1、第二 章 光的衍 射 1. 单 色 平 面 光 照 射 到 一 小 圆 孔 上 ， 将 其 波 面 分 成 半 波 带 。 求 第 个 带 的 半 径 。 若 极 点到 观 察 点 的 距离 r0 为 1m， 单 色 光 波长为 450nm， 求 此 时 第 一 半 波 带 的 半 径 。 rk r k r2 2 r2 0 2 解： 而 k k 0 k k2 r2 r r r k 0 k 0 0 2 2 将 上 式 两 边 平 方 ， 得 2 2 2 r2 r2 kr k k 0 0 0 4 k kr0k2 2 略去 项 ， 则 -8 k 1, r0 100cm, 4500 10 cm 带 入
2、 上 式 ，得 将 0.067cm 2. 平 行 单 色 光 从 左 向 右 垂 直 射 到 一 个 有 圆 形 小 孔 的 屏 上 ， 设 此 孔 可 以 像 照 相 机 光 圈 那 样 改 变 大 小 。 问 ：（ 1） 小 孔 半 径 满 足 什 么 条 件 时 ， 才 能 使 得 此 小 孔 右 侧 轴 线 上 距 小 空 孔中心 4m 的 P 点 的 光 强 分 别 得 到 极 大 值 和 极 小 值 ；（ 2） P 点 最 亮 时 ， 小孔 直 径 应 为 多 大 ？ 设 此 时 的 波长为 500nm。 k kr0 解 ：（ 1） 根 据 上 题 结 论 -5 将 r0 400c
3、m, 5 10 cm 代 入 ，得 400 5 10 5 k 0.1414 kcm k 当 k 为 奇 数 时， P 点 为 极 大 值； k 为 偶 数 时 ， P 点 为 极 小 值。 （ 2） P 点 最 亮 时 ， 小 孔 的 直 径 为 21 2 r0 0.2828cm 3 波 长为 500nm 的 单 色 点 光 源 离光阑 1m， 光 阑 上 有 一 个 内 外 半 径 分 别为 0.5mm 和 1mm 的 透 光 圆 环 ， 接收点 P 离光阑 1m，求 P 点 的 光强 I 与 没 有 光 阑 时 的 光 强度 I0 之 比 。 r0 1m R hk 1 0.5mm R hk
4、 2 1mm 500nm R 1m 解 ： 根 据 题意 2 2 Rh (R r0 ) Rh 1 1 r R k r R 0 有 光 阑 时 ， 由 公式 0 15 2 2 Rhk1 1 1 0.5 1 1 k1 1 6 r0 R 500 10 1000 1000 得 R2 2 1 1 1 1 1 hk2 r R k 4 2 500 106 1000 1000 0 按 圆 孔 里 面 套 一 个 小 圆 屏幕 1 1 1 1 13 a a a a a a a a 2 p 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 没 有 光 阑 时 a1 a 0 2 2 2 ap a I 1 4 I0 a 0 a
5、1 / 2 所以 4 波 长为 632.8nm 的 平 行 光 射 向 直径为 2.76mm 的 圆 孔 ， 与 孔 相距 1m 处 放 一 屏 。 试 问 ： （ 1） 屏 上 正 对 圆 孔 中 心的 P 点 是 亮 点 还 是 暗 点 ？ （ 2）要使 P 点 变 成 与（ 1） 相 反 的 情 况 ， 至少 要 把 屏 幕 分 别 向 前 或 向 后 移 动 多 少？ 解 ：（ 1） P 点 的 亮 暗 取 决 于 圆 孔 中 包 含 的 波 代 数 是 奇 数 还 是 偶 数 .当 平 行 光 如 射 时 , 波 带 数为 d 2 2 2 1.38 2 k 3 632.8 10 6
6、103 r r 0 0 故 P点 为 亮 点 . (2) 当 P点 向 前 移 向 圆 孔 时 ,相 应 的 波 带 数 增 加 ;波 带 数 增 大到 4 时 , P 点 变 成 暗 点 ,此 时 , P 点 至 圆 孔 的 距 离为 2 2 1.38 r mm 750mm 0 4 632.8 10 6 k则 P点 移 动 的 距 离 为 r r0 r 100cm - 75cm 25cm 当 P 点 向 后 移 离 圆 孔 时 ,波 带 数 减少 ,减少为 2 时 , P 点 也 变 成 暗 点 。 与 此 对 应 的 P 到 圆 孔 的 距 离 为 16 2 2 r 1.38 mm 150
