1、物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 1 页 共 8 页 物理光学作业参考答案 13-1 波长 nm500 的单色光垂直入射到边长 3cm 的方孔，在光轴（它通过孔中心并垂直孔平面）附近离孔 z 处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。 解：夫琅和费衍射条件为： zyxk 2 )( m ax2121 即： mnmyxz 9 0 0109.05 0 0 )1015()1015()( 122626m a x2121 13-3平行光斜入射到单缝上，证明：（ 1）单缝夫琅和费衍射强度公式为 20)s in( s in)s in( s ins in iaiaII式中，
2、 0I 是中央亮纹中心强度； a 是缝宽； 是衍射角， i 是入射角（见图）。 证明： （ 1） 建立如图所示坐标系，则 入射光的波矢： 缝上任意点 Q 的位矢： 单逢上光场的复振幅为： 因此， 观察面上的夫琅和费衍射场为： （其中： ） i X 1 Q X P )co s,0,(sin iikk )0,( 11 yxr 1s i n1 )( xiikrki AeAexE )s in( s in)s in( s ins in )(1)()2(1122)s in( s in)2(11s in22s in)2(11221)2(11211211112111121iaiaaezAdxeeziAdxee
3、eziAdxexEezixEzxzikaaxiikzxzikxikaaxiikzxzikxzxikaazxziksin1 zx物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 2 页 共 8 页 所以，观察面上的光强分布为： 式中： （ 2）第一暗点位置： 13-4在不透明细丝的 夫琅和费衍射 图样中，测得暗条纹的间距为 1.5mm，所用透镜的焦距为 30mm，光波波长为 632.8nm。问细丝直径是多少？ 解： 根据互补屏衍射原理，不透明细丝的 夫琅和费衍射 图样与相同宽度单缝的 夫琅和费衍射 图样除中心点之外是相同的， 而 衍射 图样中暗条纹的间距等于中 央亮纹宽度的一
4、半，因此，有： mmmmfxafafx013.0102 6 5 6.1305.1 108.632 26即细丝直径是 0.013mm. 13-6导出外径和内径分别 为 a 和 b 的圆环（见图）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当 b=a/2时，（ 1）圆环衍射与半径为 a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（ 2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。（注： 144.31 Z ） 解： 半径为 a 的圆孔在衍射场 P 点产生的振幅为： ka kaJcaka kaJEEa )(2)(2 1210 其中 c 为比例系数，因为场 中心振幅 0E 正比于圆孔的面积 2a 。圆孔中的圆屏使 P 点的振幅减小： 20*
5、 )s in( s in)s in( s ins in )()(iaiaIxExEI210 )( azAI )s in(s in iaai sinsinaii 2s in2c o s2iai c o s 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 3 页 共 8 页 kbkbJcbE b )(2 12因此，圆环在 P 点产生的振幅为： )()(2 1212 kb kbJbka kaJacEEEbah 圆环在 P 点产生的强度为： 22111122222142111422 )()(2)()(4 Z ZJZ ZJbaZ ZJbZ ZJacEI hh 式中， kbZkaZ
6、21 , 。对于衍射场中心， 021 ZZ ，相应的强度为： 2222224420 )(2444)( bacbabacI h 当 b=a/2 时， （ 1） 4222220 1692)( acaacIh 所以，圆环衍射与半径为 a 的圆孔衍射图样的中心强度之比： 169169424200 acacIIah （ 2） 圆环衍射强度的第一个零值满足 : 0)()( 1212 kb kbJbka kaJa 即 )21(2)()(111 kaJakbbJkaaJ 利用贝塞耳函数表解上方程，得到： 144.31 kaZ 因此，圆环衍射强度的第一个零点的角半径为： aa 51.02144.3 13-7 不
7、透明屏幕上有一孔径 ，用一个向 P 点会聚的球面波照明， P 点位于孔径后面与孔径相距 z 的平行平面上，如图所示。 (1)求出孔径平面上入射球面波的傍轴近似，设 P 点分别位于 Z 轴上和轴外 (0， y1)点两种情形。 (2)假设孔径 面到观察面之间为菲涅耳衍射区，证明在上述两种情形下，观察到的强度分布是孔径 的夫琅和费衍射，且分布中心在 P 点。 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 4 页 共 8 页 解： （ 1）孔径 平面上任意考察点 (0,y0)处光场的复振幅分布为： k 为波数。对相位因子中的 r 取傍轴近似： 则复振幅分布： 当 P 点位于 z
8、 轴上时， 01y ， 则有： （ 2）入射球面波被孔径 衍射后，在观察面上复振幅分布为： 此结果表明，观察面上复振幅分布 )(yE 就是平行光垂直照射孔径 的夫琅和费衍射场分布，只不过分布的中心在 (0,y1)点处，即 P 点处。 当 P 点位于 z 轴上时， 01y ， 此时只是上述情况的特例 ： ikrikr ezAerAyE )( 02 )(1)( 2 2012201 z yyzzyyr )(2e x p )( 2010 yyzkiezAyE ikz 0)()(220)(2)(2020001212202011)(2e x p )(1)(dyeeziAdyeeezAezidyyyziky
