第二章、第三章典型习题.doc

第二章线性方程组的直接方法第三章：线性方程组的迭代求解补充：设线性方程组：（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算 ，和；（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。答案：解：（1）故，。 （2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：，则，故，从而Gauss-Seidel迭代法发散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：，则，故，从而Jacobi迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为： 和