7、0mm 0 2 632.8 10 6 k则 P 点 移 动 的 距 离 为 r r0 r0 150cm - 100cm 50cm .一 波 带 片 由 五 个 半 波 带 组 成 .第 一 波 带 片 为 半径 r1 的 不 透 明 圆 盘 ,第 二 半 波 带 是 半径 r1 至 r2 的透明圆 环 ,第三半波带是 r2 至 r3 的不透明圆 环 ,第四半波带是 r3 至 r4 的透明圆 环 ,第五 3 : 2 : 4 ,用波长 500nm 的 平 行 单 色 半 波 带是 r4 至 无 穷 大 的 不 透 明 区 域 ,已知 r1:r2： r3:r4=1: 光照 明 ,最亮 的 像 点 在
8、 距 波 带 片 1m 的轴 上 .试 求 :(1) r1; (2) 像点 的 光 强 ; (3) 光强 极 大 值 出现 在 轴 上 哪 些 位 置 上 . 解 ： 因 为 5 个 半 波 带 组 成 的 半 波 带 片 上 , K1 1, r1 不 透 光 ; K 2 2, r1至 r2 透 光 ; K3 3, r2 至 r3 不 透 光 ; K4 4, r3 至 r4 透 光 ; K5 5, r4 至 无 穷 大 不 透光 . r1 : r2 : r3 : rr 1 : 2 : 3 : 4 R0 单 色 平 行 光 500nm 3 第 一 条 最 亮 的 像 点 在 r0 1m 1000
9、mm 的 轴 上 ,即 f 1 r0 10 mm R2 r2 f r h 1 0 k 1 (1) r r k 103 1 500 106 0.5 0.707 1 0 I 4a2 16I I A 2 (a a ) 2 4a2 p 0 (2) 像 点 的 光强 : 所以 P P 2 4 f , f , f 3 5 7 (3) 光 强 极 大 值 出 现 在 轴 的 位 置 是(即 ) f r 1m 103 mm 1 f 1 1 m f 1 1 m f 1 f 1 m f f 2 3 5 3 3 5 5 7 7 6. 波 长 为 的 点 光 源 经 波 带 片 成 一 个 像 点 , 该 波 带片
10、有 100 个 透 明奇数半波 带 (1,3,5, )。另外 100 个不透明偶数半波 带 .比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时 该 像 点 的 强度比 I:I0. 100 A100 a 100a I (100a ) 2 解 : 100 个 奇 数 半 波 带 通 光 总 振 幅 1 同 样 焦 距 和 口 径 的 透 镜 可 划 分为 200 个 半 波 带 通光 17 199 200 A200 a1 a1 200a I0 22 200a 4(100a ) 2 总 振 幅为 1 (100a ) 2 1 I 4 (100a ) 2 4 I 0 7. 平 面 光 的 波长为 480nm,垂
11、 直 照 射 到 宽 度为 0.4mm 的 狭 缝 上 ,会 聚 透 镜 的 焦 距为 60cm. 分 别 计 算 当 缝 的 两 边到 P 点 的 相 位为 /2 和 /6 时 ,P 点 离 焦 点 的 距 离 . 解：设 P 点离焦点的距离为 y，透镜的焦距为 f 。缝宽 为 b，则位相差和光程差的关 2 2 bsin 2 btan 2 b y f 系 式 为 y f 2b 故 当 缝 的 两 边到 P 点 的 位 相 差为 2 时 ， P 点 离 焦 点 的 距 离为 4 f 4.8 10 600 y 0.18mm 2b 2 0.4 2 当 缝 的 两 边到 P 点 的 位 相 差为 6
