上海交大版大学物理第七章参考答案.doc

1、版权归原著所有 本答案仅供参考 习题 7 7-1 原长为 m5.0 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 kg1.0 的物体，当物体静止时，弹簧长为 m6.0 现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（ g 取 9.8） 解：振动方程： cos( )x A t， 在本题中， kx mg ，所以 9.8k ； 9 .8 980 .1km 。 取竖直 向下为 x正向 ， 弹簧 伸 长为 0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么： A=0.1m， 当 t=0时， x=-A，那么就可以知道物体的初相位为 。 所以： 0 .1 c o

2、s 9 8xt（ ） 即 ： 0.1cos( 98 )xt 。 7-2 有一单摆，摆长 m0.1l ，小球质量 g10m ， 0t 时，小球正好经过rad06.0 处，并以角速度 0.2rad/s 向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（ 1）角频率、频率、周期；（ 2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（ g 取 9.8） 解：振动方程： cos( )x A t 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （ 1）角频率： 9 .8 3 .1 3 /g ra d sl ， 频率： 1 9 .8 0 .522g Hzl ， 周期： 2229 .8lTsg ； （ 2） 振动方程可表示为：

3、 co s 3 .1 3At（ ）， 3 .1 3 s in 3 .1 3At （ ） 根据初始条件 ， 0t 时 ： cos A ， 0 (1 2s in0 ( 3 43 . 1 3 A ， 象 限 ）， 象 限 ）可解得： ， - 2 . 3 2r a d95.32 2 7r a d ,108.8 02 A 所以得到振动方程： r a d)32.213.3c o s (108.8 2 t 。 7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧 原长 处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方 10.0cm 处 ，求：（ 1）振动频率；（ 2）物体在初始

4、位置下方 cm0.8 处的速度大小。 解：（ 1）由题知 2A=10cm，所以 A=0.05m，选 弹簧原长下方 0.05m处 为平衡位置 ； 由 0kx mg ，知20 9.8 1965 1 0kgmx ， 1 9 6 1 4km ， 振动频率 ： 17()2 k Hzm ； （ 2）物体在初始位置下方 8.0cm 处，对应着是 x=0.03m的位置，所以： 3cos 5xA，由 22cos sin 1，有： 4sin 5 ， 而 sin vA ， 那么速度的大小为 ： 4 0 .5 6 /5v A m s 。 7-4 一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 cm12 ，周期为 s2 。当 0t

5、 时 ， 位移为cm6 ，且向 x 轴正方向运动。求：（ 1）振动表达式；（ 2） s5.0t 时，质点的位置、速度和加速度；（ 3）如果在某时刻质点位 于 cm6x ，且向 x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解： （ 1） 由题已知 A=0.12m， T=2 s ， 2T 又 t=0时， 0 6x cm ， 0 0v ， 由旋转矢量图，可知： 3 故振动方程为 ： 0 .1 2 c o s 3x t m（ ）； （ 2） 将 t=0.5 s 代入得 ： 0 . 1 2 c o s 0 . 1 2 c o s 0 . 1 0 436x t m （ ）， 0 . 1 2 s

6、 i n 0 . 1 2 c o s 0 . 1 8 8 /36v t m s （ ）， 2 2 20 . 1 2 c o s 0 . 1 2 c o s 1 . 0 3 /36a t m s （ ）， 方向指向坐标原点，即沿 x轴负向 ； （ 3） 由题知， 某时刻质点位于 6cm 2Ax ， 且向 x 轴负方向运动 ，如图示， 质点 从 P 位置 回到 平衡位置 Q 处 需要走 32 ， 建立比例式 ： 2 tT ， P x2A3Q有： 56ts 。 7-5 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 2/1 Ax 处，且向左运动时，另一个质点 2 在 2/2 Ax 处，且

7、向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点 1 在 2/1 Ax 处，且向左运动时， 相位为 3 ， 而 质点 2 在 2/2 Ax 处，且向右运动， 相位为 43 。 所以它们的相位差为 。 7-6. 质量为 m 的密度计，放在密度为 的液体中。已知密度计圆管的直径为 d 。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。 解：平衡位置：当 FG浮 时，平衡点为 C处。设此时进入水中的深度为 a： mggSa 可知浸入水中为 a处为平衡位置。 以水面作为坐标原点 O，以向上为 x轴，质心的位置为 x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用

