1、版权归原著所有 本答案仅供参考 习题 6 6-1 设固有长度 m50.20 l 的汽车，以 m/s0.30v 的速度沿直线行驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？ 解： 220 1 ( )l l u c ，由泰勒展开，知 22111 2xx 222 211 ( ) 1 2 uu c c ， 2 1400 21 1 . 2 5 1 02 ul l l l mc 。 6-2 在参考系 S 中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了m105.1 8x 处，经历时间为 s00.1t ，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为 S 系 ， ctxu 5.0/ 利用 221 ( )t t
2、u c 有： 8 281.5 101 ( ) 0.8663 10ts 。 6-3 从加速器中以速度 cv 8.0 飞出的离子在它的运动方向上又发射出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解：设加速器为 S 系，离子为 S 系 ，利用：21xxxvuv uvc ， 则：220 .80 .811xxxvu ccvcu v c ccc 。 6-4 1000m 的高空大气层中产生了一个 介子，以速度 0.8vc 飞向地球 ,假定该 介子在其自身的静止 参照 系中的寿命等于其平均寿命 62.4 10 s ，试分别从下面两个角度，即 地面 上观测者 相对 介子静止系中的 观测者来判断该 介子能否到达地球 表
3、面 。 解： （ 1） 地面上的观察者认为时间膨胀： 有221ttuc， 6 6222 .4 1 0 4 1 0( 0 .8 )1t sacc 由 860 . 8 3 1 0 4 1 0 9 6 0 1 0 0 0l v t m m ， 到达不了地球； （ 2） 介子静止系中的 观测者 认为长度收缩： 有 20 21 ull c， 22( 0 .8 )1 0 0 0 1 6 0 0clmc 而 682 . 4 1 0 0 . 8 3 1 0 5 7 6 6 0 0s v t m m ， 到达不了地球。 6-5 长度 0 1ml 的米尺静止于 S 系中，与 x 轴的夹角 =30， S 系相对S
4、系沿 x 轴运动，在 S 系中观测者测得米 尺与 x 轴夹角为 45。 试求：（ 1） S 系和 S 系的相对运动速度 。（ 2） S 系中测得的米尺长度 。 解 ：（ 1） 米尺相对 S 静止，它在 ,xy轴上的投影分别为： 0 c o s 0 .8 6 6 mxLL ， 0 sin 0 .5 myLL 。 米尺相对 S 沿 x 方向运动，设速度为 v ，对 S 系中的观察者测得米尺在 x 方向收缩，而 y 方向的长度不变，即 ： 221xx vLL c， yyLL 故 ：22ta n1y y yxxxL L LLL vLc 。 把 45 及 , yLL代入 ， 则得 ： 22 0.51 0
5、.866vc， 故 ： 0.816vc (2)在 S 系中测得米尺长度为 0 .7 0 7 msin 4 5yLL 。 6-6 一门宽为 a ，今有一固有长度 0l (0l a )的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动 。 若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率 u 至少为多少 ？ 解 ： 门外观测者测得杆长为运动长度， 20 1 ( )ull c，当 al 时，可认为能被拉进门，则 ： 20 1 ( )ual c解得杆的运动速率至少为： 201 ( )auc l 6-7 两个惯性系中的观察者 O 和 O 以 0.6c（ c表示真空中光速 ）
6、的相对速度相互接近，如果 O 测得两者的初始距离是 20m，则 O 测得两者经过多少时间相遇 ？ 解 ： O 测得相遇时 间为 t ： 0 200.6Lt vc O 测得的是固有时 t ： 20 1Ltt v 88.89 10 s ， 或者， O 测得长度收缩 ： 020 8.01 LLL 80 80 . 8 0 . 8 2 0 8 . 8 9 1 0 s0 . 6 0 . 6 3 1 0Lt c 6-8 一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅 行如果宇航员希望把这路程缩短为 3 光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少 ？ 解 ： 由长度缩短公式得： 5311 220 ll， cv 54