12、 时 ， P 点 离 焦 点 的 距 离为 f 4.8 10 600 4 y 0.06mm 2b 2 0.4 6 8. 白光形成的单缝衍射图样 中 ,其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm 的光 波 的 第 二 个 次 最 大 值 重 合 .求 该 光 波 的 波 长 . 解 ： 由 单 缝 衍 射 次 最 大 值 的 位 置 公 式 可知 1 bsin k 0 2 1 1 bsin 3 2 2 2 得 5 428.6 7 nm 所以 所 以 该 光 为 紫 色 光 . 9. 波长为 546.1nm 的平 行 光 垂 直 地 射在 1mm 宽的 缝 上 ,若将 焦 距为 100cm
13、的透 镜 紧贴 于缝的后 面 ,并使光焦距到屏 上 ,问衍射图样的中央 到 (1)第一最小 值 ;(2)第一最大 值 ;(3)第三 最 小 值 的 距 离 分 别 为 多 少 ? 18 解 : 根 据 单 缝 衍 射 图 样 的 最 小 值 位 置 的 公 式 可 知 : bsin btan b y kf 得 第 一 、 第 三 最 小 值 的 位 置 分 别 为 y f 1000 5.461 10 4 0.5461mm 1 b 1 f y 3 3 1.638mm b 由 单 缝 衍 射 的 其 它 最 大 值 （ 即 次 最 大 ） 位 置 的 近 似 式 y 1 bsin k0 b k 0
14、 f 2 y 3 f 3 1000 5.46110 4 0.819mm 10 2 b 2 1 得 10. 钠 光 通过宽 0.2mm 的 狭 缝 后 ,投 射 到 与 缝相距 300cm 的 照 相 底 片 上 .所 得 的 第 一 最 小 值 与 第 二 最 小 值 间 的 距 离为 0.885cm,问 钠 光 的 波 长 为 多少 ?若改用 X 射 线 ( =0.1nm)做 此 实 验 ,问 底 片 上 这 两 个 最 小 值 之 间 的 距 离 是 多 少 ? 2k 0 1 解 ： 如 果 近 似 按 夫 琅 和 费 单 缝 衍 射 处 理 ， 则 根 据 公 式 sink 2 b 得
15、第 二 最 小 值 与 第 一 最 小 值 之 间 的 距 离 近 似 地 为 y y y 2 f f f 2 1 b b b y b 0.02 0.885 590nm f 300 那么 如 果 改 用 0.1nm时 9 f 300 0.110 1.5 106 m y b 0.02 12. 一束平行白光垂直入射在每毫米 50 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二 光谱的始端的衍射 角 之差为多少？ (设可见光中最短的紫光波长为 400nm，最长的红光波 长为 760nm) dsin j 得 解 ： 由 光 栅 方 程 红 4 7.6 10 2 sin 1 3.8 10 d 0.02 1 2
16、.18所以 19 紫 4 4.0 10 2 sin 2 2 2 4.0 10 d 0.02 2 2.29所以 1 d 0.02mm 50 式中 2.29 2.18 636 2 10 3 rad 所以 2 1 13. 用 可 见 光 (760 400nm)照 射 光 栅 是 ， 一 级 光 谱 和 二 级 光 谱 是 否 重 叠 ？ 二 级 和 三 级 怎 样 ？ 若 重 叠 ， 则 重 叠 范 围 是 多 少 ？ 解 ： 根 据 光 栅 方程 dsin j 红 760nm sinj 1, 1 d d 得 sin 2 紫 800nm j 2 ， 2 d d 2 1 因为 所以 一 级 和 二 级
17、 不 重 叠 . 红 1520nm j 2, sin 2 2 d d 而 sin 3 紫 1200nm j 3, 3 d d 3 2 因为 所 以 二 级 和 三 级 光 谱 部 分 交迭 . 设第 3 级 紫 光和第 2 级 波 长 的 光 重 合 3 紫 2 1 d d 则 3 3 400 600nm 1 紫 2 2 所以 设第 2 级 红 光和第 3 级 波 长 为 2 的 光 重合 2 红 3 2 d d 则 20 2 2 760 506.7nm 2 红 3 3 所以 综 上 , 一级 光 谱 与 二 级 光 谱 不 重 叠 ; 二级 光 谱 的 600 700nm 与三 级 光谱的
