1、 1 2.1.2 指数函数及其性质 教学设计 湖南师大附中 谢美丽 一 、 教学 结构体系 ： 本节内容选自人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修（ 1）第二章第一节 第 二 小节 .第一 小节 是指数与指数幂的运算， 它 把整数幂运算扩充到了整个实数范围，为本节研究指数函数打 下 了基础 .指数函数作为重要的基本初等函数之一， 它 在生产生活中有着广泛的应用， 是对学生进行情感价值观教育的好素材， 其性质的研究为接下来研究对数函数与幂函数提供了方法与参照 ， 应作重点研究 . 根据教材结构与教学目标 ， 我将本节内容划分为如下两课时完成 ： 第一课时： 指数函数概念、 图象及其性质 探究
2、第二课时： 指数函数 图 象 、性质 的 初步 应用 二 、教学设计 本节 两 课时分别设计如下： 第一课时：指数函数概念、图象及其性质 （一）教学流程 创设情景、 启迪思维 深入剖析、加深理解 自主探究、合作交流 理论迁移、初步应用 巩固练习、深化反馈 释疑解惑 、反思提高 归纳小结、提炼 升 华 课外探究 、分层落实 （二） 每个环节的具体教学设计 （ 1） “ 创设情境、 启迪思维 ” 环节 问题 师生互动 设计意图 1.情景引入： 折纸问题：有一张面积为 1 的矩形纸，将其连续对折 x 次后，纸的 层数和每层纸的面积将变为多少？ （ 1） 写出对折后页（层）数 y 与对折次数x 的关系
3、式 : 2 ( )xy x N. （ 2） 设这页纸的面积为 1 个 单位 ，则对折后 每一层 纸的面积 s 与对折次数的关系怎样？ （ 1( ) ( )2 xy x N） 2.继续思考 ： （ 1） 上述 2 个关系式是函数吗？ （ 2） 这 2 个函数 在其结构上有何共同特点 ？ 其一般形式如何？ 1.动手操作： 学生各拿矩形白纸一张，按同样方式连续对折， 并思考屏幕上的问题 . 2.学生 在老师的引导下观察两个函 数解析式 ，不难发现均是幂的形式，底数是常数，自变量处在指数位置 . 1.本环节 中， 我 从学生熟悉的 折纸实例 着手 ， 引出 分别以 11a和 1a 的两个数为底的函数：
4、 12 , ( )2xxyy，不仅 激发 了 学生的学习兴趣， 让学生体会到数学来源于生活实际 ， 而且为顺利引出指数函数定义作了铺垫，达到从特殊到一般、 感性认识 到 抽象思维过渡 .指导学生积极思维，主动获取知识 . 2.类比初中所学的 3种函数， 引导学生 联系已学知识，有利于合理构建知识体系 . 2 3. 抽象 出 概 念 ： 我 们 把 形 如xya ( 0, 1)aa的函数叫做指数函数，其中 x 是自变量 . 函数的定义域为 R. 4.回顾、联系 （ 1） , ( 0)y kx b k 一次函数 （ 2） ,( 0)xykk 反比例函数 （ 3） 2 ( 0 )y a x b x
5、c a 二次函数 （ 4） ( 0, 1)xy a a a 指数函数 3.按“ 概念的引入定义联系剖析 辨析运用 ”顺序 ，揭示概念的内涵和外延 . （ 2） “ 深入剖析、加深 理解 ” 环节 问题 师生互动 设计意图 问题 1.规定“ 01aa且 ” ，还有别的表达形式吗？ 问题 2:为什么规定“ 01aa且 ” ?如果不这样规定会出现什么情况？ 问题 1、 2 由学生自主思考、探究，自由讨论、完善 . 1 通过 引导学生用区间表示 问 1 中的规定， 是 为 后续按 1 0 截止到 1999 年底，我国人口约为13 亿 .如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么经过 20年后，我国
6、人口数量最多为多少（精确到亿）？ 学生不难通过列式逐年计算每年人口来找规律，发现 20 后，（即 2019 年底） 人口最 多为 2013 1.01 16亿 . 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题， 如果不控制人口， 自然状态下的人口增长模 型到底怎样？ 请 阅读以下材料 ： 材料 1 两个世纪以前，英国经济学家马尔萨斯（ Thomas Malthus）指出，中国历史上的人口增长是一种没有 节制的自然增长，它将导致粮食的短缺、生存条件的恶化和人民的贫困 .马尔萨斯认为：由于一对夫妻在生育没有控制时不止生两个子女，人口将以几何级数增长；而土地面积的 扩大和农作物产量的提高都是缓慢和有限的，粮食
