1、第 1 页 共 12 页.考点 14 等比数列1.（2010辽宁高考文科3）设 ns为等比数列 na的前 n 项和，已知 342,sa2sa,则公比 q = ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【命题立意】本题主要考查等比数列的前 n 项和公式，考查等比数列的通项公式。【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比 q。【规范解答】选 B，两式相减可得： 3434,aa即 , 43a。故选 B。2.（2010辽宁高考理科6）设a n是有正数组成的等比数列， nS为其前 n 项和。已知 a2a4=1, 37S,则 5( )（A） 12 (B)314 (C) (D)172 【命
2、题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和公式【思路点拨】列出关于 a1 q 的方程组，解出 a1 q 再利用前 n 项和公式求出 5S【规范解答】选 B。根据题意可得： 3115 4,()274()3241aqaqS3.（2010安徽高考理科10）设 na是任意等比数列，它的前 n项和，前 2项和与前 3n项和分别为 ,XYZ，则下列等式中恒成立的是( )A、 2B、 YXZC、 D、【命题立意】本题主要考查等比数列的性质，考查考生的观察、分析、推理能力。【思路点拨】从整体观察，分析 YX与 ， Z与 Y的关系，即可得出结论。【规范解答】选 D，设等比数列 na的公比为 q
3、(0)，由题意， 12nXa第 2 页 共 12 页.12122nnnYaaa 12 3nZa Xq， ZY，所以 ()()YXZ，故 D 正确。4.（2010浙江高考理科3）设 nS为等比数列 na的前 项和， 2580a，则 52S（ ）（A）11 （B）5 （C） 8 （D） 1【命题立意】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式。【思路点拨】抓等比数列的基本量 1,naqS可解决本题。【规范解答】选 D。设等比数列的公式为 ，则由 2580a得3528aq，2q。51522()31()aS。5.（2010山东高考理科9）设 na是等比数列，则“ 123a,且 0
4、，所以数列 是递增数列；反之，若数列 n是递增数列，则公比且 0，所以 211a，即 123a，所以 123a0，解得 q1,所以数列 n是递增数列；反之，若数列 是递增数列且 0，则公比 ，所以1a，即 2，所以 12是数列 na是递增数列的充分必要条件.8.（2010广东高考文科4）已知数列 为等比数列， nS是它的前 n 项和若 2a3=2a1，且4与 2 7的等差中项为 5，则 s=( )A35 B33 C31 D29【命题立意】本题考察等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前 n项和公式【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件 231a 得出 4a，由等差数列的性质及已知条件得出
5、7a，从而求出 q及 1a。【规范解答】选 C 由 2314142，又 4752a 得 74a。所以 3748aq，第 4 页 共 12 页. 12q， 432168a， 551()23S故选 C.9.（2010福建高考理科11）在等比数列 na中，若公比 q=4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 na= 。【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前 n 项和公式。【思路点拨】由前 3 项之和等于 21 求出 1a，进而求出通项 na。【规范解答】选 A， 32,4Sq, 3 114,4.nq【方法技巧】另解： 311162,aa， 1.n10.（2010 海南宁夏高考理科 T1
6、7）设数列 n满足 2，（)求数列 n的通项公式：（）令 ba，求数列 nb的前 n 项和 nS.【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前 项和的求法，解决本题的关键是仔细观察形式，找到规律，利用等比数列的性质解题.【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前 n 项和.【规范解答】 （)由已知，当 1n时， 11 21()()()nnaaa23()2n 而 1，满足上述公式，所以 na的通项公式为 21na.（）由 nb可知，352112ns第 5 页 共 12 页.从而 23572112nns 得3521212()nnn即 1139nS【方法技巧】利用累加法求数列的通
7、项公式，利用错位相减法求数列的和.11.（2010陕西高考理科6）已知 na是公差不为零的等差数列， 1a且 139,a成等比数列（）求数列 n的通项公式， （）求数列 2n的前 n 项和 nS【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查考生的运算求解能力【思路点拨】已知 关于 d 的方程 d na2nS【规范解答】 （ 1） 由 题 设 知 公 差 0139a23 1n 18, 20()(),2(2.nn nnddS由 成 等 比 数 列 得解 得 舍 去 ）故 的 通 项由 （ ） 知【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方
8、法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。2数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由 nS求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略12.（2010北京高考文科6）已知 na为等差数列，且 36a， 0。（）求 na的通项公式；第 6 页 共 12 页.（）若等比数列 nb满足 18， 2123ba，求 nb的前 n 项和公式【命题立意】本题考
