1、第 1 页 共 15 页.考点 29 导数的应用1.（2010全国高考卷文科7）若曲线 2yxab在点 (0,)处的切线方程是 10xy，则（A） 1,ab (B) 1,(C) (D) 【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。【思路点拨】由题意知，曲线 2yxab在点 (0,)处的切线的斜率为 1，根据导数的几何意义得 y在 x=0处的导数为 1，再把（0，b）代入切线方程可以解出 a 、b 的值。【规范解答】 选 A， 2yxa, 在点 (,)b处的切线方程是 10xy。斜率为 1，所以 ,a,所以 1.2.（2010全国高考卷理科10）若曲线12yx在点12,a处的切线与
2、两个坐标围成的三角形的面积为 18，则 a来（A）64 （B）32 （C）16 （D）8【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的运算求解能力【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。【规范解答】选 A， ,213xy所以曲线12yx在点12,a处的切线： ,30,0),(21y 213 aaa 得 ，由得由所以， .64,81解 得 【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1） “在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。 （2） “过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，再求切点坐
3、标。3.（2010江西高考文科1）设函数 32()6()fxax.（1）若 ()fx的两个极值点为 12,x，且 2，求实数 的值；第 2 页 共 15 页.（2）是否存在实数 a，使得 ()fx是 ,)上的单调函数？若存在,求出 a的值；若不存在，说明理由.【命题立意】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与最值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【思路点拨】 （1）先求导数，再借助于韦达定理建立方程求字母的值；（2）先求导数，再判导函数在 (,)上符合是否恒定.【规范解答】 286()2fxax（1）由已知有 12()0f，从而 18a，所以 9；（2）由 2
4、3643(4)0a，所以不存在实数 ，使得 ()fx是 ,上的单调函数.4.（2010江西高考理科）设函数 ()ln(2)(0)fxxa（1）当 a时，求 ()fx的单调区间；（2）若 ()fx在 0,1上的最大值为 12，求 a的值【命题立意】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与最值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【思路点拨】 （1）确定定义域，再求函数的导数，利用导数正负求函数的单调区间；（2）先求导，判断其正负，找最值，最后求字母的值【规范解答】函数 )(xf的定义域为（0，2） ， 1()92fxx（1）当 a时， ,)(f所以 f的单调递增区间为
5、（0， 2） ，单调递减区间为（ 2，2） ；（2）当 1,0x时， axf)2() 0,即 )(xf在 1,0上单调递增，故 )(xf在 1,0上的最大值为 ,)(af因此5.（2010重庆高考文科19）已知函数 32()fxabx （其中常数 ,abR） ，()()gxfx是奇函数.第 3 页 共 15 页.（1）求 ()fx的表达式；（2）讨论 g的单调性，并求 ()gx在区间 1,2上的最大值与最小值.【命题立意】本小题考查函数、奇函数的基础知识，考查函数的导数的基础知识，考查函数的单调性的判断方法，最值的求法，考查运算求解的能力，考查函数、方程的思想【思路点拨】 （1）先求出导函数，
6、再求出 ()gx,利用奇函数的定义求出待定系数 ,ab；（2）利用导数的正负来判断函数的单调性，并根据单调性求函数的值域.【规范解答】 （1）因为 32()fxabx ，所以 2()3fax，所以 ()gxf2b32()abx， 因为 ()gx是奇函数，所以 ()(gx，即对任意 x的都有32(1) 1xa，即 230对任意 x都成立，所以 =0且 b，所以 13a, 0b,所以 32()fx.（2）由（1）可得 31()gxx，所以 2()(2)gxx,令 ()gx，则x或 2；所以当 2时， 0，函数 g是减函数；当 x时， ()0x，函数 ()x是增函数；当 x时， ()0x，函数 ()
7、x是减函数；综上可知，函数 g在区间 ,和 2,)上是减函数，在区间 2,上是增函数.函数 ()x在区间1，2内有极值点 x，所以函数 (gx的最大值与最小值只能在1,2x三点处取得，因为 54(1),(2),)33g，所以函数 ()gx的最大值是 43，最小值是 43.6.（2010重庆高考理科8）已知函数 1ln,xfa其中实数 1a（1）若 2a，求曲线 yfx在点 0,处的切线方程；（2）若 fx在 x=1 处取得极值，试讨论 fx的单调性。【命题立意】本题考查曲线的切线方程的求法，考查用函数的导数求极值的方法，判断函数的单调性的第 4 页 共 15 页.方法，考查分类讨论的思想方法.
