2 = 13.60 电子伏特。 电离电势： 60.13 eEV ii伏特 第一 激发能： 20.1060.134343)2111(
8、22 R h chcRE Hi电子伏特 第一激发电势： 20.1011 eEV伏特 原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页 4 1.10 用能量为 12.5 电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？ 解：把氢原子有基态激发到你 n=2,3,4等能级上去所需要的能量是： )111( 22 nhcRE H 其中 6.13HhcR 电子伏特 2.10)211(6.13 21 E 电子伏特 1.12)311(6.13 22 E 电子伏特 8.12)411(6.13 23 E 电子伏特 其中 21 EE和 小于 12.5 电子伏特， 3E 大于
9、12.5 电子伏特。可见，具有 12.5 电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到 4n 的能级上去，所以只能出现 3n 的能级间的跃迁。跃迁时可能发出的光谱线的波长为： ARRARRARRHHHHHH1 0 2 598)3111(11 2 1 543)2111(16 5 6 536/5)3121(13223222212211.11 试估算 一次电离的氦离子 eH 、二次电离的锂离子 iL 的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。 解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些。 a) 氢原子和类氢离子的轨
10、道半径： 31,2132,1,105 2 9 1 7 7.0443,2,1,4410222012122220LiHHLiHHHHeZZrrZZrrZLiZHZHZmehanZnam Z enhre径之比是因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中b) 氢和类氢离子的能量公式： 原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页 5 3,2,1,)4( 2 2212220 242 nnZEhn ZmeE 其中 基态能量。电子伏特，是氢原子的6.13)4( 2 220421 hmeE 电离 能之比： 900,4002222HLiHLiHHeHHeZZEE
11、ZZEEc) 第一激发能之比： 91121132341121122222122122122112122212212212211212EEEEEEEEEEEEEEEEHHLiLiHHHeHed) 氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式： )11( 22221 nnRZv ， 3,2,11 112 )2(),1( n nnn 其中32042)4( 2 hmeR 是里德伯常数。 氢原子赖曼系第一条谱线的波数为： HH Rv 1)2111(221 相应地，对类氢离子有： LiLiHeHeRvRv12221122211)2111(31)2111(2因此， 原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页 6
12、91,41 1111 HLiHHe1.15 试问二次电离的锂离子 iL 从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子，是否有可能使处于基态的一次电离的氦粒子 eH 的电子电离掉？ 解： iL 由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为： eH 的电离能量为： LiHeHeLiHeLiHeHeHeMmMmRRhvhvh c Rh c Rv/1/1162716274)111(4 2由于 LiHeLiHe MmMmMM /1/1, 所以 ， 从而有 HeLi hvhv ，所以能将 eH 的电子电离掉。 1.17 已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由
13、第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长 为多少 A ？ 解： RmmRR ee 83431 1)2111(1 22 AR 24301 0 9 7 3 7 3 13 13 8 米1.18 氢与其同位素氘（质量数为 2）混在同一放电管中，摄下两 种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条（ H ）光谱线之间的波长差 有多大？已知氢的里德伯常数17100 9 6 7 7 5 8.1 米HR ，氘的里德伯常数 17100 9 7 0 7 4 2.1 米DR 。 解： )3121(1 22 HH R， HH R5/36 )3121(1 22 DD R ， DD R5/36 原子与原子核物理学习题答案 共 31
14、页 第 页 7 ARR DHDH79.1)11(536 1.19 Li 原子序数 Z=3，其光谱的主线系可用下式表示： 22 )0 4 0 1.0()5 9 5 1.01( n RRv。已知锂原子电离成 Li 离子需要 203.44 电子伏特的功。问如把 Li 离子电离成 Li 离子，需要多少电子伏特的功？ 解：与氢光谱类似，碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的 p 能级向基态跃迁而产 生的。一次电离能对应于主线系的系限能量，所以 Li 离子电离成 Li 离子时，有电子伏特35.5)5951.01()5951.01( 221 hcRR h cR h cE Li 是
