1、 北京市西城区 2015 年高三一模试卷 数学（理科） 2015.4 本试卷分第 卷和第 卷两部分，第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 6 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答 题纸一并交回。 第 卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项。 1设集合 A =0， 1，集合 B =x | x a，若 AB ，则实数 a的取值范围是（ ） A a1 B a1 C a0 D a0 2复数 z 满足 z i = 3 i，则
2、在复平面内，复数 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在极坐标系中，曲线 = 2cos 是（ ） A过极点的直线 B半径为 2 的圆 C半于极点对称的图形 D关于极轴对称的图形 4执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为 3，则输出的 n 的值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 5 设函数 f (x)的定义域为 R，则 “ x R， f (x +1) f (x) ”是 “函数 f (x)为增函数 ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 (
3、) 7 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元，而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之 和小于 20 元，那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( ) A 2 枝玫瑰的价格高 B 3 枝康乃馨的价格高 C价格相同 D不确定 8 已知抛物线 所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A(0， a)，若 在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点 A 对称，则实数 a 的取值范围是 ( ) A (1， 3) B (2， 4) C （ 32 ， 3） D （ 52 ， 3） 第 卷 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 已知平面向量 a
4、 , b满足 a = (1, 1), (a + b) (a b),那么 b . 10已知双曲线 22 10xy abab ，的一个焦点是抛物线 y2 = 8x的焦点，且双曲线 C 的离心率为 2，那么双曲线 C 的方程为 . 11在 ABC 中，角 A, B, C所对的边分别为 a , b , c ,若 则 a = . 12若数列 an满足 a1 2，且对于任意的 m, nN ，都有 m n m na a a , 则 3a ； 数列 an 前 10 项的和 S10 . 13某种产品的加工需要 A, B, C , D, E五道工艺，其中 A必须在 D的前面完成（不一定相 邻），其它工艺的顺序可以
5、改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与 C 必须相 邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种 . （用数字作答） 14如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱 长均为 1，记四面体 ABCD的体积为 Fx， 则函数 Fx的单调增区间是 ；最大值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15（本小题满分 13 分） 设函数 （ ）当 ， 时，求函数 f (x)的值域； （ ）已知函数 y = f (x)的图象与直线 y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离 16（本小题满分 13 分） 2014 年 12 月 2
6、8 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分 段计价具体如下表（不 考虑公交卡折扣情况） 已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出 120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示 （ ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人，试估计此 人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率； （ ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选 2 人，记 X 为这 2 人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望； （ ）小李乘坐地 铁从 A 地到陶然亭的票价是 5 元，
7、返程时，小李乘坐某路公共电汽车 所花交通费也是 5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为 s 公里， 试写出 s 的取值范围（只需写出结论） 17（本小题满分 14 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形， EF AD ，平面 ADEF 平面 ABCD，且 BC = 2EF ， AE = AF ，点 G 是 EF 的中点。 （ 1）证明： AG 平面 ABCD 。 （ 2）若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为 69 ，求 AG 的长。 （ 3）判断线段 AC 上是否存在一点 M ，使 MG 平面 ABF ？若存在，求出 AMMC
8、 的值；若不存在，说明理由。 18（本小题满分 13 分） 设 n N*，函数 ，函数 ， x (0， +)， （ 1）当 n =1时，写出函数 y = f (x) 1零点个数，并说明理由； （ 2）若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线 l : y =1的两侧，求 n的所有可能取值。 19（本小题满分 14 分） 设 F 1 ， F 2分别为椭圆 22 1xy abab 的左、右焦点，点 P（ 1， 32 ） 在椭圆 E 上，且点 P 和 F1 关于点 C（ 0， 34 ） 对称。 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过右焦点 F2 的直线 l与椭圆相交于 A， B两点，过点 P且平行于 AB 的直线与椭圆交于 另一点 Q ，问是否存在直 线 l ，使得四边形 PABQ的对角线互相平分？若存在，求出 l 的方 程；若不存在，说明理由。 20（本小题满分 13 分） 已知点列 (k N*， k2)满足 P 1（ 1， 1） ，中有且只有一个成立 写出满足 k = 4且 P 4（ 1， 1） 的所有点列； 证明：对于任意给定的 k (k N*， k2)，不存在点列 T ，使得 ； 当 k = 2n 1且 时，求 的最大值