7、 6-9 两个宇宙飞船相对于恒星参考系以 0.8c 的速度沿相反方向飞行，求两飞船的相对速度。 解：设宇宙船 A为 S 系， 测得 恒星 的 速度 为 0.8xvc ，宇宙船 B为 S 系，测得 恒星 的 速度 为 0.8xvc ，两个飞船的相对速度为 u ， 根据洛伦兹速度变换公式： 21xxxvuv uvc，有： 20.80.8 0.81cuc cuc 得： 0.976uc 。 6-10 从 S 系观察到有一粒子在 01t 时由 m1001 x 处以速度 cv 98.0沿 x 方向运动， s10 后到达 2x 点，如在 S 系 (相对 S 系以速度 cu 96.0 沿 x方向运动 )观察，
8、粒子出发和到达的时空坐标 2211 , xtxt 各为多少？( 0tt 时， S 与 S 的原点重合 )，并算出粒子相对 S 系的速度。 解： 利用洛仑兹变换： 2221 ( )utxctu c，221 ( )x utxu c ， 考虑到 2 221 ( ) 1 0 . 9 6 0 . 2 8u c ，有： 11 22 61 2 220 .9 60 1 0 01 .1 4 7 1 00 .9 61 ( )1 ( )uctxcctscu cc ； 22222 2 220. 9610 9. 82. 110. 961 ( )1 ( )uct x ccccu cc ； mccccuutxx 14.3
9、5 7)96.0(1096.01 0 0)(1 222111 ； mcccccuutxx 8222222 1014.2)96.0(11096.08.9)(1 ； 8220 .9 8 0 .9 6 1 .0 1 4 1 00 .9 61 1 0 .9 8xxxvu ccv ucvccc m/s。 6-11 一飞船静长 0l ， 以速度 u 相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为 v ，试算出恒星系观察者测得小球的运动时间。 解：设恒星系为 S 系，飞船为 S 系 ，由题意： vlt 0 ， )(1)1()(1)1()(1 2220222222cuvvc
10、ulcutxcutcuxcutt 。 6-12 一个静止的 0K 介子能衰变成一个 介子和一个 介子，这两个 介子的速率均为 c85.0 现有一个以速率 c90.0 相对于实验室运动的 0K 介子发生上述衰变。以实验室为参考系，两个 介子可能有的最大速率和最小速率是多少？ 解： 以 实验室为 S 系，运动的 0K 介子为 S 系 ，利用21xxxvuv uvc ，有： 最大速度 ：m a x220 . 8 5 0 . 9 0 . 9 9 20 . 9 0 . 8 511xxxvu ccvcu v c ccc ， 最小速度 m in22( 0 . 8 5 ) 0 . 9 0 . 2 1 30 .
11、 9 ( 0 . 8 5 )11xxxvu ccu v c ccc 。 6-13 一个电子从静止开始加速到 c1.0 ，需对它做多少功？，若速度从 c9.0增加到 c99.0 又要做多少功？ 解： 由相对论动能： 220kE mc m c： （ 1） 2610 22211( 1 ) 0 .5 1 1 0 ( 1 )1 0 .11kE m c v c 2.57MeV ； （ 2） 220 22212211()11kE m c vvcc6 22110 .5 1 1 0 ( )1 0 .9 9 1 0 .9 2.44MeV 。 6-14 一静止电子 (静止能量为 MeV51.0 )被 1.3MeV
12、的电势差加速，然后以恒定速度运动。求： （ 1） 电子在达到最终速度后飞越 m4.8 的距离需要多少时间？ （ 2） 在电子的静止系中测量，此段距离是多少？ 解： （ 1） MeVcm 51.020 ， MeVEk 3.1 M eVEcmmc k 81.1202 ，考虑到：2201 cvmm ， 得： 22 0221 mcvc mc，可求得： 810 .9 6 2 .8 8 1 0v c m s ， 那么， svlt 88 1092.21088.2 4.8 ； （ 2）由 221 vll c，有 28 .4 1 0 .9 6 2 .3 7lm 。 6-15 有两个中子 A 和 B ，沿同一直线
13、相向运动，在实验室中测得每个中子的速率为 c 试证明相对中子 A 静止的参考系中测得的中子 B 的总能量为： 202211 cmE ， 其中 0m 为中子的静质量。 证明：设中子 A 为 S 系，实验室为 S 系，中子 B 相对于中子 A速度为 ： 22121 cvcuuvvxxx ，代入 2E mc ，有： 22 2 200 022 2221121 ( )11xm c m cE m cvc 。 6-16 一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为 kg1011.9 31 . （ 1）问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加 %4.0 ？ （ 2）此时电子的速率是多少？ 解：（ 1） 由