9、查等差数列的通项公式等比数列的前 n 项和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。【思路点拨】 （1）由 3,6a可列方程解出 1,ad，从而可求出通项公式；（2）求出 2b，再求出公式。代入等比数列的前 n 项和公式即可。【规范解答】 （）设等差数列 n的公差 。 因为 36,0a所以 12650ad 解得 10,2ad， 所以 1()21nn（）设等比数列 nb的公比为 q因为 212314,8a 所以 24q 即 q=3所以 nb的前 项和公式为 ()(13)nnnS13.（2010福建高考文科7）数列 na 中 ，前 n 项和 nS满足 1- n13n（n *N）.( I ) 求数
10、列 na的通项公式 na以及前 n 项和 nS；（II）若 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数 t 的值。【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归转化思想。 【思路点拨】第一步先求 na的通项，可知 na为等比数列，利用等比数列的前 n 项和求解出 nS；第二步利用等差中项列出方程求出 t 【规范解答】 ( I ) 由113nnS得 13nN，又 13a，故 1nN，从而 123nSN（II）由( I ) 12341,97S从而由 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可
11、得第 7 页 共 12 页.143142,979t解得 2。【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，含有 nS的递推关系式，一般利用 1,2nnSa化“和”为“项” 。14.（2010湖南高考文科20）给出下面的数表序列：其中表 n（n=1,2,3 ）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5， 2n-1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n3） （不要
12、求证明） ；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12 ，记此数列为nb求和： 324121nb 【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和总结的能力。【思路点拨】在第（2）问中首先应得到数列 nb的通项公式，再根据通项公式决定求和的方法。【规范解答】 (1) 表 4 为1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1，2，3，4，行中的平均数分别是 4，8，16，32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列。将这一结论推广到表 n（n3） ，即表 n（n3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列。简证如下（对考生不作要求）：
13、首先，表 n（n3）各行中的第一行，1，3，5，2n-1 是等差数列，其平均数为 )(；其次，若表 n 的第 k（1kn-1）行 a1 ，a 2 ，a n-k+1 ，是等差数列，则它的 k+1 行 a1+a2，a 2+a3，a n-k+an-k+1，也是等差数列.由等差数列的性质知，表 n 的第 k 行中的数的第 8 页 共 12 页.平均数与第 k+1 行中的数的平均数分别是 11211, knknkn aaa由此可知，表 n（n3）各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为 2 的等比数列。(2)表 n 的第一行是 1，3，5，2n-1，其平均数是-5
14、31 ）（由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列，于是，表 n中最后遗憾的唯一一个数为 bn=n2n-1.因此， ),321.()(21 2)1()(23 2112 nkk kb kkkkk 故 2)1(2)( 31213241 nnnbb 222 )(4)( nn【方法技巧】研究数列要抓住变化规律。15.（2010天津高考理科22）在数列 na中， 10，且对任意 *kN. 21ka， k， 21成等差数列，其公差为 kd。（）若 =2，证明 2ka， 1， 2k成等比数列（ *k）（）若对任意 *N， ， ， a成等比数列，其公比为 kq。
15、【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明。【规范解答】 （）由题设，可得 *4,21akNk。所以 1 31()().()2 2a aakk=4().4=2k(k+1)由 1a=0，得 222(1), ,(1).21kakakk从 而第 9 页 共 12 页.于是 112221,aaakkkk所 以 。所以 *,kdN时 ， 对 任 意 成等比数列。（）证法一：（i）证明：由 21ka成等差数列，及 ,212akk成
16、等比数列，得 12,12ka qkk当 1q1 时，可知 kq1，k *N从而 111, 1(2)2 kqk kk 即所以 1q是等差数列，公差为 1。（）证明： 10a， 2，可得 34a，从而 12,q1=1.由（）有*1,kkqNq得所以2*(1)22, ,1aakNk 从 而因此， 222 *2 (1)2 14.2(),kaak kkakNk 以下分两种情况进行讨论：（1） 当 n 为偶数时，设 n=2m( *mN)若 m=1,则2ka.若 m2，则222211 1()()4nmmkkkkkaa+第 10 页 共 12 页.2 211 144112()()()3().mmmk k kk
17、kn 所以2 231, ,46,8.n nk kaa 从 而(2)当 n 为奇数时，设 n=2m+1（ *mN）222 21()31()4mkkaa 142()2n所以 231,nka从而23,35,7nka综合（1） （2）可知，对任意 2n, N,有2nk证法二：（i）证明：由题设，可得 2122(1),k kkdaqaq21212(),kkkkkdaqa所以 1d3211 22k kkkk kq qa由 1可知 1,*kN。可得 1 1kkkq，所以 kq是等差数列，公差为 1。（ii）证明：因为 120,a所以 121da。所以 3214d，从而 312q， 1q。于是，由（i）可知所以 1kq是公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得 k= k，故 kq。
