1、等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义： ， 称为公比*12,naqnN0且 q2、通项公式：，首项： ；公比：110,nnnaqABaq1aq推广： nmnnm3、等比中项：（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项，即：,aAbAab或2Ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列 是等比数列na21nna4、等比数列的前 项和 公式：nS（1）当 时，q1a（2）当 时，1nnnqaS（ 为1 nnnaABA,B常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 ，都有n为等比数列1(0)nn naqqa或 为 常 数 ，（2）等比中项： 为等
2、比数列211()nnnna（3）通项公式： 为等比数列0aAB6、等比数列的证明方法：依据定义：若 或 为等比数列*12,naqnN0且 1nnaqa7、等比数列的性质：（2）对任何 ，在等比数列 中，有 。*,mnNnanmaq（3）若 ，则 。特别的，当 时，*(,)sttmst 2nk得 注：2nmka 12132nnn（4）数列 ， 为等比数列，则数列 ， ， ， ，nbnkaknanb（ 为非零常数）均为等比数列。nabk（5）数列 为等比数列，每隔 项取出一项n *()kN仍为等比数列23(,)mkmkaa（6）如果 是各项均为正数的等比数列，则数列 是等差数列n logan（7）
3、若 为等比数列，则数列 ， ， ，成等比数列nS2n32,S（8）若 为等比数列，则数列 ， ，na1a1nn成等比数列2123n（9）当 时， q10naa， 则 为 递 增 数 列， 则 为 递 减 数 列当 时，010naa， 则 为 递 减 数 列， 则 为 递 增 数 列当 时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列） ；q当 时,该数列为摆动数列.0（10）在等比数列 中，当项数为 时，na*2()nN1Sq奇偶二 例题解析【例 1】 已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，S np n(pR，nN*)，那么数列a n （ ）A是等比数列 B当 p0 时是等比数列BC当 p0，p1
4、时是等比数列 D不是等比数列【例 2】 已知等比数列 1，x 1，x 2，x 2n，2，求x1x2x3x2n【 例 3】 a(1)a=4n25等 比 数 列 中 ， 已 知 ， ， 求 通 项 公12式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6 的值【例 4】 求数列的通项公式：(1)an中，a 12，a n+13a n2(2)an中，a 1=2，a 25，且 an+23a n+12a n0三、 考点分析考点一：等比数列定义的应用1、数列 满足 ， ，则 _na123nna143a42、在数列 中，若 ， ，则该数列的通项n_n考点二：等比中项的应用1、已知等差数列 的公差为 ，若
5、 ， ， 成等比数列，则 （ na21a342a）A B C 468D 102、若 、 、 成等比数列，则函数 的图象与 轴交点的个数为abc2yaxbcx（ ）A B C D不确定013、已知数列 为等比数列， ， ，求 的通项公式na32a4203ana考点三：等比数列及其前 n 项和的基本运算1、若公比为 的等比数列的首项为 ，末项为 ，则这个数列的项数是（ 23981）A B C D4562、已知等比数列 中， ， ，则该数列的通项na310384a_na3、若 为等比数列，且 ，则公比 _4652q4、设 ， ， ， 成等比数列，其公比为 ，则 的值为（ ）1a234a21234aA
6、 B C D12815、等比数列a n中，公比 q= 且 a2+a4+a100=30，则a1+a2+a100=_.考点四：等比数列及其前 n 项和性质的应用1、在等比数列 中，如果 ， ，那么 为（ ）na6a93aA B C D43216922、如果 ， ， ， ， 成等比数列，那么（ ）1abc9A ， B ，3b3b9acC ， D ，3、在等比数列 中， ， ，则 等于（ ）na110a23456789A B C D81527 2434、在等比数列 中， ， ，则 等于（ n9101920ab910a）A B C D98ba9ba109a105、在等比数列 中， 和 是二次方程 的两个
7、根，则 的na35a250xk246a值为（ ）A B C D2 56、若 是等比数列，且 ，若 ，那么 的值na0na2435462aa3a等于 考点五：公式 的应用11,(),(2)nnS1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+an，满足条件 log2Sn=n，那么a n是( )A.公比为 2 的等比数列 B.公比为 的等比数列1C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前 n 项和 Sn=2n-1，则前 n 项的平方和为( )A.(2n-1)2 B. (2n-1)2 C.4n-1 D. (4n-1)31 313、设等比数列a n的前 n 项和为 Sn=3
