1、11FECBABC培优相似三角形及其运用 11、如图 1，丁轩同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD，当他走到点 P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC的底部，当他向前再步行 20m 到达 Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是（ ） A24m B 25m C28m D30m图 1 图 2 图 3 图 42、小刚身高 1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶 （ ） A.0.5m B.0.55m C.0
2、.6m D.2.2m3、图 2 为 ABC 与 DEC 重迭的情形，其中 E 在 BC 上，AC 交 DE 于 F 点， 且 AB / DE。若 ABC 与 DEC 的面 积相等，且 EF=9，AB=12，则 DF=( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 154、如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ）A.只有 1 个 B.可以有 2 个 C.有 2 个以上，但有限 D.有无数个5、如图 3，在 RtABC 中， AB=AC，D 、E 是斜边 BC 上两点，且DAE=45 ，将ADC 绕点 A
3、顺时针旋转 90后，得到AFB ，连接 EF，下列结论：AEDAEF； ABEACD； BE+DC=DE； 22BEDC其中一定正确的是( ) A B C D6、在直角坐标系中，已知 O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D 为 x 轴上一点若以 D、O、C 为顶点的三角形与AOB 相似，这样的 D 点有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个7、如图 4，点 A1，A 2，A 3，A 4 在射线 OA 上，点 B1，B 2，B 3 在射线 OB 上，且 A1B1A 2B2A 3B3，若A2B1A 3B2A 4B3，A 2B1B2，A 3B2B3 的面积分别为 1，4，
4、则图中三个阴影三角形面积之和为 8、D、E 两点分别在ABC 的边 AB，AC 上，DE 与 BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，ADE ACB。9、如图，Rt AB C 是由 RtABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜边于点 E，CC 的延长线交 BB 于点 F （1）证明： ACEFBE；（2）设ABC=， CAC =，试探索 、 满足什么关系时， ACE 与FBE是全等三角形，并说明理由22EBACDF10、 （2010 杭州）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又 BDAC ，点 B，A，E 在同一条直线上. (1) 求证：ABD CAE；(2) 如果 A
5、C =BD，AD = BD，设 BD = a，求 BC 的长.212、如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFEB.(1)求证：ADFDEC(2)若 AB4,AD3,AE3,求 AF 的长.13、如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，OA= cm， OC=8cm，现有两动点82P、Q 分别从 O、C 同时出发，P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 cm 的速度匀速运动，Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为 t 秒（1）用 t 的式子表示O
6、PQ 的面积 S；（2）求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；3）当OPQ 与PAB 和QPB 相似时，抛物线 经过 B、P 两点，过线段 BP 上一动点 M 作 y 轴214yxbc的平行线交抛物线于 N，当线段 MN 的长取最大值时，求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比图 33314、如图，点 P 是菱形 ABCD 的 对角线 BD 上一点，连结 CP 并延长，交 AD 于 E，交 BA 的延长线点 F问：(1) 图中APD 与哪个三角形全等？并 说明理由(2) 求证：APE FPA(3) 猜想：线段 PC、PE、PF 之间存在什么关系？并说明理由15
7、、 （2010 苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90，A=30 ，BC=6cm；图中， D=90 ，E=45，DE=4 cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF 的直角边 DE 与ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将DEF 沿 AC 方向移动在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合) (1)在DEF 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现： F、C 两点间的距离逐渐 _(填“不变” 、 “变大”或“变小 ”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少
8、时，F、C 的连线与 AB 平行?问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题：在DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15 ?如果存在，求出 AD 的长度；如果不存在，请说明理由请你分别完成上述三个问题的解答过程16、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且 BCAC） ，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样） 背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线”尝
9、试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图 1 中画出这条“等分积周线” ，从而平分蛋糕（2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图 2 中过点 C 画了一条直线 CD 交 AB于点 D你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法； 如不能成功，请说明理由（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识请你解决下面的问题：若 ABBC5 cm，AC6 cm ，请你找出ABC 的所有“等分积周线” ，并简要的说明确定的方法44AAB BC C18、如图，在 RtABC 中， ACB=90，AC=3 ，BC=4，过点 B 作射线 BB1AC动点 D 从点 A
10、出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 出发沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB于 H，过点 E 作 EF 上 AC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接 DG设点 D 运动的时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度；（2）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值；（3）以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后的图形为 AC当 t 时，连接 CC，设四边形 ACCA的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；5当线段 AC与射线 BB，有公共点时，求 t 的取值范围
11、（写出答案即可） 图 355相似三角形练习 22.如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）ABCDEF A B C DDCFEBCAEF3.已知ABCDEF，且 AB：DE=1：2，则ABC 的面积与DEF 的面积之比为(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：14.如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1， （2）CDECAB， （3）CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4.其中正确的有：A0 个 B1 个 C2 个 D3 个5.若ABCDEF, ABC 与DEF 的相似比为2，则ABC 与DEF 的周长比为（ ）A14
12、B12 C21 D6.如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ）A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上但有限 D有无数个7.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边 AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）AAOM 和 AON 都是等边三角形B四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形C四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形D四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形图 366DBCANMO11.如图，在 中， 是
13、 上一点， 于 ，且 ，则A 906BD， ， ACEAB21CDE，的长为（ ）BA2 B C D 4324313.如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板 AOB 绕 O 点顺时针旋转 90得AOB已知AOB=30，B=9 0，AB=1，则 B点的坐标为A 3()2B 3()2 C 13()2 D 31(,)220.如图，ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0)以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形，并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍，记所得的像是AB C设点 B 的对应点 B的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是A 12aB 1()2
14、aC ()D 3解答题：2.（2009 年长春）如图，在矩形 中，点 分别在边 上， ，ABCDEF、 ADC、 ABEDF ，求 的长692ABE， ，775.（2009 年郴州市）如图，在 DABC 中，已知 DEBC， AD=4，DB=8，DE=3，（1）求 AB的值， （2）求 BC 的长39.)已知 ABC ，延长 BC 到 D，使 CB取 A的中点 F，连结 D交 AC于点 E（1）求 E的值；（2）若 aF， ，求 A的长7.)如图 1，在 RtABC 中， 90， ADBC 于点 ，点 O是 AC边上一点，连接 BO交 AD于 F，OE交 边于点 E（1）求证： FO ；（2）
15、当 为 边中点， 2时，如图 2，求 FE的值；（3）当 为 A边中点， nB时，请直接写出 的值BBA ACOEDDECOF图 1 图 2F8899相似三角形内容提要一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符号“”表示，读作“相似于” 。3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。4.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线
16、的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。类型 斜三角形 直角三角形全等三角形的判定 SAS SSS AAS（ASA） HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等cdabb或合比性质： dccadcb（比例基本定理） bandbmcanbnmba :)0(等 比 性 质1010三、注意1 三角形相似及比例式或等积式。2、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。3、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。4、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形） “抽”出来的办法处理。四、1.基本图形2.找出其中的相似的三角形3.一线三等角