8、ax 来表示，所以力()F g a x S g a S g S x ，利用牛顿定律： 22dxFmdt ， 再令： 22 4gS g dmm ， 可得： 0222 xdtxd ， 可见它是一个简谐振动 ； 周期为： 24 mTdg。 7-7 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：mkk kk )(21 21 21 。 证明：两根弹簧的串联 ，由相互作用力相等，有： 1 1 2 2kx k x ，将 串联弹簧等效于一根弹簧，仍 有： 1 1 2 2k x k x k x， 考虑到 xxx 21 ， 可得：121 1 1k k k ， 所以： 1212kkk kk 代入频率计算式，可得：mkk

9、kkmk )(2121 21 21 。 7-8 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ 解：由 212PE kx， 212kE mv，有： 221 c o s ( )2PE k A t， 2 2 2 2 211s i n ( ) s i n ( )22kE m A t k A t ， （ 1）当 2Ax 时，由 cos( )x A t， 有： 1cos( ) 2t， 3sin( ) 2t， 14PEE ， 34kEE ； （ 2） 当 12PkE E E时，有 ： 22c o s ( ) s i n ( )tt 1cos(

10、)2t ， 2 0 .7 0 72x A A 。 7-9 两个同方向的简谐振动曲线 (如图所示 ) （ 1）求合振动的振幅。 （ 2）求合振动的振动表达式。 解： 通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且 1A 初相： 1 2 ， 2A 初相： 2 2 ， 表明 两者处于反相状态， （反相 21 ( 2 1 )k ， 0 1 2k ， ， ， ） 12AA ， 合成振动 的 振幅 ： 21A A A ； 合成振动 的 相位：2 2 ； 合成振动 的 方程： ）（）（ 22c o s12 tTAAx。 7-10 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 cm20 ，与第一个

11、振动的位相差为 6 。若第一个振动的振幅为 cm310 。则（ 1）第二个振动的振幅为多少？（ 2）两简谐振动的位相差为多少？ 解： 如 图 ，可利用余弦定理： 由图知 30c o s2 122122 AAAAA =0.01 m A =0.1 m ， 再利用正弦定理： 02sin sin 30AA ，有： 2sin 12AA ， 2 。 说明 A 与 A 间夹角为 /2，即 两 振动的位相差为 /2 。 7-11 一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为 cm30 A ，经过 1 10ts 后，振幅变为 cm11A 。问：由振幅为 0A 时起，经多长时间其振幅减为 cm3.02 A ？ 解：根 据阻

12、尼振动的特征， 00c o s ( )tx A e t ，知 振幅 ： teAA 0 。 cm30 A ， 当 1 10ts 时 ， cm11A ，可得： 10 13e ， 上式两边取对数，得： 1 ln310 ； 那么当 振幅减为 2 0.3A cm 时，有：2 110te ， 两边取对数，有： 2 ln10t ， 2 1 0 l n 1 0 1 0 1 0 21l n 3 l g 3 0 . 4 7 7 1ts 。 7-12 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为 0T ，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的 90%，求 ： （ 1） 求振子在水中的振动周期 T

13、 ； （ 2）如果开始时振幅 100A 厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少 ？ 解： （ 1） TeAA 0 9.00 AAe T 910ln190.0ln1 TT 又阻尼振动的圆频率： 2202 即 910ln14.4 2220222TTT 即 0220 0 0 0 1 4.1)0 0 0 1 4.01(4 9/10ln1 TTTT c 从本题解中可知阻尼因子对振幅的影响是比较大的，而对振动的周期影响却很小，有时甚至可以忽略不计。 （ 2）在整个阻尼振动过程中，振子所经 过的路程可近似地表示为： 厘米4 0 0409.01 41 4)1(444400020210AAeAee