7、只能以算术级数增长 .因此，一个 社会要避免粮食和人口关系的危机，只有抑制人口的增长 .在马尔萨斯看来， 17 至 18 世纪西欧人通过晚婚和独身对婚姻进行了限制，减缓了人口的生育，形成了从人口体系内部来对人口增长的自愿的、有道德的 “预防性抑制 ”（ Preventive check）；而中国不仅存在着没有限制的婚姻，而且还存在着没有节制的生育，因此，对中国人口增长的抑制主要是来自于人口体系外部非自愿的、罪恶性的 “现实性抑制 ”，例如战争、饥荒和传染病 . 材料 2 早在 1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 0 rty ye ，其中 t 表示经过的时间，o
8、y 表示 0t 时的人口人数， r 表示人口年平均增长率 . 材料 3 下表是我国 19501959 年的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 人数（亿） 5.5196 5.6300 5.7482 5.8796 6.0266 6.1456 例 4.阅读上面材料 1、 2、 3、请 解决 下面几个问题 .（ 1） 用1.阅读材料， 动脑思考，动手演算 , 观看演示 . 2.每班正好 9个 学习小 组，请每个组使 用科学计算器求一个年增长率，再一起求其平均值、写出具体函数模型 . 1.例 3 实际上是 第三章 3.2.2 节 中的一个例 4，都属于人口问
9、题， 将其整合在一起， 更符合学生的 认知规律 . 2.指数函数 模型 与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算、股市的涨跌、人口增长、生物体内 14 的衰变等规律 研究方面 .涉及到指数型函数模型的实际运用，让学生 熟悉 这一模型 ，为学下一章 函数的应用打下坚实基础 . 3.应用题的教学是培养学生分析 问题 、解决问题 能力的最好手段，要让学生身临其境，努力使学生多动脑、动笔 ，要学生感受到 数学即来源于生活，又必将服务生活、 体会数学在实际问题 中的应用价值 、体验函数是描述客观世界 变化规律的基本数学模型 . 4.学生对 函数 应用题常常会产生
10、恐惧感，如果 能 提高 兴趣，他们做应用题可以克服这种恐惧感 .因此在教学中，对应用题的背景要作说明，教师要收 集一 些材料作进一步地补充，来提高学生学习的热情，激发他们的求知欲望 . 5.让学生了解人口增长的马尔萨 斯函数模型，学会探索函数的模 型以及检验模型， 培养他们的科 学探究态度和理性思维能力 .同时 ， ，适 时挖掘教材中的人文教育因素， 对学生进行思想教育， 让学生 知道我国控制人口的重要性， 知晓我国实行计划生育的重要性 ，积极拥护 基本国策 . 6.关于人口增长的马尔萨斯函数模型应用的例子加以改造、补充，更好地提出了分层次的四个问题，这样就分散了难点，学生探究就比较轻松 .
11、10 计算器 计算：在材料 3 中，以 1950 年为基数，从 1951 年到 1959 年求出这 9 年的各年人口增长率的平均值 r？（精确到 0.0001） （ 答案： 约为 2.21%） （ 2） 如果以 各年人口增长率 的平均值 作为我国这一时期人口增长率（精确到 0.0001），建立我国这 一 时期的马尔萨斯人口增长函数模型 . (3)如果按照上表中的增长趋势 , 根据图 象 预测 ， 大约在哪一年我国的人口 数 达到 13 亿 ? （ 4） 如果按照上表中的增长趋势 , 请计算 1950 年至 2010 年期间， 每隔 10 年相应的人口数 各是多少 ，你有何感想？ （考虑到学生没
12、学对数，只要求通过看图估计即可） . 【 环节二 】 小组展示网络搜集的 指数 （ 型 ） 函数模型展示 . 3. 学生自主 展示各组 所收集的指数型函数模型应用实例 . 7.学生通过利用网络搜集资料，不仅可体会到指数（型）函数应用之广泛，而且提高了自己的信息素养 . (5)“小结与布置作业” 环节 . 问题 师生互动 设计意图 1.通过本节课的学习： （ 1） 你学到了哪些 数学规律 ？ （ 2） 你掌握了哪些数学 解题方法 ？ （ 3）你用到了哪些数学思想方法？ 学生自主小结，相互补充 引导学生 从总体上对知识的把握 ,对 新知识 是 一次很重要的记忆 和理解， 有助于学生构建知识框架 . 2.作业布置： （ 1） 必做题： 自主学习册 .必修 1. 训练案 1 第 2 课时 I 类题 （ 2）选作题： 自主学习册 .必修 1. 训练案 1 第 2 课时 II 类题、 III 类题 . 学生独立思考、 自主完成 . 拓展延伸，巩固所学、提升能力 . 分层布置作业，意在既巩固所学知识，又给学有余力的学生以更大的发展空间，体现了因材施教 的原则 .
