1、机械优化设计复习题 解答 一、 填空题 1、用最速下降法求 f(X)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2 的最优解时，设 X（ 0） -0.5,0.5T，第一步迭代的搜索方向为 -47,-50T。 2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 寻找搜索方向 ，二是 计算最优步长 。 3、当优化问题是 凸规划 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、 应用 进退 法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高低高 趋势。 5、包含 n个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 CXBHXX TT 21 的梯度为 B。 7、
2、设 G 为 nn对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量 d0， d1，满足 (d0)TGd1=0，则 d0、 d1 之间存在 共轭 关系。 8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数 ),( 21 xxf ，若在 ),(x 20100 xx 点处取得极小值，其必要条件是 f(x10,x20) = 0 ，充分条件是 2f(x10,x20) = 0正定 。 10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数 3610)( 2 xxxf 的极小点，初始搜索区间1
3、0,10, ba ，经第一次区间消去后得到的新区间为 -2.36 10 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 13、牛顿法的搜索方向 dk= ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 附近 位置。 14 、将函数 f(X)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60 表示成 CXBHXX TT 21 的形式 12x1 x2* 2 11 2 +*x1x2+ +10 4*x1x2+ 60 。 15、存在矩阵 H，向量 d1，向量 d2，当满足 d1THd2=0，向量 d1 和向量 d2 是关于 H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将
4、约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子 r 数列，具有 单调递增 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 最优步长 。 1kkHg二、 选择题 1、下面 C 方法需要求海赛矩阵。 A、最速下降法 B、共轭梯度法 C、牛顿型法 D、 DFP 法 2、 对于约束问题 221 2 221 1 22132m in 4 4g 1 0g 3 0g 0f X x x xX x xXxXx 根据目标函数等值线和约束曲线，判断 1 1,1TX 为 ， 2 51 , 22TX 为 。 D A内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点 3、内点
5、 惩罚函数法可用于求解 B优化问题。 A 无约束优化问题 B只含有不等式约束的优化问题 C 只含有等式的优化问题 D 含有不等式和等式约束的优化问题 4、对于一维搜索，搜索区间为 a， b，中间插入两个点 a1、 b1， a1 , 因此继续进行迭代。 第一迭代步完成。 2、试用牛顿法求 f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2 的最优解，设初始点 x(0)=2,1T。 解 1： （注：题目出题不当， 初始点 已经是最优点 ，解 2 是修改题目后解法 。 ） 牛顿法 的搜索方向为 S(k) = 2(f)1(f),因此首先求出当前迭代点 x(0) 的梯度向量 、 海色矩阵及其逆矩阵 (f)
6、 *4x1 4 x2 48 x2 4x1 + (f（ x(0)） )= *00+ 2(f) * 4 44 8 + 2(f)1 = 14*2 11 1+ S(k) = 2(f)1(f) = *00+ 不用搜索，当前点就是最优点。 解 2：上述解法不是典型的牛顿方法，原因在于题目的初始点选择不当。 以下修改求解题目的 初始点 ，以体现 牛顿方法 的 典型 步骤。 以非最优点 x(0)=1,2T 作为初始点，重新采用牛顿法计算 牛顿法 的搜索方向为 S(k) = 2(f)1(f),因此首先求出当前迭代点 x(0) 的梯度向量 、 以及海色矩阵及其逆矩阵 梯度函数： (f) *4x1 4 x2 48
7、x2 4x1 + 初始点梯度向量： (f（ x(0)） )= *812+ 海色矩阵： 2(f) * 4 44 8 + 海色矩阵逆矩阵： 2(f)1 = 14*2 11 1+ 当前步的搜索方向为： S(k) = 2(f)1(f) 14*2 11 1+*812+ *11 + 新的迭代点位于当前的搜索方向上 ： X（ k+1） =X（ k） +S（ k） =X（ 0） + S（ 0） *12+ *11 + 1 2 把新的迭代点带入目标函数，目标函数将成为一个关于单变量 的函数 F() f(X(k+1) = f(1 2 ) = ( + 1)2 + (3 + 3)2 F() 令 dF()d = 20 +
8、 20 0，可以求出当前搜索方向上的最优步长 1 新的迭代点为 X(1) = X（ 0） +S（ 0） *12+ *11 + *21+ 当前梯度向量的长度 f = 12x12+ 8x8 = 14.4222 , 因此继续进行迭代。 第 二 迭代步 ： (f) *4x1 4 x2 48 x2 4x1 + (f（ x(1)） ) = *00+ f = 0 0 | 2 22 4 | 8 4 4 0 因此 2(f)正定 , X = *x1x2+ = *42+是极小点，极值为 f(X*)=-8 4、求目标函数 f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10 的极值和极值点。 解法同上 5
9、、试证明函数 f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3 在点 1， 1， -2T 处具有极小值。 解： 必要条件： (f) 4x1 + 2 x310 x2 + 2x3 62 x1 + 2x2 + 2x3 将 点 1， 1， -2T 带入上式，可得 (f) 000 充分条件 2(f) 4 0 20 10 22 2 2 |4| 4 0 |4 00 10| 40 0 |4 0 20 10 22 2 2| 80 40 16 24 0 2(f)正定。 因此函数在 点 1， 1， -2T 处具有极小值 6、给定约束优化问题 min f(X)=(x1-3)2+(x2-2
10、)2 s.t. g1(X)= x12 x22 5 0 g2(X)= x1 2x2 4 0 g3(X)= x1 0 g4(X)=x2 0 验证在点 TX 2 ， Kuhn-Tucker 条件成立。 解： 首先 ， 找出在 点 TX 2 ， 起作用约束： g1(X) 0 g2(X) 0 g3(X) 2 g4(X) 1 因此 起作用约束为 g1(X)、 g2(X)。 然后， 计算目标函数、 起作用约束函数的梯度， 检查 目标函数 梯度是否可以表示为起作用约束函数梯度的非负线性组合。 (f) *2 x1 6 2x2 4+ *22+ (g1) * 2x1 2x2+ *42+, (g2) *1 2+ 求解
11、线性组合系数 (f) = 1(g1)+ 2(g2) *22+ = 1*42+2*1 2+ 得到 1 13 ,2 = 23, 均大于 0 因此 在点 TX 2 ， Kuhn-Tucker 条件成立 7、设非线性规划问题 01)(0)(0)(.)2()(m i n2221322112221xxXgxXgxXgtsxxXf用 K-T条件验证 TX 0,1* 为其约束最优点。 解法同上 8、已知目标函数为 f(X)= x1+x2，受约束于： g1(X)=-x12+x20 g2(X)=x10 写出内点罚函数。 解： 内点罚函数 的一般公式为 其中： r(1)r(2) r(3) r(k) 0 是一个递减的正值数列 r(k) Cr(k-1)， 0 C 1 因此 罚函数 为： (X,r(k)= x1+x2+ r(k)( 1x12 +x2 + 1x1) 9、已知目标函数为 f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2 受约束于： g1(X)=-x2-x1-10 g2(X)=2-x1-x20 g3(X)=x10 g4(X)=x20 试写出内点罚函数。 解法同上 10、如图，有一块边长为 6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为 x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（ x 取何值）才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序。