14、AAAASTTT 7-13 试画出 cos(2 )4x A t 和 cosy B t 的李萨如图形。 解： 2xy ， : 2:1xy p又 4xy， 可参考书上的图形。 7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动： （ 1） 4 c o s 8 64 c o s 8 6xtyt ； （ 2） 4 c o s 8 654 c o s 86xtyt ； （ 3） 4 c o s 8 624 c o s 83xtyt 。 试判别质点运动的轨迹。 解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 对于 cos( )xx A t， 4 cos( )yyt的 叠加 ，可推得： 2 2 2

15、22 c o s ( ) s in ( )x y x yx y x y A （ 1） 将 6x ， 6y 代入有： 2 2 22 c o s 1 6 s i n33x y x y ， 则方程化为： 22 12x y x y ，轨迹为一般的椭圆 ； （ 2） 将 6x ， 56y 代入有： 2 2 22 c o s 1 6 s inx y x y 则方程化为： 2220x y x y ，即 0xy， 轨迹为一直线 ； （ 3） 将 6x ， 23y 代入有： 2 2 22 c o s 1 6 s i n22x y x y 则方程化为： 2 2 24xy， 轨迹为 圆心在原点，半径为 4m的 圆

16、。 7-15 在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为z4H107.2 ，求垂直方向的振动频率。 解： 从图中可见， 李萨如图形 在水平方向的切点 是 2 个， 在竖直方向的切点是 3 个，所以： : 3:2xy ， 那么， 23xy 42 2.7 103 41.8 10 ( )Hz。 思考题 7-1 试说明下列运动是不是简谐振动： （ 1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动； （ 2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答： 要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件： 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长

17、等等在运 动中保持为常量； 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 0222 dtd 描述时，其所作的运动就是谐振动。 那么， （ 1） 拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。 要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 、 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长 等等在运动中保 持为常量；二 、 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三 、 在运动中系统只受到内部的

18、线性回复力的作用 。 或者说，若一个系统的运动微分方程能用 2 22 0ddt 描述时，其所作的运动就是谐振动 。 （ 2） 小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动 。 显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统 (指小球凹槽、地球系统 )的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点 O；而小球在运动中的回复力为sinmg 。 题中所述， SR ，故 0SR ，所以回复力为 mg 。（ 式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反 ） 即小球在 O点附近的往复运动中所受回复力为线性的 。 若以小球为对象，则小球在以 O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽

19、切线方向上有 mR 22dmR mgdt ，令 Rg2 ，则有： 0222 dtd 。 7-2 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的 ?在什么情况下是异号的 ?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小 ? 答： 简谐振动的速度： sin ( )v A t ； 加速度： 2 c o s ( )a A t ； 要使它们 同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。 加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时 ，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加

20、速度使速率减小。 7-3 分析下列表述是否正确，为什么 ? （ 1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动； （ 2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：（ 1）的表述是正确的，原因参考 7-1； （ 2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。 7-4 用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。 方法 1：使其从平衡位置压缩 l ，由静止开始释放。 方法 2：使其从平衡位置压缩 2 l ，由静止开始释放。 若两次振动的周期和总能量分别用 21 TT、 和 21 EE、 表示，则它们满足 下面那个关系？ （ A）

21、2121 EETT （ B） 2121 EETT （ C） 2121 EETT （ D） 2121 EETT 答：根据题意，这两次弹簧振 子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择 （ B） 。 7-5 一质点沿 x轴作简谐振动，周期为 T，振幅为 A，质点从 21 Ax运动到 Ax2处所需要的最短时间为多少？ 答：质点从 21 Ax运动到 Ax2 处所需要的最短相位变化为 4 ，所以运动的时间为： /4 8Tt 。 7-6 一弹簧振子， 沿 x 轴作振幅为 A 的简谐振动，在平衡位置 0x 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为 50J ，问振子处于 2/Ax 处时；其势能的瞬时值为多少？ 答：由题意， 在平衡位置 0x 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为 50J ，所以该振子的总 能量为 50J ，当振子处于 2/Ax 处时；其势能的瞬时值为： JEAkkx M 5.1245041212121 22 ）（ 。