8、【思路点拨】 （1）先由函数的导数求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；（2）由函数的极值求法求出 a的值，再根据导数的正负讨论函数的单调性.【规范解答】因为 1ln,xfa所以 2(1)xaf x21()ax；（1）当 时， 217(0)04f，又因为 1(0)2f，所以曲线 ()yfx在点(0,)f处的切线方程是 ()yx，即 xy；（2）因为 1a，所以 211()2af a，又因为 ()fx在 1处取得极值，所以()0f，即 02，解得 3，所以 ()ln3xf，其定义域是 (,3),)，且 231(1)7()xfx ，令 )0f，则 1， 2，所以当 x或 7时， ()0fx；当 1
9、7x，且 3时， ()0fx；所以由以上讨论可知，函数 在区间 ,)上是增函数；在区间 1,3， (,7)上是减函数.【方法技巧】本小题采用先总后分的解答格式，即先求出导函数，再分别求解两问.7.（2010全国高考卷文科21） 已知函数 f（x）=x 3-3ax 2+3x+1。（）设 a=2，求 f（x）的单调区间；（）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。【思路点拨】代入 a=2，由 f（x）求导，由 的 递 减 区 间 。得 递 增 区 间 ， 0
10、)(0)( xfxf第二问可利用数形结合方法转化为 上 有 根 解 决 。，在 （ 32)( 注意根据单调性对 a 分类讨论。【规范解答】 （）当 2a时， 61fxx 第 5 页 共 15 页.22313(41)() 3(2)(3)fx xxx 当 x 单 调 递 增 ，在时 ,0), ff当 x 单 调 递 减 ，在） 时， ),()(2(x当 x 单 调 递 增 ，在时， 32,),3fxf综上，f（x）的单调增区间是 ），） ， （ ，f（x）的单调减区间是 ），（ 32-（） .1)(22af（当 无 极 值 点 ，为 增 函 数 ， 故时 ， )(,0(012 xfxffa当 1,
11、1) 221 aa有 两 个 根 ，时 ， 由题意知，因此 a 的取值范围是 ).35,4(8.（2010全国高考卷理科22）设函数 1xfe（）证明：当 x -1时， 1xf；（）设当 0时， a，求 a 的取值范围【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，结合不等式考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想。【思路点拨】 （）可以构造函数，利用导数单调性，求当 x -1时的最值证明不等式成立，（）可结合（）的结论和方法证明，要注意对 a 分类讨论.【规范解答】 （）当 1x时， 1)(xf当且仅当 xe令 )(exg ， 则 .eg当 0时， )(,0)(x 是
12、增函数； 当 0时， )(,0)(xg是减函数；于是 g(x)在 x=0 处达到最小值，因而当 R时， xg即 .1e所以当 x-1 时， .1)(xf（）由题设 0 ，此时 0)(f.3545,312,312 22 aaaaa 解得：或第 6 页 共 15 页.当 a 21时，由知 x )(f )(12()()()( xfaxffafafxh 当 0时， 0)(xh所以 h(x)h(0)=0，即 .a综上，a 的取值范围是0, 21.9.（2010湖北高考文科21）设函数 321bcfxx（ ） =，其中 0，曲线 yfx（ ） 在点(0,)Pf处的切线方程为 y=1（）确定 b、c 的值（
13、）设曲线 fx（ ） 在点（ 1fx， （ ） ）及（ 2fx， （ ） ）处的切线都过点（0,2）证明：当12x时， 12()(f（）若过点（0,2）可作曲线 yfx（ ） 的三条不同切线，求 a的取值范围。【命题立意】本题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值、反证法等，同时考查考生综合应用数学知识进行推理论证的能力【思路点拨】 （）利用导数的几何意义和切点的双重性即可求出 b， c的值。（）用反证法进行论证。（）利用切点的双重性将过点（0,2）可作曲线 yfx（ ） 的三条不同切线转化为方程有三个不同的实根，然后利用函数的单调性、极值加以解决。【规范解答】 （）由题意得： (0)fc
14、， 2()fxab，由切点 (0,)Pf既在曲线第 7 页 共 15 页.321bcafxx（ ） =上又在切线 y=1 上知 (0)1f，故 0,1bc。（）由 2()f，则曲线 fx（ ） 在 (,)tf处的切线方程为: ()()yftxt,由点（0,2）在切线上，故 ()()ftt化简得: 3210at。下面用反证法证明结论。假设 12()fxf，因曲线 yfx（ ） 在点（ 1fx， （ ） ）及（ 2fx， （ ） ）处的切线都过点（0,2） ，则312210(1)2(3)axax，由（3）得 12xa，由（1）（2）得221 (4)x,由（4）得 22113()4xxa，从而 21