15、类氢离子，可用氢原子的能量公式，因此 LiLi 时，电离能 3E 为：电子伏特4.1221 2223 hcRZR h cZE R。 设 LiLi 的电离能为 2E 。而 LiLi 需要的总能量是 E=203.44 电子伏特，所以有 电子伏特7.75312 EEEE 1.20 试证明氢原子中的电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道，发射光子的频率 n 。当 n1 时光子频率即为电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。 证明：在氢原子中电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数为：)1( 111 22 nnRv nn 频率为： Rcnn nnnRccv n 2222 )1( 12)1( 11 当
16、n时，有 3422 /2/2)1(/)12( nnnnnn ，所以在 n1 时，氢原子中电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的频率为： 3/2 nRcvn 。 设电子在第 n 轨道上的转动频率为 nf ，则 原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页 8 322 2222 nRcmrPmrm v rrvf n 因此，在 n1 时，有 nn fv 由上可见，当 n1 时，请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。这说明，在 n 很大时，玻尔理 论过渡到经典理论，这就是对应原理。 2.4经过 10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长 是多少 用上
17、述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？ 解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系： meVh 2/ 对于电子： 把上述二量及 h 的值代入波长的表示式，可得： 库仑公斤， 1931 1060.11011.9 em AAAV 1 2 2 5.01 0 0 0 025.1225.12 对于质子， 库仑公斤， 1927 1060.11067.1 em ，代入波长的表示式，得： A3192734 108 6 2.21 0 0 0 01060.11067.12106 2 6.6 2.9假设粒子只在一维空间运动，它的状态可用如下波函数来描写： 0 0 ,( , )s i n 0i Etx x axt A
18、 e x x aa 式中， E 和 a 分别为确定常数， A 为归一化系数，计算归 化的波函数和概率密度。 解：根据波函数的归一化条件，有 2 2 2 200( , ) s i n 12aa xax t d x A d x Aa 得 2A a 故归一化波函数为 axxaeaaxxtx Eti 0s in2,00),( 相应的概率密度 ()Px20 0 ,2 sin 0x x ax x aaa 2.10 假设氢原子处于 n =3, l =1 的激发态 ,问原子的轨道角动量如何？其在空间有哪些可能取向 ?计算各可能取向的角动量与 z 轴之间的夹角。 原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页
19、 9 解：由于轨道角动量由角量子数决定，而角量子数为 =1,则轨道角动量取值为： 2)1( llPl ，角动量空间取向有三 个， 1,0lm 即 2.11 史特恩 -盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为310ZB 特斯拉 /米，磁极纵向范围 1L =0.04 米 (见图 2-2)，从磁极到屏距离 2L =0.10 米，原子的速度 2105v 米 /秒。在屏上两束分开的距离 002.0d 米。试确定原子磁矩在磁场方向上投影 的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计）。 解：银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线；在 2L区域粒子不受力作惯性运动
20、。经磁场区域 1L 后向外射出时粒子的速度为 v ，出射方向与入射方向间的夹角为 。 与速度间的关系为： vvtg 粒子经过磁场 1L 出射时偏离入射方向的距离 S 为： ZvLZBmS 21 )(21 （ 1） 将上式中用已知量表示出来变可以求出 Z 22122121122/,vLLZBmdSdSvLLZBmtgLSvLZBmvvLtZBmmfaatvZZZ把 S 代入（ 1）式中，得： 2212 21 22 vLZBmv LLZBmd ZZ 整理，得： 2)2(22121 dLLvLZBmZ 由此得： 特焦耳 /1093.0 23Z 第三章 3.1 已知 Li 原子光谱主线系最长波长 A6
21、707 ，辅线系系限波长 A3519 。求锂原2 h p 4 h h 原子与原子核物理学习题答案 共 31 页 第 页 10 子第一激发电势和电离电势。 解：主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为 1V ，电离电势为 V ，则有： 伏特。伏特375.5)11(850.111ehcVchcheVehcVcheV3.2 Na 原子的基态 3S。已知其共振线波长为 5893A ，漫线系第一条的波长为 8193A ，基线系第一条的波长为 18459A ，主线系的系限波长为 2413A 。试求 3S、 3P、 3D、 4F
22、各谱项的项值。 解：将上述波长依次记为 AAAA pfdppfdp2 4 1 3,1 8 4 5 9,8 1 9 3,5 8 9 3,m axm axm axm axm axm ax 即容易看出： 16m a x3416m a x3316m a x3163106 8 5.01102 2 7.11104 4 7.211101 4 4.41米米米米fDFdpDpPPPSTTTTTvT3.3 K 原子共振线波长 7665A ，主线系的系限波长为 2858A 。已知 K 原子的基态 4S。试求4S、 4P 谱项的量子数修正项 ps , 值各为多少？ 解：由题意知： PPspp vTAA /1,2 8 5 8,7 6 6 5 4m a x 由24 )4( sRT S ，得： Sk TRs 4/4 设 RRK ,则有m a x411,229.2PPPTs