8、n+r，那么 r 的值为_.一、等差和等比数列比较：二、等差数列的定义与性质定义： 1nad（ 为常数） ， 通项： 1nad等差中项： xAy， ， 成等差数列 2Axy前 n项和： 112nnaSd性质： na是等差数列（1）若 mpq，则 mnpqaa；（2）数列 仍为等差数列， 232nnnSS， ， 仍为等1212,n差数列，公差为 ；d（3）若 nab， 是等差数列，且前 n项和分别为 nST， ，则 21mab（4） n为等差数列 2nSab（ ， 为常数，是关于 n的常数项为 0 的等差数列 等比数列定义 dan1 )0(1qan递推公式an1； mn 1； mn通项公式dn)
9、(1 1nqa（ 0,）中项 2knaA（ 0,*knN） )(knknaG（ 0,*knNk）前 n项和)(1nnaSd2 )2(1)(1qaqaSnnn重要性质 ),(*qpnmNqpnaqm ),(*pmNpnm二次函数，可能有最大值或最小值）（5）项数为偶数 的等差数列 na， 有n2 ),)()()( 111212 为 中 间 两 项nnn aaaS， .d奇偶 1nS偶奇(6)项数为奇数 的等差数列 a， 有2， ， .)()1(12为 中 间 项nnSnaS偶奇 1偶奇三、等比数列的定义与性质定义： 1naq（ 为常数， 0q） ，通项： 1naq.等比中项： xGy、 、 成等
10、比数列 2Gxy，或 xy.前 n项和： 1()nnaqS（要注意 q ！）性质： na是等比数列（1）若 mpq，则 mnpqa（2） 232nnSS， ， 仍为等比数列,公比为 .nq四、数列求和的常用方法：1 、 裂 项 分 组 法 ：、 112341()()()()11nnn （ ）,23,49781139278 前前+前2、 错 位 相 减 法 ： 凡 等 差 数 列 和 等 比 数 列 对 应 项 的 乘 积 构 成 的 数 列 求 和 时 用 此 方 法 ，例 ： 求 ： 23n-2n-1nnS=x5x(5)x(3)x(2-)x (1)解：23n-2n-1nn ()()() ()
11、4-1 +1xS=x55x3x2x 减 得 ：23n-1nn+1n2n-1n+1(1)S=xx 从 而 求 出 。nS错 位 相 减 法 的 步 骤 ： (1)将 要 求 和 的 杂 数 列 前 后 各 写 出 三 项 ， 列 出 式 ； (2)将 式 左右 两 边 都 乘 以 公 比 q， 得 到 式 ； (3)用 ， 错 位 相 减 ； (4)化 简 计 算 。3、 倒 序 相 加 法 ： 前 两 种 方 法 不 行 时 考 虑 倒 序 相 加 法例 ： 等 差 数 列 求 和 ：n123n21nn23S=aaa 两 式 相 加 可 得 ：n1n2n13n23n22n11n2S=aaaaa
12、a即 ： 1nanS所 以等比数列例题解析【例 1】 已知 Sn 是数列a n的前 n 项和，S np n(pR，nN*)，那么数列a n 1n2nA是等比数列B当 p0 时是等比数列C当 p0，p1 时是等比数列D不是等比数列【例 2】 已知等比数列 1，x 1，x 2，x 2n，2，求x1x2x3x2n【 例 3】 a(1)a=4n25等 比 数 列 中 ， 已 知 ， ， 求 通 项 公12式；(2)已知 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6 的值【例 4】 已知 a0，b0 且 ab，在 a，b 之间插入 n 个正数x1，x 2，x n，使得 a，x 1，x 2，x n，b 成等比
13、数列，求证 12【例 5】 设 a、b、c 、d 成等比数列，求证：(b c)2(ca) 2(db)2(ad) 2【例 6】 求数列的通项公式：(1)an中，a 1 2，a n+13a n2(2)an中，a 1=2，a 25，且 an+23a n+12a n0【 例 7】 aa(a)2a(a)=0123412413423123若 实 数 、 、 、 都 不 为 零 ， 且 满 足 求 证 ： 、 、 成 等 比 数 列 ， 且 公 比 为 【例 8】 若 a、b、c 成等差数列，且 a1、b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值【例 9】 已知等差数列 an的公差和等比数列b n的公比都是 d，又知d1，且 a4=b4，a 10=b10：(1)求 a1 与 d 的值；(2)b16 是不是a n中的项？【 例 0】 ab=(12)b=218b=18nan123123设 是 等 差 数 列 ， ， 已 知 ， 求 等 差 数 列 的 通 项 【例 11】 三个数成等比数列，若第二个数加 4 就成等差数列，再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数