9、EeziyEyyyzkiyyzkiyyzkiyyzkiik zik zik z)2e x p ()( 200 yzkiezAyE ik z 0220)(2202000220201)(2e x p )(1)(dyeeziAdyeeezAezidyyyzikyEeziyEyyzkiyzkiyyzkiyzkiik zik zik z物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 5 页 共 8 页 13-12 一台显微镜的数值孔径为 0.85，问 (1)它用于波长为 400nm 时的最小分辨距离是多少 ?(2)若利用油浸物镜使数值孔径增大到 1.45，分 辨率提高了多少倍 ?(
10、3)显微镜的放大率应设计成多大 ?(设人眼的最小分辨角为 1 )。 解： （ 1） 显微镜的分辨率为： nmNA 2 8 785.0 4 0 061.061.0 （ 2） 数值孔径增大后显微镜的分辨率为： nmNA 16845.1 40061.061.0 所以，分辨率提高了： 7.1168287 倍 （ 3） 人眼的明视距离为 250mm，所以人眼的最小分辨距离为： nm7270018060110250 60 所以显微镜的放大率应设计成： 430168727000 倍 13-15 光栅的宽度为 l0cm，每毫米内有 500 条缝，光栅后面放置的透镜焦距为 500mm。问 (1)它产生的波长 6
11、32.8nm 的单色光的 1 级和 2 级谱线的半宽度是多少 ?(2)若入射光是波长为 632.8nm 和波长之相差 0.5nm 的两种单色光，它们的 1 级和 2 级谱线之间的距离是多少 ? 解： （ 1） 光栅常数 mmd 2102.05001 光栅总缝数 42 105102.0 1 0 0 dwN光栅的角半宽度：mm wNd c o sc o s 光栅产生的 m 级谱线的峰值强度位置由光栅方程确定： md m sin 所以， 波长 632.8nm 的单色光的 1 级和 2 级谱线的方向： 4 3 3.18102.0 108.6 3 2s ins in 26111 d2.39102.0 1
12、08.6322s i n2s i n 26112 d因此，波长 632.8nm 的单色光的 1 级和 2 级谱线的半宽度是 ： mmfx 36161 1034.35 0 01067.65 0 0c o s1 0 0 108.6 3 2 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 6 页 共 8 页 mmfx 36262 1009.45 0 01017.85 0 0c o s1 0 0 108.6 3 2 （ 2） 光栅的线色散为： fd mddl m cos波长 632.8nm 的单色光的 1 级和 2 级谱线相应的线色散为： nmmmnm mmd mfddlnmmm
13、nm mmd mfddl/64.02.39c o s10102.0 5002c o s/26.0433.18c o s10102.0 5001c o s62226211 而波长差 nm5.0 的两种单色光的 1 级和 2 级谱线之间的距离为： mmddllmmddll32.05.064.013.05.026.0221113-16设计一块光栅，要求 (1)使波长 =600nm 的第 2 级谱线的衍射角 30 ， (2)色散尽可能大， (3)第 3 级谱线缺级， (4)在波长 =600nm 的 2 级谱线处能分辨 0.02nm 的波长差。在 选定光栅的参数后，问在透镜的 焦面上只可能 看到波长 6
14、00nm 的几条谱线 ? 解： 为达到条件（ 1），光栅必须满足： mmmmmd 36 104.230s in 106 0 02s in 根据条件（ 2），应选择 d 尽可能小，故 mmd 3104.2 根据条件（ 3），光栅缝宽 a 应为： mmda 3108.03 再根据条件（ 4），光栅的缝数 N 至少应有： 1 5 0 0 002.02 6 0 0 mN 所以，光栅的总宽度 W 至少为： mmmmNdW 36104.21 5 0 0 0 3 光栅产生的谱线应在 90 的范围内，当 90 时： 4106 0 0 104.2s in63 mmmmdm 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部
15、分 赵琦 2007-8-1 第 7 页 共 8 页 第 4 级谱线对应于 90 方向，实际上不可能看到，此外第 3 级缺级，所以，只能看见 2,1,0 共 5 条谱线。 13-19 解： 方法一： 把每两条缝宽为 a，间隔 ad 2 的双缝看作一个衍射单元，整个衍射屏由间距ad 6 的 N 个这样的衍射单元组成。则单元衍射因子为 : 2s ins ins in)(01 EE 其中： sina 4s in22s in2 ad 所以， 2c o ss in22s in 4s ins in)(001 EEEN 个衍射单元的干涉因子为： 2sin2sin)(2 NE 其中： 12s in62s in2
16、 ad 所以， 6sin6sin)(2 NE 最终，得到整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的复振幅为： 6s in 6s in2c o ss in2)()()(021 NEEEE 故，整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的强度分布为： 220* 6s i n 6s i n2c o ss i n4)()( NIEEI其中， 000 EEI 为单缝衍射零级主强度。 方法 二 ： 分别 把 N 条奇数缝与 N 条偶数缝看作二个相同的衍射单元。于是，整个衍射屏就只是由间距 ad 2 的两个衍射单元组成。而单元衍射因子为 : 物理光学作业参考答案 -光的 衍射 部分 赵琦 2007-8-1 第 8 页 共 8 页 6s in6s ins in)(01 NEE 元间干涉因子为 ; 2cos2)(2 E 所以，得到整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的复振幅为： 2c o s6s in 6s ins in2)()()(021 NEEEE故，整个衍射屏产生的夫琅和费衍射场的强度分布为： 2c o s6s i n 6s i ns i n4)()( 2220* NIEEI其中， 000 EEI 为单缝衍射零级主强度。