18、400 506.7nm 重 叠 . 14. 用波长为 589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最 大 值 之 间 的 衍 射角为 1510，求 该 光栅 1cm 内 的 缝 数 是 多 少？ dsin j( j 0,1,2, 12） 解 : 1 sin 1510 1 222(条 /cm） 2 589 10 7d j j 180 15. 用 每 毫 米 内有 400 条 刻 痕 的 平 面 透 射 光 栅 观 察 波长为 589nm 的 钠 光 谱 。 试 问 ： (1) 光 垂 直 入 射 时 ， 最 多 能 观 察 到 几 级 光 谱 ？ (2)光以 30 角 入
19、射 时 ,最 多 能 观 察 到 几 级 光 谱 ? j d sin解 : (1) 根 据 光 栅 方程 dsin j 得 可见 j的 最 大 值 与 sin 1 的 情 况 相 对 应 ( sin 真 正 等于 1 时 ,光 就 不 能 到 达 屏 上 ). 1 1 d mm cm ,并取 sin 1, 则得 400 4000 根 据 已 知 条件 1 j 4000 4.2 (此处 j只 能 取 整数 ,分 数 无 实 际 意 义 ) 5890 10 8 即 能 得 到 最 大 为 第 四 级 的 光 谱 线 . d(sin sin 0 ) j ( j 0,1,2, ) ,可得 (2) 根
20、据平行光倾斜入射时的光栅方程 j d(sin sin 0 ) 同 样 ,取 sin 1, 得 1 (sin 30 1) 4000 6.4 j 5890 10 8 即 能 得 到 最 大 为 第 六 级 的 光 谱 线 . 16. 白光垂直照 射到一个每毫米 250 条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为 30 处会 出 现 哪 些 波 长 的 光 ？ 其 颜 色 如 何 ？ 21 1 250 条 毫米 d 30 390nm 760nm 解 : 由 题 意 可知 由 公 式 dsin j当 760nm 时 , j d sin 30 1 2.6 250 760 10 6 2 得 j d sin 30
21、1 5.1 250 390 10 6 2 当 390nm 时 , 2.6 j 5.1 这里 j可取 3, 4, 5 所 以 dsin 1 667nm 3 250 10 6 2 当 j 3 时 j (为 红 色 ) dsin 1 500nm 当 j 4 时 j 4 250 10 6 2 (为 绿 色 ) dsin 1 400nm 当 j 5 时 j 5 250 10 6 2 (为 紫 色 ) 17. 用波长为 624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 b 为 0.012mm，不透明 部分的宽度 a 为 0.029mm，缝数 N 为 103 条。求 ： (1)单缝衍射图样的中央角宽度 ；
22、(2)单缝 衍射 图 样 中 央 宽 度 内 能 看 到 多 少 级 光 谱 ？ (3)谱 线 的 半 宽 度 为 多 少？ 解 ：（ 1） 单 缝 衍 射 图 样 的 中 央 角 宽 度 5 2 2 6.240 10 10.4 10 2 rad 21 1.2 103 b (2) 单 缝 衍 射 图 样 包 络 下 的 范 围 内 共 有 光 谱 级 数 由 下 列 式 子 确定 d 0.041 3.42 b .012 式 中 d 为 光 栅 的 光 栅 常 数 . 所 以 看 到 的 级 数为 3. Ndcos(3) 谱 线 的 半 角 宽 度 的 公 式为 : cos 1(即 0） 令 5