14、220kE mc m c，且 eUEk ， 004.000 mmm ， 有： 2 2 2000 .0 0 4eU m c m c m c ， 20 30. 00 4 2. 05 10mcUVe ； （ 2） 01.004mm ， 2 021 mvcm，可求得： 17107.2 smv 。 6-17 已知一粒子的动能等于其静止能量的 n 倍，求：（ 1）粒子的速率，（ 2）粒子的动量。 解：（ 1） 依题意知： 20cnmEk ， 又 220kE mc m c， 2 22000221mc m c n m cvc，有： 22211 ( 1)vcn整理得 ： 1 )2( n nncv ； （ 2）
15、由 420222 cmcPE ， 而 ： 20)1( cmnE ， 得： )2(0 nncmP 。 6-18 太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核 ( H11 )和氘核 ( H21 )聚变为氦核 ( He32 )，同时放出 光子，反应方程为 ： HeHH 322111 已知氢、氘和 He3 的原子质量依次为 u007825.1 、 2.014102u 和3.016029u . 原子质量单位 kg1066.1u1 27 . 试估算 光子的能量。 解： 1 . 0 0 7 8 2 5 2 . 0 1 4 1 0 2 3 . 0 1 6 0 2 9m u u u 290 .0 0 5
16、8 9 8 0 .9 7 9 1 0u kg 根据质能方程 ： 2 9 8 22190. 97 9 10 ( 3 10 ) 5. 5M e V1. 6 10E m c 。 思考题 6 6-1 关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述： （ A） 一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速； （ B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同； （ C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关； （ D）在真空 中，光的速度与光的频率有关。 答：（ D） 6-2 两飞船 A 、 B 均沿静止参照系的 x 轴方向运动，速度分别为 1v 和 2v 。由飞船 A 向飞船 B 发射一束光
17、，相对于飞船 A 的速度为 c ，则该光束相对于飞船 B 的速度为多少？ 答：光速 c 。 6-3 在惯性系 S 和 S ，分别观测同一个空间曲面。如果在 S 系观测该曲面是球面，在 S 系观测必定是椭球面。反过来，如果在 S 系观测是球面，则在 S 系观测定是椭球面，这一结论是否正确？ 答：根据运动的相对性这个结论是正确的 。 6-4 一列以速度 v 行驶的火车，其中点 C 与站台中点 C 对准时，从站台首尾两端同时发出闪光。从 C 点的观察者 看来，这两次闪光是否同时？何处在先？ 答：根据 )(2 xcutt ， 由于 0t ， 0x ，所以 0t， 即对C 点的观测者来说两次闪光不同时发
18、生，尾部在先。 6-5 一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度 0l ，山顶上有人看到当列车完全进入隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现现象？这现象是如何发生的？ 答： 对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的，但是对于列车上的旅客来说这两个事件不是同时发生的，他应该看到两次雷击现象。 6-6 假设在海拔 m9000 高山处产生的 子，静止时的平均寿命为s20 ，以速度 cv 998.0 向山下运动。在下述两参考系中估计在山脚下能否测到 子？（ 1）在地面参考系中观测；（ 2）在 子参考系中观测。 答：
19、在 子参考系中观测 子飞过的距离 mvl 20 10988.5 ； 对于地面的观测者 子飞过的距离 mcvll 322 1046.91 ， 因 l 大于 m9000 ，所以可以到达地面。 6-7 在地球上测量来自太阳赤道上相对的 两端辐射的 H 线，其中一条 H线的波长为 nm656 ，且与另一条 H 线的波长相差 nm109 3 . 假定此效应是由于太阳自转引起的，求太阳自转的周期（太阳的直径是km104.1 6 ）。 答：此题可根据多普勒效应求解，具体解略。 6-8 设在 S 系中有 一粒子，原来静止于原点 O ，在某一时刻粒子分裂为相等的两半 A 和 B ，分别以速率 u 沿 x 轴的正向和反向运动。设另一参考系 S 以速率 u 沿 x 方向运动。 （ 1） S 系中测得 B 的速度多大？ （ 2） S 系中测得 A 和 B 的质量比 )(BAmm 多大？ 答： S 系中测得 B 的速度为 0。 A相对于 S 系中的速度：2222221 ucuccuuuv ， （ 1） 22002222()1Am m c umcuvc； （ 2） 2222ABm cum c u 。