15、4xa，所以21212()()xx=0，即 2。与题设 2矛盾，所以假设错误，从而1ff。（）由（）知过点（0,2）可作曲线 yfx（ ） 的三条不同切线，等价于方程 3210at有三个不同的实根。设 32()1agtt，则 2()gtat()2。由 0 知 的值变化时 ()gt，()gt的变化情况如下表：t(,0)0(,)2(,)()g+ 0 0 +()t增 极大值 1 减极小值 3124a增由 ()gt得单调性知：要使 ()0gt有三个不同的实根，当且仅当3124a0第 8 页 共 15 页.即 32a。所以 a的取值范围是 3(2,)。【方法技巧】1、可导函数求“在”某点的切线时，切线的
16、斜率就是函数在该点处导数的值；求“过”某点的切线时，该点不一定是切点，此时可设切点为 0(,)pxy，利用函数在 0(,)pxy点处导数的值及已知点可得到过已知点切点为 0(,)pxy的切线方程，由切点既在切线上又在曲线上（简称：切点的双重性）则可求出 0(,)pxy点坐标，从而求出“过”某点的切线。2、过点 mn可作曲线 fx（ ） 的几条不同切线（设切点为 (,)tf）等价于方程()()ftft有几个不同的实根。3、已知方程 ()ftm有几个不同的实根求参数的范围问题可转化为曲线()(yfttn与 x轴有几个不同的交点，然后利用函数的单调性和极值进行解答。10.（2010湖北高考理科21）
17、已知函数 f( x)= bac ( 0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为 1yx.()用 a表示出 b,c;()若 f( ) ln在1,上恒成立，求 a的取值范围；()证明：1+ 12+ 3+ (n+1)+ 21n)(n1).【命题立意】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。 【思路点拨】()利用导数的几何意义和切点的双重性找出 a， b， c的关系。() f(x) ln在1,上恒成立 ()lngxfx0在1,上恒成立 min()0gx()利用()的结论得 12a时 1()lfxx，令 1k，采用累加的办法即可证
18、（或利用数学归纳法加以证明） 。【规范解答】() 2()bfx，由题意有: (01)fabc）解得： 12bac。第 9 页 共 15 页.()由()知： f( x)= 12a，令 ()lngxfx=12axln,)，则 ()0， 21a2()， （）当 102a时， a。若 x，则 ()0gx， ()为减函数，所以 ()1gx，即 ()lnfx，从而 ()lnfx在 1， +)上不恒成立。 （）当 12a时，1a，若x，则 ()0x， ()g是增函数，所以 ()0gx，即 ()lnfx，故当 1x时，()lnf。综上所述，所求 a的取值范围为 12， +)。()方法一：由()知：当 时 (l
19、nfx(1)，令 2a，有 1()ln2fxx(1)，且当 1x时， ()ln2x，令 k，则有 lkkk，即：1ln()lkk， ,23,。将上述 个不等式相加得l1()23()n，整理得：l(1)2()方法二：用数学归纳法证明如下：（1） 当 n时，左边 ，右边 1ln4，不等式成立。（2） 假设 k时，不等式成立，就是：1l()32(1)k，那么当 1k时1ln2()k=ln()(1)由()知：当 12a时 lnfx(1)，令 2a，有 1()ln2fxxx，令 2k，得 ()k第 10 页 共 15 页.2ln1k=l()ln(1)k，l()l2()k111ln23(2)kk，即当 1
20、nk时，不等式成立。根据（1）和（2）可知不等式对任何 N都成立。【方法技巧】1、可导函数求“在”某点的切线时，切线的斜率就是函数在该点处导数的值；求“过”某点的切线时，该点不一定是切点，此时可设切点为 0(,)pxy，利用函数在 0(,)pxy点处导数的值及已知点可得到过已知点切点为 0(,)pxy的切线方程，由切点既在切线上又在曲线上（简称：切点的双重性）则可求出 0(,)pxy点坐标，从而求出求“过”某点的切线。2、不等式在某区间恒成立或有解问题，一般都可通过构造函数转化为求相应函数的最值问题。3、证明较复杂的与正整数 n有关的不等式问题，通常也可通过构造函数，利用函数的单调性和极值（最
21、值） ，转化为求相应函数的最值大于（小于）零的问题。11.（2010四川高考文科22）设 1()xaf（ 0且 1a） ， ()gx是 f的反函数.（I）求 ()gx；（II）当 26,时，恒有 2log(1)7atxx()成立，求 t的取值范围；（III）当 10a时，试比较 .(ffn 与 4的大小，并说明理由.【命题立意】本题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合、构造函数等数学思想，以及推理论证，分析与解决问题的能力.【思路点拨】 （I）先求原函数的值域，即反函数的定义域，再反解 x.（II）根据对数函数的性质，首先去掉对数的底数，因 a与 1的大小不定，故需要分 1a，01a进行讨论. 1a时，可得 20()7tx， 26,恒成立； 0时，可得 2()7tx， 26x,恒成立.若令 3()915,hx，便可利用导数求函数在闭区间上的最值.求