23、 6.24 10 1.52 10 5 rad Nd 103 0.0041 22 18. NaCl 的 晶 体 结 构 是 简 单 的 立 方 点 阵 ， 其分 子量 M=58.5， 密度 =2.17g/cm3， (1)试证 明 相 邻 两 离 子 间 的 平 均 距 离 为 M 3 0.2819 2NA nm 式中 NA=6.02 1023/mol 为 阿 伏 加 德 罗 常 数 ；（ 2） 用 X 射 线 照 射 晶 面 时 ， 第二 级 光 谱 的最 大 值 在 掠 射 角为 1 的 方 向 上 出 现 .试 计 算该 X 射 线 的 波 长 . d d, 那么亮离子间的平均 距 离 d
24、0为 。现先计算晶胞的 2 解 : (1) 晶 胞 的 棱边为 棱 边长 d,由 于 每 个 晶 胞 包 含 四个 NaCl 分 子 ,那 么 密 度 为 m 4mNaCl d3 V 这 里 ,NaCl 分 子 的 质 量 由 下 式 给出 M m NaCl N 所 以 晶 胞 的 棱 边 由 上 面 两 式 联 立 解得 1 4M 3d N 那 么 相 邻 两 离 子 间 的 平 均 距 离 d0 为 d d 3 M 58.5 3 0.2819nm 0 23 2 2N 2 6.02 10 2.17 时 2d 0 sin0 j 在 j 2 时 (2) 根 据 布 喇 格 方程 2d 0 sin
25、 0 2.819 sin1 0.0049nm 2 19 波长为 0.00147nm 的平行 X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为 0.28nm 问光线 与 界 面 成 什 么 角 度 时 ， 能 观 察 到 二 级 光 谱 。 2dsin 0 j解 ： 10 j 2 0.0147 10 sin 0.00525 0 2d 2 0.28 109 0 0.3 18 光 线 与 界 面成 18 的 角 度 时 ， 能 观 察 到 二 级 光 谱。 23 20 如 图 所 示 有 三 条 彼 此 平 行 的 狭 缝 ， 宽 度均为 b， 缝 距 分 别为 d 和 2d， 试 用 振 幅 矢 量 叠
26、 加 法 证 明 正 入 射 时 ， 夫 琅 禾 费 衍 射 强 度 公 式 为： 2 sin u3 2(cos 2v cos 4v cos 6v ) u bsin , v dsinI I 0 2 u 式中 证 明 ： 设 单 缝 衍 射 的 振 幅 为 a ,三 缝 衍 射 的 总 振 幅 为 A ，则 Ax a （ cos +cos 3 ） Ay a （ sin +sin 3 ） , 2 2 I = A = Ax + Ay = a2 2 （ cos +cos 3 ） 2+（ sin +sin 3 ） 2 2 = a 3+2 (cos +cos2 +cos 3 ) 21 一 宽 度为 2cm
27、 的 衍 射 光 栅 上 刻有 12000 条 刻 痕 。 如图 所 示 ， 以波 长 500nm的 单 色光 垂 直 投 射 ， 将折 射率为 1.5 的 劈 状 玻 璃 片 置 于 光 栅 前 方 ， 玻璃 片 的 厚 度 从 光 栅 的 一 端 到 另 一 端由 1mm 均 匀 变薄到 0.5mm， 试 问 第 一 辑 主 最 大 方 向 的 改 变 了 多 少？ tan A 1 0.5 0.025 0 20 解 ： 首 先 求 玻 璃 片 的顶角 A, A 0.025rad 1.43 A 0 (n 1) A 0.0125rad 单 色 平 行 光 经 劈 后 的 偏 向 角 为 21
28、题图 dsin j故 玻 片 未 加 前 的 光 栅 方 程为 ， sin j 1 时， d ， 500nm, d 1 104 nm arcsin( ) 17.466 d 将 代 入 上 式 ，得 d(sin sin 0 ) 玻 片 加 入 后 的 光 栅 方 程 为 代 入 数 据 得： sin 0.2875或 sin 0.3125 16.71 或 18.21即 45 那 么 ， 第 一 级 最 大 的 方 向 改 变为 22 一 平 行 单 色 光 投 射 于 衍 射 光 栅 上 ， 其 方 向 与 光 栅 的 法 线 成 0 角 ， 在 和 法线成 11 和 53 的 方 向 上 出 现 第 一 级 谱 线 ， 且 位 于 法 线 的 两 侧 。 试 求 入 射 角 0 ； （ 1） 24
